8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

数学必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.如果个二面角的两个半平面与另一个二面 C.m∥n,nLβ，mCa 角的两个半平面分别平行，则这两个二面角的 D.m∥n,m⊥a,n⊥3 大小关系是 3.如图，在正方体ABCD A.相等 B.互补 AB'C'D'中，二面角D AB-D的大小为 C,相等或互补 D.不确定 4.把边长为a的正方形 2.对于直线m,n和平面a,3,能得出a⊥B的一组 ABCD沿对角线AC折 条件是 起，使B,D之间的距离为a,则二面角B-AC A.m⊥n,m∥a,n3 D的大小为 B.mLn,a∩B=m,nC3 提示完成P,课时作业（三十） 第二课时 平面与平面垂直的性质 [学习目标]1.理解平面与平面垂直的性质定理，并能够证明.2.能用性质定理证明一些空间位置关系的 简单命题（重点）.3.发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养。 444444444444444444444444444444444444 4444444444444444444444444 必备知识基础落实 答案见P 要点平面与平面垂直的性质定理 (2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个 1.文字语言：两个平面垂直，如果 平面平行的平面垂直于另一个平面，即α⊥B, 有一直线垂直于这两个平面的 ,那么 Y∥B→Y⊥a. 这条直线与另一个平面垂直， (3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平 2.图形语言： 面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面 内，即a⊥B,bL3→b∥a或勋Ca. (4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面， 那么它们的交线垂直于第三个平面，即a∩B l,a⊥Y,3⊥y→l⊥Y (5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直， 3.符号语言： 即a⊥3，a∩B=l,3⊥y,3∩y=m,Y⊥a,Y∩a= n→l⊥mm⊥n,l⊥n. 4.作用：(1)判定直线与平面垂直： >思考：分别在两个垂直平面内的两条直线有哪 (2)由平面外一点作平面的垂线时，确定垂足 些位置关系？ 的位置 5.平面与平面垂直的其他性质 (1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个 平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一 个平面内，即&⊥B,A∈a,A∈b,b⊥3→bCa ·96 第八章立体几何初步 辨析 直于平面3内的无数条直线。 () 判断正误，正确的画“/”，错误的画“X” (3)如果a⊥3，过3内的任意一点作α与B交线 (1)若两个平面垂直，则这两个平面内任意两 的垂线，则这条直线必垂直于a () 条直线互相垂直 ( (4)垂直于同一个平面的两个平面平行. (2)若平面a⊥平面A,且直线bCa,则直线b垂 关键能力素养提升 答案见P 探究一 平面与平面垂直的性质定理及其 【变式1】如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD 应用 是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD,求证：平面 SCD⊥平面SBC 解题技巧 面面垂直的性质定理主要用于解决线面垂 直问题，即由面面垂直得出线面垂直.运用 两个平面垂直的性质定理时，一殷需作辅助 线，基本作法是过其中一个平面内一点在该 平面内作交线的垂线，这样就把面面垂直问 中中方于于市于卡于中卡中节市中卡卡行中节中节于数方十中中节于中中中十十节干节中卡市于市行中卡于市十卡节于中行中 题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂 直问题。 【例题1】如图，正方形 ABCD和四边形ACEF 探究二 垂直关系的综合应用 所在的平面互相垂 直，EF∥AC,AB=√2，CE-EF-1,求证： 规律总结 CF⊥平面BDE. (1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂 直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是 相互关联的，它们之间的转化关系如图 所示 线面垂直 线线垂直 面面垂直 (2)空间问题转化成平面问题是解决立体几 何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几 何图形自身的特点，如等腰（边）三角形的三 线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂 直等，还可以通过解三角形，产生一些题目 所雪要的条件，对于一些较复杂的问题，注 意应用转化思想解决问题， 97 数学必修第二册课堂学案 【例题2】如图，在四棱锥P 【变式2】如图，在几何体ABCDPE中，底面 ABCD中，底面ABCD ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面 是∠DAB=60°且边长 ABCD,PA∥EB,且PA=2EB=4√2. 为a的菱形，侧面PAD (1)求证：BD∥平面PEC; 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (2)若G为BC上的动点，求 (1)求证：AD⊥PB; 证：AE⊥PG (2)若E为边BC的中点，能否在棱PC上找 到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证 明你的结论。 