8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

所以AB-(4C)#+}+(BD){}-+6200+5-64 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 所以AB一8.所以直四校柱的侧面积S-4×8×5-160 [例题2]解翻(1)依题意可知校台的高 必备知识·基础落实 为MN-157.5-148.5-9(m),所以 要点一 r2rl2rl+2r”rrlrl+xrr^^} 增加的水量即为校台的体积V.校台 上底面面积S-140.0km-140$ l(r十r')(r十r十r't十rl) 10{m^{,下底面面积S-180.0km^{}-180x10{m^{,所以 要点二 -1($+$+、5-1×9×(140×10+180×10 + St # 140×180×10*)-3$(320+607)$10~(96+18$ 要点三 1.4-R 2.65)×10-1.437×10~1.4×10(m).故选C项. 4 (2)用一个完全相同的五面体HII-LMN(顶点与五面体 2.4R ABC-DEF一一对应)与该五面体相嵌,使得点D与N,E 与M,F与L.重合,因为AD/BE//CF,且两两之间的距离 3.(1)/3a 3xa} (2)8R (3)2 为1,AD-1,BE-2.CF-3,则形成的新组合体为一个三 [思考]提球的表面是曲面,不能在一个平面上展开,即使是 梭柱,该三枝柱的直截面(与侧核垂直的截面)为边长为1 球面上任意小的一块,也不能在一个平面上展开,因此球面 的等边三角形,侧校长为1+3-2+2-3十1-4.V-p= 没有展开图. ##v)$×#×4,故选C. [辨析]解析(1)正确,因为S-4xR,所以S:S =R:R 1:9. 智(1)C(2)C (2)错误,经过球心的平面截得的圆的半径才等于球的 [变式2]解翻(1)如图所示的正四枝台 半径。 中,AB-10 cm,AB-20cm,取 (3)错误,侧面积加上底面积才是表面积。 A.B 的中点E,AB的中点E,则 (4)正确,四校锥的四个顶点都在球面上,到球心的距离都 E.E为斜高,设O,0分别是上、下底 等于半径。 面的中心,则四边形EOOE;为直角 (1)(2)×(3)×(4) 梯形.因为Sw-4xx(10+20)· 关键能力·素养提升 EE -780(cm}),所以EE-13cm [例题1析(1)卷起的方法有两种. 在直角梯形EOOE中. $.E=AB=5(cm).OE-AB=10(cm) ... 所以OO-EE-(10-5)-12(cm). --- 图1 图2 ①如图1,以矩形8cm的边长为母线长,把矩形硬纸卷成圆 2800(cm). 柱侧面,此时底面圆的周长为2π·OA-4,则OA-r (2)由题知四边形EFGH为菱形,其面积S-×4×6- 2.两底面面积为2-r-8(cm^),St-32+(cm*),即 T T 12(cm{}),于是Voxeran-x12×3-12(cm}),长方体的体 该园柱的表面积为(32+)cm{. 积为6×6X4-144(cm}),则所求质量为(144-12)X ②如图2,以矩形4cm的边长为母线长,卷成圆柱侧面时, 0.9-118.8(g). 底面圆的周长为2r·OB-8,则OB=r。-4,此时两底面 智(1)2800(2)118.8 随堂检测·学以致用 面积为2--32(cm{).St=32+32(cm),即该圆柱的表 1.A 解霸长方体的表面积S-2X(1×2)+2×(1×3)+2× n 面积为(32+32)cm{.。 (2×3)-22.故选A项 (2)设圆锥的底面半径为r,母线为/. 60#2--1x2,所以-6r. 则2rr- 60 3.解因为S.-2,S-4,h-3,所以Vn= $+S·S)-1×3×(2+4+v2X4)-6+22. 所以圆锥的高h---36--35·-35$ #15-5. 鹰6+2/2 4.解析所有校长均为2的正三梭柱的底面为边长是2的正三 所以圆锥的体积V-1-h-1-x15×5、v3-253π 角形,其面积为/3,侧面为三个边长是2的正方形,所以表面 积S-S+2S -12+23,体积V-Sh-2③ [变式1]解(1)设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为 案12+2③ 2v3 +3,而它们的侧面积相等,所以2-r×③=-x .281· 高PO.