8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

以∠ABC=60,面积Sr=号 2 ×2×2×sim60°=/5.故选 D项 随堂检测·学以致用 图1 2 图3 1.C解析根据斜二测画法知正方形的直观图中有内角为 [变式1门解析(1)如图1，以BC边所在的直线为x轴，以BC 边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 45,排除A,B项：短边是长边的，排除D项，故选C项。 其中B)=CO=2cm,AO=23cm. 2.A解析根据直观图可判断原图形中AB⊥BC,AD∥BC,且 AD≠BC,故平面图形是直角梯形.故选A项. 3.D解析如图，正方形ABCD的边长为1，利用斜二测画法 得到的平面直观图A'BCD'是平行四边形，所以该平行四 边形的周长1=2(DA'+D'C=2×(号+1)=3.故选 图1 图2 D项. (2)画对应的x轴y'轴，使∠x'Oy=45°，在x'轴上截取 0B'=0C=2m,在y轴上取0A'=0A=3cm,连 接A'B',A'C,则三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观 图，如图2所示. [例题2]解折(1)画轴.如图1所示，画x轴y轴、之轴，三轴相 交于，点O,使∠xOy=45°，∠xO=90°. 4.解析由题意易知在△ABC中，ACLAB,且AC=6,AB=3. (2)画下底面.在平面xOy上画边长为2cm的正方形的直 所以原△ABC的面积S6m=立×6X3=. 观图ABCD. (3)画上底面，在O上上戴取OO'=2cm,过分别作平行 答系9 于Ox,Oy的直线Ox',Oy',在平面x'Oy'上用画正四棱 8.3简单几何体的表面积与体积 台下底面的方法画出边长为1cm的正四校台的上底面. (4)成图.依次连接AA',BB,CC,DD,整理（去掉辅助线， 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 将被遮挡的部分改成虚线)得到正四棱台的直观图，如图2 所示， 必备知识·基础落实 要点一 各个面 要点二 1.(1)两底面(2)Sh 2.(1)顶点 垂是(2)号5品 3.(1)两底面 (2)号h(S+,S5+S 图 图2 [辨析门解扬(1)错误，还要乘以三分之一 [变式2]解析(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Ok轴，∠xOy=45°， (2)正确，棱台是截棱锥所得， ∠xOk=90°，如图1. (3)错误，不同的展开方式，几何体的平而展开图不一定相 (2)画底面.以O为中心，在平面Oy内画出正方形的直观 同，表面积是各个面的面积和，儿何体的平面展开方法可能 图ABCD,如图1，其中AB=2.BC=1. 不同，但其表面积唯一确定 (3)画顶点.在Ok轴上戴取OP使OP=3. (4)错误，表面积交大，而体积不变 (4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线，将被 答系(1)×(2)√(3)×(4)X 遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图2. 关键能力·素养提升 [例题门解析如图，过点S作SD⊥BC,交BC于点D, 图1 图2 [例题3]解析如图，建立平面直角坐标 系Oy,在x轴上戴取OD=OD1= 周为BC=a,sD=SB-BD=V-(号）厂-. 1,O0C=C:=2.过点D作y轴的 平行线，并戴取DA=2D1A=2.过 所以5=号BC·SD=a×a= 2 点A作x轴的平行线，并截取AB= AB=2.连接BC,即得到原图形. D 0 因光四西体S-ABC的表面积S=4×。=√3 由上述作图过程可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下 [变式1]解粉如图，设底面对角线AC 底长分别为AB=2,CD=3,高为AD=2.所以原图形的面 a,BD=b,交，点为O,体对角线AC 积S=23×2=5. 15,B1D=9, [变式3]D解析根据“斜二测画法”可得BC=B'C'=2,AO= 所以a2+52=152,+52=92. 所以a2=200,=56. 2A'O=5,故原△ABC是一个边长为2的等边三角形，所 因为孩直四棱柱的底面是荒形， ·280· 所以AB=(9)'+(四)-+华=200+56=64. 4 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 所以AB=8.所以直四棱柱的侧面积S=4×8X5=160. [例题2]解粉(1)依题意可知棱台的高 必备知识·基础落实 为MN=157.5-148.5=9(m),所以 要点一 增加的水量即为棱台的体积V,棱台 π22xrl2xwl+2r22rl元rl十πr2xr2 上底面面积S=140.0km2=140× πl(r+r'）π(r++r+rl) 10m,下底面而积S=180.0km2=180X105m,所以 要点二 V-号4(5+S+,)=号×9X10X10+10X10+ /140X180×102)=3×(320+607)×10°≈(96+18× 要点三 2.65)×10=1.437×10°≈L.4×10°(m).