8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

第八章立体几何初步 (1)求证：AC∥平面ABD: 【变式2】(2022·新课标I改编)如图，直三棱柱 (2)求AC到平面AB1D的距离 ABC-ABC的体积为4，△ABC的面积为 2√2，则点A到平面ABC的距离为() A.√2 B② C.2√2 D22 3 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.在正方体ABCD-A:BC1D1中，直线I⊥平面 3.如图，已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD, ABCD,则有 ( 且AF=DE,AD=6,则EF A.BB⊥l B.B1B∥1 C.BB与L异面 D.B1B与l相交 2.若正四棱柱ABCD-A,BCD 的底面边长为1，AB:与底 4.已知A,B两点在平面α的同侧，且到α的距离 面ABCD成60°角，则AC 分别为3和5，则线段AB的中点到a的距离 到底面ABCD的距离为 为 提示完成P,课时作业（二十九） 8.6.3 平面与平面垂直 第一课时平面与平面垂直的判定 [学习目标]1.理解二面角、二面角的平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法.2.会求简单的二 面角的平面角（难点）.3.理解两个平面互相垂直的概念，并能用定义和判定定理证明相关的简单命题（重 点).4.发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养 必备知识基础落实 答案见P 要点一二面角 2.记法：棱为AB,面分别为a,3的二面角记作二 1.定义：从一条直线出发的 面角 在α，B内（棱以外的半 所组成的图 平面部分)分别取点P,Q时，可记作二面角 形叫做二面角，如图， 当棱记作（时，可记作二面角 叫做二面角的 棱， 叫做二面角的面 或 ·93· 数学必修第二册课堂学案 3.二面角的平面角 要点三平面与平面垂直的判定定理 (1)定义：在二面角a-l-3的棱1上任取一点 1,文字语言：如果一个平面过另一个平面的 O,如图所示，以点O为垂足，在 ,那么这两个平面垂直 分别作垂直于棱1的射线OA和OB,则射线 2.图形语言：如图所示. OA和OB构成的∠AOB叫做 3.符号语言： (2)直二面角：平面角是 的二面角.二 辨析 面角的平面角α的取值范围是 判断正误，正确的画“√/”，错误的画“X” 要点二 平面与平面垂直的定义 (1)若直线⊥平面a则过l有无数个平面与a 1.定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的 垂直 () 二面角是 就说这两个平面互相 (2)二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱 垂直。 上的位置有关。 () 2.画法： (3)二面角0的取值范围是0°<≤90°.() (4)由组成二面角的平面角的两边所在直线确 记作： 定的平面与二面角的棱垂直， () 关键能力素养提升 答案见Pa 探究一 平面与平面垂直的判定 规律总结 证明平面与平面垂直的方法：(1)利用定义， 即证明二面角的平面角为直角：(2)利用平 面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经 过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面 互相垂直，即把证明面面垂直转化为证明线 面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内 寻找一条直线与另一个平面垂直。 【例题1】如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形， PD⊥底面ABCD,M为BC的中点，且PBI AM证明：平面PAM⊥平面PBD. ·94· 第八章立体几何初步 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于 (2)求二面角M-EF-N的平面角的正 ⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，求证： 切值 平面PAC⊥平面PBC 【变式2】如图，已知Rt△ABC,斜边BCCa,点 A吐a,AO⊥a,O为垂足，∠ABO=30°， ∠AC0=45°，求二面角 A-BC-O的大小 探究二 求二面角的大小 答题模板 求二面角大小的步骤为一作、二证、三计算. 