8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

数学 必修 第二册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pxr 1.垂直于同一条直线的两条直线一定 ( 4.如图,在正方体ABCD A.平行 B.相交 A.B.CD. 中,E,F分别 C.异面 D.以上都有可能 是A.B,BC 的中点,求 2.下列三个说法; 证:DB IEF ①若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交; ②若a/b,则a,b与c所成的角相等; ③若a Ib,blc,则a/c 其中正确的个数是 __” A.3 B.2 C.1 D.0 3.(选)如图,在正方体ABCD-A.B.CD 中. 下列直线中与A.B异面且所成的角为60{*}的 ( 直线有 _ 0) A.AC B.AD D.BD C.BC 完成P.课时作业(二十七) 8.6.2 直线与平面垂直 第一课时 直线与平面垂直的判定 [学习目标]1.了解直线与平面垂直的定义和直线与平面所成的角的概念,2.理解直线与平面垂直的判定 定理,并会用定理判定线面垂直(重点).3.能解决简单的线面角问题(难虑).4.发展数学抽象、逻辑推理和 直观想象的核心素养. 必备知识基础落实 答案见P 要点一:直线与平面垂直的定义 1.自然语言:一般地,如果直线(与平面a内的 直线都 ,我们就说直线与 平面。互相垂直,记作 .直线/叫做平 面的 ,平面a叫做直线/的 画直线/与平面;垂直时,通常把直线画成与 直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫 表示平面的平行四边形的一边垂直 做___. 3.符号语言:任意aCa,都有/a→ 4.点到平面的距离:过一点作 2.图形语言:如图所示 已知平面 的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点 .88. 第八章 立体几何初步 到该平面的 的长度叫做 2.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是 这个点到该平面的距离 ;一条直线和平面平行,或在平面内 注意:过一点垂直于已知平面的直线有且只有 我们说它们所成的角是 .直线与平 一条. 面所成的角?的取值范围是 要点二,直线与平面垂直的判定定理 >思考:在直线和平面所成角的定义中,点P是 1.自然语言:如果一条直线与一个平面内的 唯一的点吗?斜线在平面内的射影是一条直 垂直,那么该直线与此平面垂直 线吗? 2.图形语言:如图所示 3.符号语言: →a. 4.与线面垂直有关的结论 辨析 (1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” (2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (1)若直线/垂直于平面。,则/与平面g内的 (3)如果两条平行直线中的一条直线垂直干一 直线可能相交,可能异面,也可能平行。( ) 个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面 (2)若直线/与平面。内的两条直线都垂直,则 要点三 直线与平面所成的角 直线/与平面;垂直 ) 1.定义:平面的一条斜线和它 (3)一条直线与两个平行平面所成的角相等 在平面上的 ) 所成的角,叫做这条直线和 这个平面所成的角,如图; (40)两个平面与一条直线所成的角相等,则这 ( 两个平面平行 就是斜线AP与平面;所成的角 ) 关键能力素养提升 答案见Pot 探究一 直线与平面垂直的判定 (2)如图,在三校柱 ABC-A:BC 中,侧 答题模板 面BB.CC为菱形, B.C的中点为O,且AO平面BBCC.求 利用直线与平面垂直的判定定理证明直线 证:BC|AB. 与平面垂直的步骤:(1)在这个平面内找两 条直线,使它和这两条直线垂直;(2)确定这 个平面内的两条直线是相交的直线;(3)根 据判定定理得出结论. 【例题1】(1)如图,已知PA底 面ABC,其中 ABC-90{*,求 证:BC平面PAB . 89. 数学 必修 第二册 课堂学案 【变式1】如图,AB为O的直径,PA垂直于 【例题2】如图,已知正四面体 O所在的平面,M为圆周上任意一点, A-BCD的校长为a,E为 ANI PM,N为垂足.求证:ANI平面PBM AD的中点,连接CE (1)求AD与平面BCD 所成角的余弦值 (2)求CE与平面BCD所成角的正弦值 【变式2】(1)(2024·新课标ID已知正三校台ABC- 与平面ABC所成角的正切值为 ) #A1 B.1 C.2 D.3 (2)如图,已知/BOC在平 探究二 直线与平面所成的角 面g内,OA是平面;的斜 线,且AOB=AOC= 答题模板 $$ 6 *,OA=OB=OC=a, 求直线与平面所成的角的步骤 BC-/②a,求OA与平面g所成角的大小 (1)作图,作(或找)出斜线在平面的射影,将 空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面 角(两条相交直线所成的锐角),作射影要过 斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足 (有时可以是两垂足)作直线,注意斜线上点 的选取以及垂足的位置要与问题中的已知 量有关,才能便于计算 (2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所 成的角. (3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成 的直角三角形中计算 .90. 