上,记为O,设球的半径为R. 因为校锥的高为4,底面边长为2,所 9× ③-3v③π.故选B项 以R-(4-R)+(V②)*,所以R= (2)由题得两个圆台的高分别为h=、[2r-n)-(n-= ##.,所以该球的体积为×()第-一 3 n)h-3rn)-(nn-2/2r -n) 243.故选A项. 16 智(1)A(2)A #h 2/2(r-n) [变式4]D因为三校锥的三条侧校两两相互垂直,且三 E(1)B(2)# 条侧校长分别为3,2,1,所以可将其补充为一个长、宽、高 分别为③,②,1的长方体,所以其外接球的直径2R [例题2]解析(1)因为S=4-R,所以 S-2R 、1+2+3- 6,所以三校锥的外接球的表面积S-4x^} 同理可得S-2vR,S-2R. 6r,体积V-R-n.故选D项. 由R+2R=3R,得S+2S-3S 2## (2)由V--R得R一3# 随堂检测·学以致用 V4π 1.B 解由题意知,球的半径r-3,则S=4nr^-4x3{}= #3#R一 36 V-4-3=36-,故选B项. 同理可得R。一##4 /3V3V 374π 4π 2.C 校长为4的正方体的内切球的半径r一2,表面积为 由R+2R-3R,得VV+2VV-3VV 4r-16π.故选C项. 答案(1、S+2S-3S 3.C 解析如图,0A-3,OO-4,从而球的半径R=OA-5 (2)V+2/V-3 ③ 面积为4^},因为球的体积与其表面积的数值相等,所以 4n_4-,解得r-3.故选B项. 0 [例题3]解析如图,过C作CE ]AD的 挺长线于点E, 4.解园柱的高h一1,设圆柱的底面圆半径为r,则/^十(2r)^*} 作CF]AB于点F. 2,所以, 由已知得DE-CE-2. 所以CF-4,BF-5-2-3. 所以BC=CF+BF-5. 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 所以下底圈面积S-25π:台体侧面积S.-=×(2十5)$ 5-35,锥体侧面积S-x2×2 ②-4/2 8.4.1平面 故表面积S-S+S+S-(60+4②). [变式3]解如图,在半圆中可得 BCA一 必备知识·基础落实 90* BAC-30{,AB-2R. 要点一 向四周无限延展 平行四边形 横向 竖向 英文 则AC-/③R,BC-R.CO 两个顶点 英文 四个顶点 [思考]提 AO-R,0-一#.# 过平面是无限延展、无厚薄、无大小的一种理想的 面,我们日常接触到的是平面图形,如三角形、正方形、圆 等,它们有大小之分,它们都不是平面,而是平面的一部分。 所以V- Vn-1×(3)× 一般用平面图形(平行四边形)来表示平面. 要点二 #3R-3”#V-1(AR)#-R## 1.所有点 2. AEI A1 AE A C n=A 所以V=V-Vxo-Vy= af□-1 ##R--R--R## 要点三 1.不在一条直线上 有且只有 两个点 这个平面内 故该几何体的体积为R。 AE/ BEI AEa BEa 公共直线 PEa PE 3.经过一条直线和这条直线外一点 经过两条相交直线 [例题4]解析(1)设正三校台上、下底面所在圆面的半径为”, 经过两条平行直线 [辨析]解(1)错误,不共线的三点才能确定一个平面。 rn,所以2r-33 sin 60{,2r-4v3 sin60{},即n-3.r-4.设球心 (2)错误,平面是无限延展的,不可以度量大小. 到上、下底面的距离分别为d,d。,球的半径为R,所以d (3)错误,若三个点在同一条直线上,则两平面可能相交;若 vR-9,d- R-16,故d-d-1或d+d-1,即 这三个点不在同一条直线上,则这两个平面重合, (4)正确,根据推论3,可证两条平行直线确定一个平面,又 VR-9-R-16-1或VR-9+VR-16-1,解得 由基本事实2可知,与两条平行直线相交的第三条直线在 R*一25符合题意,所以球的表面积为S-4xR一100-.故 这个平面内,所以一条直线与两条平行直线都相交时,这三 选A项. 条直线共面. (2)如图所示,正四校锥P一ABCD的外接球的球心在它的 智(1)×(2)×(3)X(4) ·282.第八章立体几何初步 随堂检测学以致用 答案见Pa L.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1,2,3,则该长方体的表面积为 ( A号 B A.22 B.20 C.10 D.11 2.