8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

第八章立体几何初步 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那 3.正方体ABCD-ABCD,中，与AD垂直的 么MA与BD的位置关系是 平面是 () A.平行 A.平面DDCC B.平面ADB B.垂直相交 C.平面ABCD D.平面ADB C.垂直但不相交 4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为 D.相交但不垂直 1的正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=√6，则 2.如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形 的两边：②梯形的两边：③圆的两条直径：④正 PC与平面ABCD所成角的大小是() 六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直 A.30 B.45 的有 C.60° D.90 A.①③B.①④ C.②③ D.②④ 提示完成P:课时作业（二十八） 第二课时 直线与平面垂直的性质 [学习目标]1，理解直线与平面垂直的性质定理，并能够证明，2，能运用性质定理证明一些空间位置关系 的筒单命题（重点）.3.会求筒单的线面距离和面面距离（难点）.4，发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的 核心素养， 必备知识基础落实 答案见Pm 要点一直线与平面垂直的性质定理 2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 L.文字语言：垂直于同一个平面的两条直线 到另一个平面的距离都相等，我 们把它叫做这两个平行平面间的距离。 2.图形语言：如图所示. 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (1)垂直于同一条直线的两个平面平行. 3.符号语言： →a∥b. (2)过一点至少有两条直线与已知平面垂直. 4.作用：(1)由线面垂直可以得出线线平行： () (2)作平行线。 (3)两条异面直线中有一条直线垂直于一个 要点二线面距离和面面距离 平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. L.一条直线与一个平面平行时，这条直线上 () 到这个平面的距离，叫做这条直 (4)在棱柱、棱台的体积公式中，它们的上、下 线到这个平面的距离. 底面间的距离指的是它们的高。 () ·91· 数学必修第二册课堂学案 关键能力素养提升 答案见P 探究一 线面垂直的性质定理及其应用 【变式1】已知平面a∩平面3=AB,PQ⊥a于点 Q,PO⊥3于点O,OR⊥a于点R.求证： 规律总结 QR⊥AB. 直线与平面垂直的性质定理给出了一种证 明两条直线平行的方法，即只需证明两条直 线均与同一个平面垂直即可，反映了线线平 行与线面垂直逻辑上的相互转化，即“若线 面垂直，则线线平行”.利用直线与平面垂直 的性质定理可构造平行线，即使这些直线都 垂直于同一个平面.还可以证明直线与平面 垂直的其他性质：①如果一条直线和一个平 面垂直，则这条直线和这个平面内的任意一 条直线垂直：②若两条平行线中的一条垂直 于一个平面，则另一条也垂直于这个平面： ③垂直于同一条直线的两个平面平行：④如 果一条直线垂直于两个平行平面中的一个， 则它必垂直于另一个平面。 【例题1】如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是 矩形.AB⊥平面PAD,AD= AP,E是PD的中点，M, 探究二 空间中的距离 N分别在AB,PC上，且MN⊥AB,MN⊥PC 求证：AE∥MN 解题技巧 空间中平面与平面的距离、直线与平面的距 离都可转化为点到平面的距离.点到平面的 距离有两种求法：①找到或作出过这一点且 与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； ②用等体积法。 【例题2】如图，在正三棱柱ABC-A,BC1中，D 是BC的中点，AA=AB=1. ·92· 第八章立体几何初步 (1)求证：AC∥平面ABD: 【变式2】(2022·新课标1改编)如图，直三棱柱 (2)求A,C到平面AB,D的距离. ABCA:BC的体积为4，△ABC的面积为 2、√2，则点A到平面ABC的距离为（) A.2 B② 3 C.2v2 D2② 3 随堂检测学以致用 答案见P L.在正方体ABCD-A,B,C1D,中，直线I⊥平面 3.如图，已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD, ABCD,则有 且AF=DE,AD=6,则EF A.BB⊥I B.BB∥I C.BB与l异面 D.BB与l相交 2.若正四棱柱ABD-ABCD 的底面边长为1，AB,与底 4.已知A,B两点在平面a的同侧，且到a的距离 面ABCD成60°角，则AC 分别为3和5，则线段AB的中点到a的距离 到底面ABCD的距离为 为 提示完成P,课时作业（二十九） 8.6.3 平面与平面垂直 第一课时平面与平面垂直的判定 [学习目标]1.