作二面角的平面角的方法有：(1)定义法，在 二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该 点分别作垂直于棱的射线：(2)垂面法，过棱 上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角 的两个半平面形成交线，这两条射线（交线） 所成的角即为二面角的平面角：(3)垂线法， 利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面 角，这是最常用也是最有效的一种方法。 【例题2】如图，在正方体ABCD-A1BCD中， E,F,M,N分别是A1B1,BC,C1D1和B1C 的中点 (1)求证：平面MNF⊥平面NEF; ·95· 数学必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.如果个二面角的两个半平面与另一个二面 C.m∥n,nLβ，mCa 角的两个半平面分别平行，则这两个二面角的 D.m∥n,m⊥a,n⊥3 大小关系是 3.如图，在正方体ABCD A.相等 B.互补 AB'C'D'中，二面角D AB-D的大小为 C,相等或互补 D.不确定 4.把边长为a的正方形 2.对于直线m,n和平面a,3,能得出a⊥B的一组 ABCD沿对角线AC折 条件是 起，使B,D之间的距离为a,则二面角B-AC A.m⊥n,m∥a,n3 D的大小为 B.mLn,a∩B=m,nC3 提示完成P,课时作业（三十） 第二课时 平面与平面垂直的性质 [学习目标]1.理解平面与平面垂直的性质定理，并能够证明.2.能用性质定理证明一些空间位置关系的 简单命题（重点）.3.发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养。 444444444444444444444444444444444444 4444444444444444444444444 必备知识基础落实 答案见P 要点平面与平面垂直的性质定理 (2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个 1.文字语言：两个平面垂直，如果 平面平行的平面垂直于另一个平面，即α⊥B, 有一直线垂直于这两个平面的 ,那么 Y∥B→Y⊥a. 这条直线与另一个平面垂直， (3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平 2.图形语言： 面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面 内，即a⊥B,bL3→b∥a或勋Ca. (4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面， 那么它们的交线垂直于第三个平面，即a∩B l,a⊥Y,3⊥y→l⊥Y (5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直， 3.符号语言： 即a⊥3，a∩B=l,3⊥y,3∩y=m,Y⊥a,Y∩a= n→l⊥mm⊥n,l⊥n. 4.作用：(1)判定直线与平面垂直： >思考：分别在两个垂直平面内的两条直线有哪 (2)由平面外一点作平面的垂线时，确定垂足 些位置关系？ 的位置 5.平面与平面垂直的其他性质 (1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个 平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一 个平面内，即&⊥B,A∈a,A∈b,b⊥3→bCa ·96关键能力·素养提升 8.6.3 平面与平面垂直 [例题1]明因为AB1平面PAD,AEC平面PAD,所以 AE)AB,又AB//CD,所以AE1CD. 第一课时 平面与平面垂直的判定 因为AD一AP,E是PD的中点,所以AE PD 必备知识·基础落实 又CDOPD=D,所以AE1平面PCD. 要点一 因为MN|AB,AB/CD,所以MN| CD 1.两个半平面 这条直线 这两个半平面 又 MN|PC,PCOCD=C. $$2.