随堂检测学以致用 答案见P 1.已知直线m,n和平面a,B,若a⊥β，a∩B=m, 3.(选)设m,n是两条不同的直线，a,3是两个 nCa,要使n⊥B,则应增加的条件是( 不同的平面，给出如下命题，其中正确的是 () A.m∥n B.n⊥m A.若a⊥3，a∩8-m,nCa,n⊥m,则nL3 C.n∥a D.nLa B.若aLB,且n⊥B,n⊥m,则m⊥a 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD= C.若a⊥B,m⊥B,m中a,则m∥a AB,∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿 D.若a⊥B,m∥a,则m⊥3 BD折起，使平面ABD⊥平面BCD,构成几何 4.如图，A,B,C,D为空间中的四点，在△ABC 体A-BCD,则在几何体A-BCD中，平面 中，AB=2,AC=BC=√2，等边三角形ADB 以AB为轴运动.当平面ADB⊥平面ABC时， ABC和平面ADC的关系是 CD- A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.平行或垂直 提示完成P课时作业（三十一）和Pa培优训练（六） ·98·[变式2]解析如图，在平面a内，过O作 关键能力·素养提升 OD⊥BC,垂足为点D,连接AD,设 [例题1]证明如图，设AC∩ C0=a. BD=G,连接EG,FG. 因为AO⊥a,BCCa,所以AO⊥BC. 又AO∩OD=O,所以BC⊥平面AOD. 由AB=√2易知CG=1,则 因为ADC平面AOD,所以AD⊥BC, EF-CG-CE. 所以∠ADO是二面角A-BC-O的平面角. 因为EF∥CG 由AOLa,OBCa,OCCa,知AOLOB,AO⊥OC 所以四边形CEFG为菱形， 图为∠ABO=30°，∠AC0=45°，C0=a, 所以CF⊥EG. 所以AO=a,AC=√2a,AB=2a 因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC 在Rt△ABC中，∠BAC=90°， 又平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF门平面ABCD=AC, 所以BD⊥平面ACEF,所以BD⊥CF 所以BC=√JAC+AB=√6a, 又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE. 所以AD=AB,AC_2a·2a_23a [变式1]证明因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD. BC √6a 31 又因为平面SDC⊥平面ABCD,平面SDC∩平面ABCD= 在R△AOD中，sin∠AD0=49-a-3 CD,BCC平面ABCD,所以BCL⊥平面SCD. AD 23a 2' 又因为BCC平面SBC,所以平面SCD⊥平面SBC 3 [例题2]解析(1)证明：如图，取AD的 所以∠ADO=60°，即二面角A-BC-O的大小是60° 中点G,连接PG,BG. 随堂检测·学以致用 因为△PAD为正三角形， 1.C解析由题意易知这两个二面角的平面角的两边分别平 所以PG⊥AD. 行，故这两个二面角相等或互补.故选C项. 在菱形ABCD中，∠DAB=60°， 2.C解析根据面面垂直的判定定理可知C项中m⊥B,且mC 因为G为AD的中点， a,所以a⊥R故选C项， 所以BG⊥AD.文BG∩PG=G, 3.解析在正方体ABCD-AB'CD'中，AB⊥平面AA'D'D,所 所以AD⊥平面PGB. 以AB⊥AD,AB⊥AD,图此∠DAD为二面角D-AB-D的平 因为PBC平面PGB,所以AD⊥PB. 面角.在Rt△DDA中，∠DAD=45,所以二面角D-AB-D的 (2)当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD. 大小为45 证明：如图，取PC的中点F,连接DE,EF,DF, 答案45° 在△PBC中，FE∥PB:在菱形ABCD中，GB∥DE. 4.解析如图，取AC的中点O,并连接BO, 又DE∩EF=E,PB∩GB=B, D0,则B0-0D-号a,∠BOD为共二而 所以平面DEF∥平面PGB. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 角的平面角，因为BO十OD=BD,所以 且PG⊥AD, BO⊥OD,所以∠BOD=90°，即二面角B- AC-D的大小为90°. 所以PG⊥平面ABCD,而PGC平面PGB, 答系90° 所以平面PGB⊥平面ABCD, 第二课时 平面与平面垂直的性质 所以平面DEF⊥平面ABCD. 必备知识·基础落实 [变式2]证朋(1)如图，连接AC交BD于点O,取PC的中点 要点 F,连接OF,EF.因为四边形ABCD为正 1.一个平面内交线 方形，所以O为AC的中点， 3.aLBa∩B=l aCa a⊥l 所以OF/∥PA,且OF=PA [思考]提示平行、相交（含垂直）或异面， [辨析]解析(1)错误，如图，平面a⊥平面B,aCa,bC3,但a,b 国为EB∥PA,且EB=PA, 不垂直. 所以EB∥OF,且EB=OF, 所以四边形EBOF为平行四边形， 所以EF∥BD. B 又EFC平面PEC,BD过平面PEC, (2)正确，如图，平面3内存在无数条垂直于两个平面交线 所以BD∥平面PEC. 的直线，这些直线都与直线b垂直。 