第八章 立体几何初步 随堂检测学以致用 答案见Ps 1.如图,如果MC|菱形ABCD所在的平面,那 3.正方体ABCD-A.BCD 中,与AD.垂直的 么MA与BD的位置关系是 ( 平面是 ) A.平行 A.平面DDCC B.平面A.DB B.垂直相交 C.平面A.B.CD D.平面A.DB C.垂直但不相交 4.在四校锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为 D.相交但不垂直 1的正方形,PA1平面ABCD,且PA-/6,则 2.如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形 ( PC与平面ABCD所成角的大小是 ) 的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正 A.30。 B.45* 六边形的两条边,则能保证该直线与平面垂直 C.60” ) 的有 C D. 90* A.①③ C.②③ B.①④ D.②④ I示完成P;课时作业(二十八) 第二课时 直线与平面垂直的性质 [学习目标]1.理解直线与平面垂直的性质定理,并能够证明.2.能运用性质定理证明一些空间位置关系 的简单命题(重点).3.会求简单的线面距离和面面距离(难点).4.发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的 过核心素养. 必备知识基础落实 答案见Pt 要点一:直线与平面垂直的性质定理 2.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的 1.文字语言:垂直于同一个平面的两条直线 到另一个平面的距离都相等,我 们把它叫做这两个平行平面间的距离 2.图形语言:如图所示 辨析 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” (1)垂直于同一条直线的两个平面平行 _ 3.符号语言: →a/. (2)过一点至少有两条直线与已知平面垂直 f 4.作用:(1)由线面垂直可以得出线线平行 ) (2)作平行线 (3)两条异面直线中有一条直线垂直于一个 要点二 线面距离和面面距离 平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. C 1.一条直线与一个平面平行时,这条直线上 ) 到这个平面的距离,叫做这条直 (4)在校柱、校台的体积公式中,它们的上、下 ( 底面间的距离指的是它们的高. 线到这个平面的距离 _~ .91.所以Bm-号x2-5AC-2,BE-V假+0-5， 3.l1a 4.垂直于垂线段垂线段 DE=√2，所以BD+DE=BE,所以∠BDE=90°，即BDL 要点二 DE,所以BD⊥AC 1.两条相交直线 [变式2]解析连接CD,AC,由题意得AD∥BC,AD=BC, 3.aCa,bCa,a∩b=P,l⊥a,l⊥b 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 要点三 所以AB∥CD, 1.射影 ∠PAO 所以∠ADC(或其补角)为AB和AD1所成的角， 2.90°0°0°≤0≤90 因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°， [思考]提示点P具有任意性，它是斜线上异于斜足A的任意 所以∠ADC=90°，所以△ADC是等腰直角三角形. 点，斜线在平面α上的射影是一条直线，它是过斜足和垂足 所以A0=号4C 的一条直线. [辨析]解扬(1)错误，不可能平行. 又底面ABCD是菱形，且AB=2√3，∠ABC=120°， (2)错误，当平面α内的这两条直线相交时，直线lL平面a, 所以AC=23×sin60°×2=6， 即l与a垂直；当平面a内的这两条直线平行时，lCa或l∥ 所以AD,=马AC=32, a或l与a垂直或l与a斜交， 2 (3)正确，如图，根据直线与平面所成的角的定义知，一条直 所以AA1=√VAD-A1D=√(3√2)2-(23)2=√6. 线与两个平行平面所成的角相等. 随堂检测·学以致用 1.D解析垂直于同一条直线的两条直线有如图所示的几种 位置关系.故选D项。 (4)错误，如图，两个平面与一条直线所成的角相等，这两个 平面不一定平行 2.C解析①错误，若直线a,b相交，b,c相交，则a,c异面、平 行，相交都有可能：②正确，根据平行线的性质和直线所成的 角的定义知②正确；③错误，若a⊥b,b⊥c,则a,c异面、平 答案(1)×(2)×(3)/(4)× 行、相交都有可能.故选C项. 关键能力·素养提升 3.ABC解析由题意，作出几何图形，如图所示. D [例题1]证朋(1)因为PA⊥底面ABC,BCC平面ABC,所以 PA⊥BC.因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC 又AB∩PA=A,且ABC平面PAB,PAC平面PAB, 所以BC⊥平面PAB. (2)如图，连接BC,依题意得O 为BC与BC的交点.因为侧面 连接A1C,BC,则三角形A1BC为正三角形，所以A1C, BBCC为菱形，所以BC⊥BC. 又AO⊥平面BBCC, B BC与AB所成的角均为60°，又易知AC∥AC,BC∥ AD,且AC,AD,均与AB异面，所以AC,AD符合题意， 所以BC⊥AO. 同理可得BC也符合题意，而BD不符合题意，故选APC项. 因为BC∩AO=O,所以BC⊥平面ABO. 4.证明如图，连接AC1,BD. 