故选C项. 1.4元R4 (2)用一个完全相同的五面体HJ-LMN(顶，点与五面体 2青 ABC-DEF一一对应)与该五面体相嵌，使得点D与N,E 与M,F与L重合，因为AD∥BE∥CF,且两两之间的距离 3.(1)/3a3xa2(2)8R2(3)2 为1，AD=1,BE=2,CF=3,则形成的新组合体为一个三 [思考]提示球的表丽是曲面，不能在一个平面上展开，即使是 棱柱，该三棱柱的直裁面（与侧棱垂直的截面）为边长为1 球面上任意小的一块，也不能在一个平面上展开，因此球面 的等边三角形，侧校长为1+3=2+2=3+1=4，Vr= 没有展开图. =号×号×1x1xx4- [辨析]解析(1)正确，因为S=4πR,所以S::S:=R:R= 2 ,故选C项。 1：9. 答系(1)C(2)C (2)错误，经过球心的平面截得的圆的半径才等于球的 [变式2]解标(1)如图所示的正四棱台 D 半径 中，AB:=10cm,AB=20cm,取 (3)错误，侧面积加上底面积才是表面积。 AB的中点E,AB的中点E,则 (4)正确，四棱锥的四个项点都在球面上，到球心的距离都 EE为斜高.设O,O分别是上、下底 等于半径 面的中心，则四边形EO)E为直角 答索(1)√(2)×(3)×(4)/ 梯形.国为Sw=4×号×10+20)· 关键能力·素养提升 [例题1]解析(1)卷起的方法有两种。 EE1=780(cm),所以EE=13cm 在直角梯形EOOE中， O,E-A:B-5(cm),OE-AB-10(cm), 所以OO=√EE-(10-5)=12(cm). 图1 所以该正四棱台的体积V=号×12X(10+20+10×20) 图2 ①如图1，以矩形8cm的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆 2800(cm3). 柱侧面，此时底面圆的周长为2x·OA=4,则OA=1= (2)由题知回边形EPGH为菱形，其面积S=名×4X6- 是两底面西软为2a=是（amS=32+是（cm).中 12(cm),于是Vam=号×12X3=12(cm),长方体的体 该圆柱的表面积为(32+8)cm. 积为6×6×4=144(cm3),则所求质量为(144一12)× ②如图2，以矩形4cm的边长为母线长，卷成圆柱侧面时， 0.9=118.8(g). 答率(1)2800(2)118.8 底面圆的周长为2红·0B=8,则0B=片=，此时两底面 随堂检测·学以致用 面积为2i=(cm),S=32+2(cm),即该圆柱的表 π L,A解析长方体的表面积S=2×(1×2)十2×(1×3)十2X (2×3)=22故选A项. 面软为(2+)m 2.C爵由题意可以得到VeC=号Vmr=子，所以 (2)设圆锥的底面半径为广，母线为1， Vewm=1-}=导，故选C项 则2r一器×2a=言.所以1=6所 3层颈周为S=2,S,=4,h=3,所以Va=号×M×(S十 又S=+r…6r=1mr=15x,解得r=√厚， S,+S·ST)=号×3×(2+4+V2x④=6+2厄. 所以圆锥的高h=√一=√/36r一TF=v35·r=v35X 答系6十22 4解析所有棱长均为2的正三棱柱的底面为边长是2的正三 角形，其面积为3，侧面为三个边长是2的正方形，所以表面 所以国维的体积V=号h=弓x×与×55-25 7 积S=5M十2Se=12+23,体积V=Sah=23. [变式1]解析(1)设圆柱的底面半径为广，则圆锥的母线长为 答案12+2323 /+3,而它们的侧面积相等，所以2πr×3=πr 。 281·第八章立体几何初步 8.3简单几何体的表面积与体积 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 [学习目标]1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式（重点）.2.能用公式解决简单的实际问 题.3.发展数学建模、数学运算和直观想象的核心素养 必备知识基础落实 答案见Pa 要点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 (2)棱锥的底面积为S,高为h,其体积V德藤= 图形 表面积公式 3.棱台的体积 多面体的表面积就 (1)棱台的高：指 之间的距离。 是围成多面体 (2)棱台的上、下底面面积分别是S,S,高为 D.A. 的面积的和 h,其体积V被台= 多 棱柱、棱锥、棱台的 4.体积公式之间的关系 体 表面积就是围成它 V=(S'++Sh 们的各个面的面积 的和 S=5 S'=0 Sh 要点二棱柱、棱锥、棱台的体积 1.棱柱的体积 辨析 (1)棱柱的高：指 之间的距离，即从一 判断正误，正确的画“/”，错误的画“X” 底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与 (1)棱锥的体积等于底面面积与高之积() 垂足（垂线与底面的交点）之间的距离， (2)棱台的体积可转化为两个棱锥的体积 (2)棱柱的底面积为S,高为h,其体积V:= 之差 () (3)一个几何体的平面展开图一定相同，其表 2.棱锥的体积 面积一定确定， () (1)棱锥的高：指从顶点向底面作垂线， (4)简单组合体分割成几个几何体，其表面积 与 (垂线与底面的交点)之间的距离。 