如图，ABC-A'B'C‘是体积为1的棱柱，则四 c号 n 棱锥C-AA'B'B的体积是 ( 3.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则 棱台的体积为 4.所有棱长均为2的正三棱柱的表面积为 ,体积为 是示完成P课时作业（二十） 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 [学习目标]1，知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式，并能利用公式求表面积和体积（重 点).2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系（难点）.3.发展数学建模、数学运算和直观想 象的核心素养， 必备知识基础落实 答案见P 要点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 要点三 球的表面积和体积 图形 表面积公式 1.球的表面积：设球的半径为R,则球的表面积 底面积：S4= S= ,即球的表面积等于它的大圆面 圆 积的 倍。 柱 侧面积：S= 2T 表而积：S= 2.球的体积：设球的半径为R,则球的体积 底面积：S= V= 圆 侧面积：Sw= 3.与球有关的常用结论 旋 表面积：S= (1)球内接正方体的棱长为a,则球的直径为 体 上底面面积： ,球的表面积为 0'2 S= (2)球的半径为R,则其内接正方体的表面积 圆 下底面面积： 为 SF账一 (3)如果球的表面积膨胀为原来的2倍，那么 侧面积：Sw= 表面积：S 球的大圆面积是原来的 倍 >思考：球面有没有展开图？ 要点二 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积公式 圆柱 (其中S为底面积，h为圆柱的高) 圆锥 V (其中S为底面积，h为圆锥的高) V (其中S,S分别为上，下底面的 圆台 而积，h为圆台的高) ·69· 数学必修第二册课堂学案 辨析 于球的半径 () 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是 (1)两个球的半径之比为1：3，则其表面积之 它们的表面积. 比为1：9. (4)球内接四棱锥的每个顶点到球心的距离都 ( (2)用一个平面去截球，截得的圆面的半径等 相等 关键能力素养提升 答案见P 探究一 圆柱，圆锥、圆台的表面积和体积 【变式1】(1)(2024·新课标I)已知圆柱和圆锥 的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均 解题技巧 为、3，则该圆锥的体积为 () (1)求几何体的表面积时，要充分利用展开 A.23πB.35πC.6V3πD.93π 图与原几何体的关系。 (2)(2024·全国甲)已知甲、乙两个圆台上、 (2)圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体 下底面的半径均为n和r2,母线长分别为 现在轴截面上，因此准确把握轴裁面中的相 2(r-r1)和3(r-n),则两个圆台的体积之 关量是求解旋转体表面积的关键 (3)若所给的几何体为圆柱、圆锥、圆台，则 可直接利用公式求解 探究二 球的表面积和体积 (4)求柱体、锥体、台体的体积，关键是找到相 应的底面积与高，常需将空间问题平面化 规律总结 (1)已知球的半径，可直接利用公式求它的 【例题1】(1)用一张(4×8)cm的矩形硬纸卷成 体积和表面积：已知球的体积和表面积，可 圆柱的侧面，求该圆柱的表面积. 以利用公式求它的半径 (2)若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆 (2)注意两个结论：①两个球的体积之比等于 心角是60°，求圆锥的体积. 这两个球的半径之比的立方；②两个球的表 面积之比等于这两个球的半径之比的平方。 【例题2】已知三个球的半径R1,R,R满足R+ 2R2=3R3 (1)它们相应的表面积S,S,S3满足的等量 关系是 (2)它们相应的体积V1,V2,V满足的等量关 系是 【变式2】若球的体积与其表面积的数值相等，则 球的半径为 A.1 B.3 C.2 0.2 ·70 第八章立体几何初步 探究三组合体的表面积和体积 探究四 与球有关的切接问题 解题技巧 规律总结 (1)求组合体的表面积的问题：①首先应弄 熟记常见切接模型 清楚它的组成部分，其表面有哪些底面和侧 (1)正方体的内切球：球与正方体的六个面 面，各个面的面积应该怎么求，然后根据公 都相切，称球为正方体的内切球，此时球的 式求出各个面的面积，最后相加或相减： 半径为n一受a为正方体棱长)。 ②组合体的表面积应注意重合部分的处理 (2)求组合体的体积时，也要弄清它的组成 (2)长方体的外接球：长方体的八个顶点都 部分，求出各简单几何体的体积，再相加或 在球面上，称球为长方体的外接球，根据球 的定义可知，长方体的体对角线是球的直 相减。 径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a,b, 【例题3】如图，在四边形ABCD中，∠DAB ,过球心作长方体的对角面，则球的半径为 90°，∠ADC=135°，AB=5,CD=2v2,AD= =+6+ 2,若四边形ABCD绕AD (3)正四面体的外接球：正四面体的棱长a 旋转一周成为几何体，求 该几何体的表面积 与外楼球半径R的关系为2R= 24. 【例题4】(1)(2022·新课标Ⅱ)已知正三棱台的 高为1，上、下底面边长分别为3w3和4√3，其 顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( A.100元 B.128π C.144π D.192x (2)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱 锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为 () 【变式3】如图，半径为R的半圆内的阴影部分以 A.243x 16 B.16π 直径AB所在直线为轴，旋转一周成为几何 体，求该几何体的体积（其中∠BAC=30). C.9π 4 【变式4】三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别 为3，√2,1，则该三棱锥的外接球的表面积和 体积分别为 () A.24r,8π B.18x,8/6π C.10m6 D.6π，w6π ·71 数学必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.直径为6的球的表面积和体积分别是( 面，球心到这个平面的距离为4cm,则球的体 A.36π，144π B.36π，36π 积为 () C.144π，36元 D.144π，144x A.1005 em B.208 cm 3 2.棱长为4的正方体的内切球的表面积为 ( C.s0s em D.416y13rm 3 A弩 B.12x 4.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直 径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体 C.16r n警 积为 3.用一个平面截一个球得到直径为6cm的圆 提示完成Pm课时作业（二十一）和P培优训练（四） 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1平面 [学习目标]1借助长方体，在直观认识空间点，直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平 面的位置关系的定义，2.掌握平面基本性质的三个基本事实（重点），3.会用符号表示点、直线、平面间的位 置关系（重点）.4.发展数学抽象和直观想象的核心素养 必备知识基础落实 答案见P 要点一 平面的概念、画法及表示 >思考：平面与平面图形有什么区别与联系？ 几何里所说的“平面”是从课桌面、黑板面、平 静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的. 概念 类似于直线向两端无限延伸，几何中的平而是 的 我们常用矩形的直观图，即 表示平 面.当平面水平放置时，常把平行四边形的一 画法 边画成 ,当平面竖直放置时，常把平 行四边形的一边画成 ①一个希腊字母，如ay等： ②两个大写 字母：表示平面的平行四 要点二点、线、面之间的位置关系及符号 表示 边形中相对的 表示 方法 ③四个大写 字母：表示平面的平行四 1.直线在平面内的概念 边形的 如果直线！上 都在平面a内，就说直 线l在平面a内. ·72·