由于ABC平面ABO,故BC⊥AB. [变式1]证明因为AB为⊙O的直径，所以AML BM. 又PA⊥平面ABM,所以PA⊥BM 因为PA∩AM=A,所以BM⊥平面PAM 又ANC平面PAM,所以BM⊥AN. 又AN⊥PM,且BM∩PM=M, 所以AN⊥平面PBM [例题2]解析(1)如图，过，点A作AO 设AC1和B1D相交于点O,取DD的中点G 底面BCD,垂足为点O,连接OB,OC, 连接OG,A1G,CG,则OG∥BD,EF∥A1C. OD,则OB,OC,OD分别是AB,AC, 所以∠GOA(或其补角)为异面直线DB与EF所成的角. AD在平面BCD内的射影，所以 图为GA=GC1,O为A1C1的中点，所以GOA1C1. ∠ADO为直线AD与平面BCD所成B 所以异面直线DB1与EF所成的角为90°，所以DB⊥EF. 的角， 8.6.2直线与平面垂直 因为AB=AC=AD, 所以OB=OC=OD, 第一课时直线与平面垂直的判定 所以O为△BCD的外心. 必备知识·基础落实 因为△BCD为正三角形，且正四面体的边长为a, 要点一 1.任意一条垂直⊥a垂线垂面垂足 所以00-x号-得， 33a, ·287· 所以cos∠AD0=D=5 AD 3 所以AD与牛面BCD所成角的余孩值为号 (2)取OD的中点F,连接EF,CF 因为E,F分别为△DAO的边AD,OD的中点， 所以EF为△DAO的中位线，所以EF∥AO 又AO⊥平面BCD,所以EF⊥平面BCD, 答案B 所以FC为EC在平面BCD内的射影， (2)因为OA=OB=OC=a,∠AOB=∠AOC=60°，所以 所以∠ECF为EC与平面BCD所成的角. △AOB,△AOC为正三角形. 所以AB=AC=a. 因为EF=号AO, 又BC=√2a,所以AB+AC=BCe, 而0-D-0D-√-(a)=5 所以△ABC为等腰直角三角形. 同理，△BOC也为等腰直角三角形。 取BC的中点H,连接AH,OH,则 所以EF= 6a. AH LBC,.OH,且AH=OH=号BC-号a 因为E为AD的中点，所以CE=5AD= 2a, 又OA=a,所以AHP+OHP=OA2,所以AH⊥OH 义OH∩BC=H,所以AH⊥平面a. 6 所以∠AOH为OA与平面a所成的角. 所以sin∠ECF EF CE V3 在Rt△AOH中，sin∠AOH=Ag-2 a AO 2 所以∠AOH=45°，即OA与平面a所成角的大小为45°. 所以CE与平面BCD所成角的正弦值为 3· 随堂检测·学以致用 [变式2]解析(1)方法一分别取BC,BC的中点D,D,则 1.C解析因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC又MC⊥平 AD=33,AD,=5,可知S6m=是×6X3=9, 面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BDL平面 AMC,又MAC平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与 S4马5=号×2X5=5,设正三棱台ABC-ABG的 直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但 不相变.故选C项. 高为h,则Vc45=号(9+5+V9Bx3)h-号， 2.A解析三角形的两边、圆的两条直径一定是相交直线，而 31 梯形的两边、正六边形的两边不一定相交，所以能保证直线 解得=4号，如图，分别过A1,D作底面套线，垂足为M 与平面垂直的有①③.故选A项. 3.B解析因为AD⊥AD,AD⊥A1B,且A1D门A1B=A1, N,设AM=,则AM=Vf+AM=√2+5，DN= 所以AD⊥平面ADB.故选B项. 4.C解析如图，连接PC,AC,因为PA⊥ AD-AM-MN=2√3-x,可得DD1=VDN+DN 平面ABCD,所以∠PCA为PC与平面 √23-)P+丐，钻合回边形0CB是等梯形得B暖- ABCD所成的角.因为底面ABCD是 边长为1的正方形，所以AC=√2.在 ()'+D0,即2+9=2,5-x+9+4,解得x R△Pac中，m∠C-=隐-得 4,所以AA与平面ABC所成角的正切值为nA AD- 3,所以∠PCA=60°.故选C项. A1就选B项 第二课时直线与平面垂直的性质 必备知识·基础落实 要点一 1.平行 3.a⊥abLa 要点二 1.任意一点 方法二将正三棱台ABC-A1BC补成正三棱锥P-ABC, 2.任意一点 则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角， [辨析]解析(1)正确，根据线面垂直的几何特征，可知垂直于 同一条直线的两个平面平行， 国为盼-0=专则-可知V6 (2)错误，假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线 与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点， 多Vc=号，则V=18,设正三棱维P-ABC的高为 与这两条直线过同一点矛盾，故过一点只有一条直线与已 知平面垂直。 d,则Vr=子dX号×6×6×号=18，解得d=25,取 (3)错误，假设另一条直线也垂直于这个平面，则根据线面 底面ABC的中心为O,则PO⊥底面ABC,且AO=2√3，所 垂直的性质定理知，这两条直线互相平行，与这两条直线是 以PA与平面ABC所成角的正初值为an∠PA0-品 异面直线矛盾，故另一条直线不垂直于这个平面。 (4)正确，由两个平行平面间的距离的概念可得. 1.故选B项 答率(1)√(2)×(3)×(4)/ ·288·