〈②中用，连接PB,周为器-阶方∠EBA=∠BAP 90°，所以△EBAC△BAP,所以∠PBA=∠BEA, 所以∠PBA+∠BAE-∠BEA+∠BAE-90°，即PB⊥AE 因为PA⊥平面ABCD,PAC平面APEB, 所以平面ABCD⊥平面APEB. (3)错误，垂直于交线的直线必须在平面B内才与平面α垂 因为BC⊥AB,平面ABCD∩平面APEB=AB,BCC平面 直，否则不垂直。 ABCD,所以BC⊥平面APEB,所以BC⊥AE (4)错误，a与y可能平行，也可能相交，如图所示. 又BCOPB=B,BCC平面PBC,PBC平面PBC, 所以AE⊥平面PBC.因为G为BC上的动点， 所以PGC平面PBC,所以AE⊥PG B 随堂检测·学以致用 L.B解析由面面垂直的性质定理知，若aLB,a∩B-m,nCa 答案(1)×(2)√(3)×(4)× 应增加的条件为n⊥m,才能使得nLB故选B项. ·290· 2.B解析由已知得BA⊥AD,CD⊥BD,又平面ABD⊥平面 BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,从 的外接球球心为0，连接OA,00,则0A=2,00,=2SA, 而CD LAB,又AD∩CD=D,故AB⊥平面ADC.又ABC 因为0A:=00+0A,即4=}SA+3,解得SA=2. 平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.故选B项. 3.AC解析根据平面与平面垂直的性质知A项正确；B项中， m还可能在a内或m∥a或m与a斜交，故B项不正确；C项 中，当a⊥B,m⊥B,m寸a时，只可能有m∥a,故C项正确；D 项中，m与B的位置关系可能是m∥B或mCβ或m与B相 交，故D项不正确.故选AC项. 4.解析如图，取AB的中点E,连接DE,CE 因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时， (2)不妨设正方体的棱长为2，EF的中点为O,分别取CD, 因为平面ADB∩平面ABC=AB, 所以DE⊥平面ABC,所以DE⊥CE CC的中点G,M,侧面BBCC的中心为N,连接FG,EG, OM,ON,MN,如图，由题意可知，O为球心，在正方体中， 由已知可得DE=√3，EC=1. EF=√/FG+EG=√2+2严=2W2,即R=√2，则球心O 在Rt△DEC中，CD=√DE+CE区=2. 答案2 到CC1的距离为OM=√ON+MN=√/+I平=√2，所 以球O与棱CC1相切，球面与棱CC只有1个交点，同理， 章末复习方案 根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交，点， [真题1]解析(1)如图，取AB的中点E,连接PE,CE 所以以EF为直径的球面与该正方体的棱共有12个公 共点 D 因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,所以 PE⊥AB,CE⊥AB.又PE,CEC平而PEC,PE∩CE-E, 答案(1)2(2)12 所以AB⊥平面PEC.又PE=CE=2X号 =3,PC=√6， [真题3]C解析对于A项，若m∥a,nCa,则m,n平行或异 故PC=PE+CE,即PE⊥CE,所以Vrx=VaPr十 面，故A项错误；对于B项，若m∥a,n∥a,则m,n平行或 异面或相交，故B项错误；对于C项，m∥a,n⊥a,过m作平 Vm=号Sm·AB=号×号×BXBX2=1故选A项 面B,使得门a=s,因为mCB,故m∥s,而sCa,故n⊥s,故 (2)由题意得，∠APB=120°，PA=2,所以OP=1,QA=OB= m⊥n,故C项正确；对于D项，若m∥a,n⊥a,则m与n相 交或异面，故D项错误.故选C项. 3,圆维的体积为号×x×(3)2×1=,A项正确；圆维的 [真题4]解析(1)证明：由题意得，平面CMD⊥平面ABCD,交 侧面积为πX√3X2=2,√3π，B项错误；设D是AC的中点， 线为CD. 连接OD,PD,则AC⊥OD,AC⊥PD,所以∠PDO是二面 因为BC⊥CD,BCC平面ABCD, 角P-AC-O的平面角，则∠PDO=45°，所以OP=OD= 所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM. 1,故AD=CD=√3-=√2，则AC=2√2，C项正确； 因为M为CD上异于C,D的点，且DC为直径， PD=+T-厄，所以S%e=合×2EXE=2,D项 所以DMCM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC. 而DMC平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC. 错误.故选AC项」 (2)当P为AM的中，点时，MC∥平面PBD. 证明如下：连接AC,BD交于点O. 因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点. 连接OP,因为P为AM的中点，所以MC∥OP. 又MC过平面PBD,OPC平面PBD, (3)方法一 由子号=是而载去的正四被维的高为3，所 所以MC∥平面PBD. 以原正四棱锥的高为6， 所以正四棱维的体积为子×(4X4)X6=32,藏去的正四棱维 的体积为号×(2X2)×3=4,所以棱台的体积为32一4=28， [真题5]ABD解析如图，连接BC, 方法二棱台的体积为号×3×(16+4+16X④=28. BC,因为DA1∥BC,所以直线BC 与BC所成的角即为直线BC:与 答案(1)A(2)AC(3)28 DA1所成的角，因为四边形BBCC [真题2]解析(1)如图，将三棱锥S-ABC转化为直三棱柱 为正方形，所以BC⊥BC,故直线 SMN-ABC,设△ABC的外接圆圆心为O1,半径为r,则 BC与DA1所成的角为90°，A项正 nACB及=23，可得r3,设三枚锥SABC 2r= AB 确；连接AC,因为AB⊥平面BBCC,BCC平面 BBCC,则AB⊥BC,因为B CLBC,AB∩BC=B, ·291·