和体积都不变 () 关键能力素养提升 答案见P 探究一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 形的四面体S-ABC,求它的表面积 规律总结 棱柱、棱锥及棱台的表面积计算常借助斜 高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长 等构成的直角三角形（或梯形）求解 【例题1】如图，已知棱长为a,各面均为等边三角 67· 数学必修第二册课堂学案 【变式1】现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的 148.5m时，相应水面的面积为140.0km: 体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱 水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 的侧面积 180.0km2,将该水库在这两个水位间的形状 看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m时，增加的水量约为（√7≈ 2.65) () A.1.0×10°m3 B.1.2×109m C.1.4×10m3 D.1.6×10°m (2)(2024·天津)一个五面体ABC-DEF,已 知AD∥BE∥CF,且两两之间的距离为1，并已 知AD=1,BE-2,CF=3,则该五面体的体积为 () A③ 6 3+号 c D.3y31 4 2 探究二 棱柱、棱锥、棱台的体积 【变式2】(1)正四棱台两底面边长分别为20cm 解题技巧 和10cm,侧面积为780cm,则该四棱台的体 求几何体体积的常用方法 积为 cm. (1)公式法：直接代入公式求解。 (2)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术 (2)等积法：例如四面体的任何一个面都可 制作模型.如图，该模型为长方体ABCD- A,B1CD1挖去四棱锥O-EFGH后所得的 以作为底面，只需选用底面积和高都易求的 几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H 形式即可 分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA= (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体， 4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不 如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等. 考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量 (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部 为 g. 分，分别求体积 【例题2】(1)(2022·新课标I)南水北调工程缓 解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一 部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 ·68· 第八章立体几何初步 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1,2,3,则该长方体的表面积为 ( A号 B号 A.22 B.20 C.10 D.11 2.如图，ABC-A'B'C是体积为1的棱柱，则四 c号 D 棱锥C-AA'B'B的体积是 ( ) 3.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则 棱台的体积为 4.所有棱长均为2的正三棱柱的表面积为 ,体积为 提示完成P1s课时作业（二十） 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 [学习目标]1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式，并能利用公式求表面积和体积（重 点).2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系（难点）.3.发展数学建模、数学运算和直观想 象的核心素养， 必备知识基础落实 答案见P 要点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 要点三 球的表面积和体积 图形 表面积公式 1.球的表面积：设球的半径为R,则球的表面积 底面积：St S- ,即球的表面积等于它的大圆面 圆 积的 倍 柱 侧面积：S= 2m7 表面积S- 2.球的体积：设球的半径为R,则球的体积 V- 底面积：S:= 圆 侧面积：S= 3.与球有关的常用结论 旋 表面积：S= (1)球内接正方体的棱长为a,则球的直径为 体 上底面面积： ,球的表面积为 '2 S上嘘= (2)球的半径为R,则其内接正方体的表面积 下底面面积： 为 S下账一 (3)如果球的表面积膨胀为原来的2倍，那么 侧面积：S侧= 表面积：S= 球的大圆面积是原来的 倍 >思考：球面有没有展开图？ 要点二 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积公式 圆柱 V (其中S为底面积，h为圆柱的高) 圆锥 (其中S为底面积，h为圆锥的高) (其中S,S分别为上、下底面的 圆台 面积，h为圆台的高) 69