理解二面角、二面角的平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法.2.会求简单的二 面角的平面角（难点）.3.理解两个平面互相垂直的概念，并能用定义和判定定理证明相关的简单命题（重 点)，4，发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养， 必备知识基础落实 答案见P 要点一二面角 2.记法：棱为AB,面分别为α，3的二面角记作二 1.定义：从一条直线出发的 面角 .在a,3内（棱以外的半 所组成的图 平面部分)分别取点P,Q时，可记作二面角 形叫做二面角，如图， 当棱记作1时，可记作二面角 叫做二面角的 棱， 叫做二面角的面. 或 ·93·所以@∠A0-品号。 所以AD与平面CD所成角的余弦值为票 (2)取OD的中点F,连接EF,CF 因为E,F分别为△DAO的边AD,OD的中点， 所以EF为△DAO的中位线，所以EF∥AO 又AO⊥平面BCD,所以EF⊥平面BCD, 答率B 所以FC为EC在平面BCD内的射影， (2)因为OA=OB=OC=a,∠AOB=∠AOC=60°，所以 所以∠ECF为EC与平面BCD所成的角. △AOB,△AOC为正三角形. 所以AB=AC=a. 国为EF=号AO, 又BC=2a,所以AB十AC=B, 所以△ABC为等腰直角三角形. 而AO=√/AD-OD= Va-(a)-5。 a 同理，△BC也为等腰直角三角形. 取BC的中点H,连接AH,OH,则 所以EF= 60 AHLBC,OH,且AH-OH-号BC-号a. 因为E为AD的中点，所以CE=5AD= 24 又OA=a,所以AP+OF=OA,所以AH⊥OH. 又OH∩BC=H,所以AH⊥平面a. 6 所以sin∠ECF EF 6a2 所以∠AOH为OA与平面a所成的角. CE 3 在R△AOH中，sim∠AOH=A-2 所以∠AOH=45°，即OA与平面a所成角的大小为45 所以CE与平面BCD所成角的正孩值为得 随堂检测·学以致用 [变式2]解析(1)方法一分别取BC,BC的中点D,D,,则 1.C解析因为四边形ABCD是菱形，所以BDLAC,又MC⊥平 AD=33,AD=y3,可知Sw=2X6X35=95, 面ABCD,则BDLMC.因为ACnMC=C,所以BD⊥平面 AMC,又MAC平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与 SA5,=z×2X5=3,设正三棱台ABC-A,BC的 直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但 不相交，故选C项. 高为，则Vm446-号93+5+V9V3Xh- 2.A解析三角形的两边、圆的两条直径一定是相交直线，而 3 梯形的两边、正六边形的两边不一定相交，所以能保证直线 解得h=4,知图分别过A,D作底面垂线，垂足为M, 与平面垂直的有①③.故选A项. 3.B解析因为AD⊥AD,AD⊥AB,且AD∩AB=A, N,设AM=,别AM=VAM+AF=√F+,DN 所以AD⊥平面ADB.故选B项. 4.C解析如图，连接PC,AC,因为PA⊥ AD-AM-MN=25-x,可得DD,=VDN+DN= 平面ABCD,所以∠PCA为PC与平面 √23-r)P+雪，结合回边形℃B是等腰梯形得B服- ABCD所成的角.因为底面ABCD是 边长为】的正方形，所以AC=v2.在 (2)+D0,即2+9=(25-+9+，解得 R△PAC中，iam∠PCA=AC-号 ,所以AA与平面ABC所成角的正切值为am∠AAD 3,所以∠PCA=60°故选C项. A1长选B克 第二课时直线与平面垂直的性质 必备知识·基础落实 要点一 1.平行 3.aLa bLa 要点二 1.任意一点 2.任意一点 方法二将正三棱台ABC-A:BC补成正三棱锥P-ABC, 则A,A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角， [辨析们解析(1)正确，根据线面垂直的几何特征，可知垂直于 同一条直线的两个平面平行 ,VA马S= 周为路-0=号·则 =27,可知V4,49 (2)错误，假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线 与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点， 多》-号，则Vnm=18,设正三被维P-AC的高为 与这两条直线过同一点矛盾，故过一点只有一条直线与已 知平面垂直， d.则Vr=了4X号×6X6×号=18，解得d=25,取 (3)错误，假设另一条直线也垂直于这个平面，则根据线面 底面ABC的中心为O,则PO⊥底而ABC,且AO=2,所 垂直的性质定理知，这两条直线互相平行，与这两条直线是 以PA与羊面ABC所成角的正切值为m∠PAO=品 异面直线矛盾，故另一条直线不垂直于这个平面， (4)正确，由两个平行平面间的距离的概念可得. 1.故选B项. 答系(1)√(2)×(3)×(4) ·288· 关键能力·素养提升 [例题1]证明因为AB⊥平面PAD,AEC平面PAD,所以 8.6.3平面与平面垂直 AE⊥AB,又AB∥CD,所以AEICD. 