$-AB-$$P-AB-Q-l-$$P-$]-$$ 所以MN1平面PCD,所以AE//MN. 3.(1)半平面。和8内 二面角的平面角 [变式1]匪明如图,因为aO③-AB,PO1B于点O. (2)直角0*<<180。 所以PO AB.因为PQ g于点 要点二 Q.所以PQ1AB. 1.直二面角 连接QO,因为PO0PQ-P. 所以AB1平面PQO. 2.al8 要点三 因为ORa于点R, 所以PQ/OR,所以PQ与OR确 1.垂线 定平面PQRO. 3.1B,Ca→a1$ 因为ORC乎面PORO.AB|乎面PORO [辨析]解(1)正确,由面面垂直的判定定理可得. 所以QR |AB. (2)错误,如图,根据等角定理可知 [例题2]解(1)证明:连接A.B,设 AOB- A'OB',即二面角的平 A. BOAB -E,连接DE 面角的大小与角的顶点的位置无 因为在正三校柱ABC-A:BC中, 关,只与二面角的大小有关。 AA. -AB,所以四边形A.ABB 是 (3)错误,二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角,不 正方形,所以E是A,B的中点. 是两条“直线”的夹角,因此二面角0的取值范围是0 又D是BC的中点,所以DE/A.C <180”。 因为DEC乎面ABD,A.CC平 (4)正确,由二面角的平面角的定义可知. 面ABD, 智(1)(2)×(3)×(4) 所以A.C/平面ABD (2)在平面B.BCC 内作CH1B.D交B.D的延长线于点 关键能力·素养提升 [例题1]面明因为PD1平面ABCD,AMC平面ABCD,所以 H.依题意得AD BB,AD BC,且 BB. OBC三B,所以 AD 1平面BBCC,所以AD|CH.因为ADOBD-D,所以 PDAM. CH|平面ABD,则CH的长度就是点C到平面AB.D的 因为PB |AM,且PBOPD=P,PBC平面PBD,PDC平 距离,由△CDHco△BDB,且 AA =AB=1.得CH= 面PBD, 所以AM平面PBD BD 又AMC平面PAM,所以平面PAM| 乎面PBD [变式1]明由已知得PA|平面ABC,BC二平面ABC, 所以PABC. [变式2]A 解期在直三校柱ABC-A.B.C 中,设点A到平 因为AB是O的直径,且点C在圆周上,所以AC|BC 又因为PAOAC-A,所以BC1平面PAC 面A:BC的距离为h,则V^ nc-SA.c·h-2②= 因为BC二平面PBC,所以平面PACI平面PBC $-Sc·AA-Vac-Ac-4,解得-v2, [例题2]解析(1)证明:因为N,F均为所在梭的中点,所以 NF1平面ABCD. 所以点A到乎面A.BC的距离为/②.故选A项 因为MNC平面A.B.CD,所以NF|MN. 随堂检测·学以致用 又M,E均为所在校的中点, 1.B 依题意可知B.B1平面A.B.CD,且l 1平面 所以△C.MN和△B.NE均为等腰直角三角形. A.BCD,所以1//BB.故选B项. 所以 MNC = B NE-45*,所以 MNE=90 2.解析因为AB;与底面ABCD成60*}角,所以 BAB=60” 所以MNINE,又NFONE-N,所以MNI平面NEF 所以BB-AB·tan60*}= ③.又平面A B.CD /平面 因为MN二平面MNF,所以平面MNF1平面NEF. ABCD.A.CC平面A.B.CD.,所以A.C 到底面ABCD的 (2)在平面NEF中,过点N作NG1 EF于点G,连接MG. 距离为B:B-/3. 由(1)知MN1平面NEF 又EFC平面NEF,所以MN|EF 3.解因为AF1平面ABCD,DE1平面ABCD,所以AF/ DE.又AF一DE,所以四边形AFED是平行四边形,所以 又 MNONG-N,所以EF1平面 EF-AD-6. MNG,所以EF1MG. 答6 所以 MGN为二面角M-EF-N的平面角. 4.解如图,设AB的中点为M,分别过 设该正方体的校长为2. A,M,B向。作垂线,垂足分别为A, 在Rt△NEF中,NGNE· NF23 M,B,则由线面垂直的性质可知, EH AA./MM /BB,四边形AA.BB为 因为NGC平面NEF,所以MN|NG. 直角梯形,AA.-3,BB.-5,MM 为四 NG- # 边形AABB的中位线,所以MM= (A+BB)-4. 4 ·289. [变式2]解析如图,在平面a内,过O作 关键能力·素养提升 OD |BC,垂足为点D,连接AD,设 [例题1]匪明如图,设ACO CO-a. BD-G,连接EG,FG 因为AOla,BCC,所以AO|BC. 又AOOOD=O,所以BC1平面AOD. 由AB-V②易知CG-1,则 因为ADC乎面AOD,所以AD BC. EF-CG-CE 所以/ADO是二面角A-BC-O的平面角。 因为EF/CG 由AO]a,OBCa,OCCa,知AO ]OB,AO]OC 所以四边形CEFG为菱形, 因为 ABO-30{*,ACO-45{,CO=a 所以CF 1FG 所以AO-a,AC-/②a,AB-2a. 因为四边形ABCD为正方形,所以BD AC 在Rt△ABC中,BAC-90*, 又平面ACEF1平面ABCD,且平面ACEFO平面ABCD-AC. 所以BD1平面ACEF,所以BD|CF 所以BC= AC+AB-/a. 又.BDOEG-G.所以CF | 乎面BDE 所以AD-AB·AC2a 2a23a BC [变式1]匪明因为底面ABCD是矩形,所以BC|CD 6a 又因为平面SDC1平面ABCD,平面SDCO平面ABCD- CD,BC二平面ABCD,所以BC1平面SCD. 又因为BC二平面SBC,所以平面SCD|平面SBC. [例题2]解(1)证明:如图,取AD的 所以/ADO-60{*},即二面角A-BC-Q的大小是6 0* 中点G,连接PG,BG. 随堂检测·学以致用 因为入PAD为正三角形, 1.C 解析由题意易知这两个二面角的平面角的两边分别平 所以PG|AD. 行,故这两个二面角相等或互补.故选C项. 在菱形ABCD中,DAB-60* 2.C 根据面面垂直的判定定理可知C项中m|3,且mC 因为G为AD的中点, a,所以a|B故选C项. 所以BG|AD.又BGOPG-G 3.解析在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB|平面AA'D'D,所 所以AD)平面PGB 以AB1AD,AB AD,因此 DAD为二面角D-AB-D的平 因为PBC平面PGB,所以AD|PB 面角,在Rt^DDA中,DAD=45{},所以二面角D-AB-D的 (2)当F为PC的中点时,平面DEF|平面ABCD 大小为45*。 答45* 证明:如图,取PC的中点F,连接DE,EF,DF, 在△PBC中,FE/PB;在菱形ABCD中,GB//DE 4.解析如图,取AC的中点O,并连接BO, 又 DEOEF-E,PBOGB-B, 所以平面DEF/平面PGB. 又平面PAD1平面ABCD,平面PADO平面ABCD-AD 角的平面角,因为BO十OD*}一BD,所以 且PGAD, BO OD,所以 BOD=90{},即二面角B- AC-D的大小为90{. 所以PG1平面ABCD,而PGC平面PGB. 答90。 所以平面PGB1平面ABCD, 第二课时 平面与平面垂直的性质 所以平面DEF平面ABCD. [变式2]匪明(1)如图,连接AC交BD于点O,取PC的中点 必备知识·基础落实 F,连接OF,EF.因为四边形ABCD为正 要点 1.一个平面内 交线 方形,所以O为AC的中点: 3.al aOg-I aCa all 所以OF/PA,且OF-PA. [思考]腿平行、相交(含垂直)或异面. [辨析]解(1)错误,如图,平面al平面8,aCa,bCB,但a,b 因为EB/PA,且EB-PA, 不垂直。 所以EB/OF,且.EB-OF, 所以四边形EBOF为平行四边形, 所以EF/BD. 又.EFC乎面PFC,BD亡乎面PEC 所以BD/乎面PFC (2)正确,如图,平面B内存在无数条垂直于两个平面交线 的直线,这些直线都与直线垂直. 90{*,所以△EBAC△BAP,所以 PBA-BEA, 所以 PBA+$BAE= BEA+$BAE=90{},即PB AE$ 因为PA|平面ABCD,PAC平面APEB, 所以平面ABCD1平面APEB. (3)错误,垂直于交线的直线必须在平面B内才与平面a垂 因为BC|AB,平面ABCD平面APEB-AB,BCC平面 直,否则不垂直。 ABCD,所以BC | 乎面APEB,所以BC| AE (4)错误,a与>可能平行,也可能相交,如图所示 又BCOPB=B,BCC平面PBC,PBC平面PBC, 所以AE1平面PBC.因为G为BC上的动点, 所以PGC乎面PBC,所以AE|PG 随堂检测·学以致用 1.B 解由面面垂直的性质定理知,若alB,aOB-m,nCa (1)×(2)(3)X(4)× 应增加的条件为nn,才能使得nB.故选B项. ·290·