第一课时平面与平面垂直的判定 因为AD=AP,E是PD的中点，所以AE PD. 必备知识·基础落实 又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD. 要点一 因为MN⊥AB.AB∥CD,所以MN⊥CD 1.两个半平面这条直线这两个半平面 又MN⊥PC,PCNCD=C, 所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN. 2.a-AB-8 P-AB-Q a-1-8 P-I-Q [变式1]证朋如图，因为a∩3-AB,POL3于点O, 3.(1)半平面a和3内二面角的平面角 所以PO⊥AB.因为PQ⊥a于点 (2)直角0°≤a≤180 Q,所以PQ⊥AB. 要点二 连接Q),因为PONPQ=P, 1.直二面角 所以ABL平面PQO 2.aL3 因为OR⊥a于点R, 要点三 所以PQ∥OR,所以PQ与OR确 1.垂线 定平面PQRO. 3.1L3.1Ca→a⊥3 因为QRC平面PQRO,AB⊥平面PQRO, [辨析]解析(1)正确，由面面垂直的判定定理可得 所以QR⊥AB. (2)错误，如图，根据等角定理可知 [例题2]解析(1)证明：连接AB,设 ∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平 A1B∩AB=E,连接DE, 面角的大小与角的项点的位置无 因为在正三棱柱ABC-ABC中， 。1 关，只与二面角的大小有关 AA=AB,所以四边形A1ABB,是 (3)错误，二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不 正方形，所以E是A1B的中点. 是两条“直线”的夹角，因此二面角0的取值范围是0°≤ 又D是BC的中点，所以DE∥AC. 180. 因为DEC平面ABD,AC中平 (4)正确，由二面角的平面角的定义可知。 面ABD 答察(1)√(2)×(3)×(4)√ 所以AC∥平面AB1D. (2)在平面BBCC内作CH⊥BD交BD的延长线于点 关键能力·素养提升 H,依题意得AD⊥BB,AD⊥BC,且BB∩BC=B,所以 [例题1]证朋因为PD⊥平面ABCD,AMC平面ABCD,所以 AD⊥平面BBCC,所以AD⊥CH.因为AD∩BD=D,所以 PD⊥AM CH⊥平面AB,D,则CH的长度就是，点C到平面AB,D的 因为PB⊥AM,且PB∩PD=P,PBC平而PBD,PDC平 距离，由△CDH△BDB.且AA=AB=1,得CH= 面PBD, B-得即点C到手面ABD的距离是 所以AM⊥平面PBD】 B D 5 又AMC平面PAM,所以平面PAML平面PBD 所以AC到平面AB,D的距离是5 [变式1]证明由已知得PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, 5 所以PA⊥BC [变式2]A解析在直三棱柱ABC-A,B:C中，设点A到平 因为AB是⊙O的直径，且，点C在圆周上，所以AC⊥BC 面ABC的距离为h,则V世=号S△·h=22 又因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC. 3 因为BCC平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC V=号Sam·AA=号VA45=号解得h=厄。 [例题2]解析(1)证明：因为N,F均为所在棱的中，点，所以 NF⊥平面AB:CD. 所以点A到平面A1BC的距离为2.故选A项。 因为MNC平面ABCD,所以NF⊥MN: 随堂检测·学以致用 又M,E均为所在棱的中点， 1.B解析依题意可知BB⊥平面ABCD,且1⊥平面 所以△CMN和△B1NE均为等腰直角三角形. ABCD,所以l∥BB.故选B项. 所以∠MNC=∠B1NE=45°，所以∠MNE=90° 2.解析因为AB与底面ABCD成60°角，所以∠B,AB=60°， 所以MN⊥NE,又NF∩NE=N,所以MN⊥平面NEF 所以BB=AB·tan60°=5.又平面ABCD∥平面 因为MNC平面MNF,所以平面MNF⊥平面NEF ABCD,ACC平面AB1C1D,所以A,C1到底面ABCD的 (2)在平面NEF中，过点N作NG⊥ 距离为B1B=3. EF于点G,连接MG, 由(1)知MN⊥平面NEF, 答索 3.解析因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥ 又EFC平面NEF,所以MN⊥EF DE.又AF=DE,所以四边形AFED是平行四边形，所以 又MN∩NG=N,所以EF⊥平面 EF=AD=6. MNG,所以EF⊥MG. 答索6 所以∠MGN为二面角M-EF-N的平面角. 4.解析如图，设AB的中点为M,分别过 设该正方体的棱长为2. A,M,B向a作垂线，垂足分别为A, M,B,则由线面垂直的性质可知， 在R△NEF中，NG=NE·NF_23 EF 3 AA1∥MM∥BB,四边形AABB为 因为NGC平面NEF,所以MN⊥NG, 直角梯形，AA=3,BB1=5,MM为四 边形AABB的中位线，所以MM= 所以在Rt△MNG中，tan∠MGN=MN= NG 25 2 2AA+B,)=4 3 答系4 所以二面角M-F-N的手面商的正切值为写 ·289·