8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

数学必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.下列表示两个相交平面的画法正确的是( 4.(选)如图，在正方体ABCD-A1BCD1中，O 为DB的中点，直线AC交平面CBD于点 M,则下列结论正确的是 () D B C D 2.以下可以确定一个平面的是 A.一条直线 B.两个点 C.一个点和一条直线 A.C,M,O三点共线 D.从菱形的四个顶点中任取三个点 B.C,M,O,C四点共面 3.设平面a与平面B交于直线l,A∈a,B∈a,且 C.C1,O,A,M四点共面 直线AB∩l=C,则直线AB∩B= D.D1,D,O,M四点共面 A.A B.B C.AB D.C 提示完成P课时作业（二十二） 8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 [学习目标]1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系， 2.发展数学抽象和直观想象的核心素养 必备知识基础落实 答案见P 要点一空间中直线与直线的位置关系 要点二 空间中直线与平面的位置关系 1.异面直线 直线a在平面a外 (1)定义：我们把不同在 的两 位置 直线a在 关系 平面a内 直线a与平面 直线a与平面 条直线叫做异面直线。 a相交 a平行 (2)异面直线的画法：为了表示异面直线不共 公共 面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬 点个数 公共点 公共点 公共点 托，如图 符号 表示 图形 表示 图2 图3 要点三 空间中平面与平面的位置关系 2.空间两条直线的三种位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 :在同一平面内， 有且只有 两个平面 共面直线 :在同一平面内， 平行 个公 两个平面 不同在任何一个平面内， 共点，并在一条 异面直线： 相交 公共直线上 ·76· 第八章立体几何初步 >思考：平面平行有传递性吗？ 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (1)异面直线是指分别位于两个不同平面内的 两条直线。 () (2)若两条直线无公共点，则这两条直线平行. () (3)若直线L上有无数个点不在平面a内，则 l∥a. () (4)若两个平面都平行于同一条直线，则这两 个平面平行. 关键能力素养提升 答案见Pa 探究一 空间中直线与直线的位置关系 【变式1】已知a,b,c是三条直线，如果a与b是 异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有 解题技巧 怎样的位置关系？并画图说明。 异面直线概念的理解：(1)既不平行也不相 交：(2)“不同在任何一个平面内的两条直 线”是指这两条直线“不能确定一个平面”， 其中的“任何”二字必不可少；(3)若一条直 线与平面相交，则该直线与该平面内不过交 点的直线为异面直线 【例题1】如图，在长方体ABCD-AB,CD1中， 判断下列直线的位置关系. (1)直线A:B与直线D1C的位置关系是 探究二 空间中直线与平面的位置关系 (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 解题技巧 判断直线与平面平行可根据定义法来判定， (3)直线DD与直线DC的位置关系是 即证明直线与平面没有公共点.判断直线与 平面位置关系的问题，其解决方式除了定义 (4)直线AB与直线B1C的位置关系是 法外，还可以借助模型（如长方体）和举反例 两种行之有效的方法 【例题2】（多选）下列命题中，正确的是() A.如果两条平行直线中的一条和一个平面相 交，那么另一条直线也和这个平面相交 ·77· 数学必修第二册课堂学案 B.一条直线和另一条直线平行，它就和经过 【例题3】α，3是两个不重合的平面，下列说法中 另一条直线的任何平面都平行 正确的是 () C.经过两条异面直线中的一条直线，有一个 A.平面a内有两条直线a,b都与平面B平 平面与另一条直线平行 行，那么a∥B D.两条相交直线，其中一条与一个平面平行， B.平面α内有无数条直线平行于平面B,那么 则另一条一定与这个平面平行 a∥B C.若直线a与平面a和平面B都平行，那么 a∥B D.平面α内所有的直线都与平面B平行，那 么a∥3 【变式2】若直线上有一点在平面外，则下列结论 正确的是 A.直线上所有的点都在平面外 B.直线上有无数多个点都在平面外 C.直线上有无数多个点都在平面内 【变式3】已知下列命题： D.直线上至少有两个点在平面内 ①若两个平面a∥B,aCa,bC3,则a∥b: ②若两个平面a∥B,aCa,bC3,则a与b是异 探究三空间中平面与平面的位置关系 面直线； 规律总结 ③若两个平面a∥B,aCa,bC3,则a与b一定 不相交； 两个平面之间的位置关系有且只有两种：平 ④若两个平面a∥B,aCa,bC3,则a与b平行 行和相交.判断两个平面之间的位置关系的 或异面； 主要依据是两个平面之间有没有公共，点.解 ⑤若两个平面a∩B=b,aCa,则a与b一定 题时要善于将文字语言或符号语言转换成 相交 图形语言，借助空间图形作出判断， 其中正确命题的序号是 随堂检测学以致用 答案见P 1.若点M∈平面a,且点M∈平面B,则a与B的 4.(多选)下列命题中错误的有 () 位置关系是 ( A.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直 A.平行 B.相交 线与平面内的任意一条直线平行 C.异面 D.不确定 2.直线l与平面a不平行，则 B.如果三个平面有公共点，那么这三个平面不 A.l与a相交 一定有公共直线 B.ICa C.过平面外一点有且只有一条直线与平面 C.l与a相交或lCa 平行 D.以上结论都不正确 D.过直线外一点有且只有一个平面与直线 3.三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直 线的有 ( 平行 A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 提示完成P课时作业（二十三） ·78·关键能力·素养提升 [例题1]解析(I)符号语言表示：a∩3nY=P,a∩B-PA,a∩Y 8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 PB,nY=PC:图形表示如图1. 必备知识·基础落实 (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC门 要点一 平面ADC=AC:图形表示如图2. 1.(1)任何一个平面内 2.相交直线 一个公共点平行直线没有公共点没有公 共点 要点二 有无数个有且只有一个没有aCaa∩a=Aa∥a 要点三 图2 a∥3没有公共点a∩B=l有无数 [变式1]A解析直线与平面的关系应是包含于或不包含于， [思考]提示有，若a,B,Y是三个不重合的平面，且a∥B,B∥Y 符号为C或吐，点与平面的关系是属于或不属于，符号为∈ 则a∥y 或任，所以根据图形可知A项正确.故选A项. [辨析]解析(1)错误，因为分别位于两个不同平面内的直线， [例题2]BCD解析A项正确，可以用反证法证明：若其中存 既可能平行，也可能相交，也可能异面， 在三点共线，则四点必共面：B项不正确，从条件看出两平 (2)错误，两条直线无公共点，可能平行也可能异面. 面有三个公共点A,B,C,但是若A,B,C共线，则结论不正 (3)错误，直线与平面相交时，直线上也有无数个点不在平 确：C项不正确，共面不具有传递性：D项不正确，因为此时 面内. 所得的四边形的四条边可以不在一个平面上.故选 (4)错误，观察长方体可知，这两个平面也可能相交。 BCD项. 答系(1)×(2)×(3)×(4)× [变式2]证明因为a∩b=A,所以a,b确定一个平面a. 关键能力·素养提升 因为B∈a,C∈b.所以A.B,C在平面a内. [例题1]解析(1)在长方体ABCD-A,BCD中，ADL 又因为l∩c=D,所以l,c确定一个平面B. BC,所以四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥DC 因为B∈l.C∈1，A∈，所以A,B,C在平面3内. (2)直线A:B与直线B:C不同在任何一个平面内. 因为过不在同一条直线上的三点A,B,C有且只有一个平 (3)克线DD与直线DC相交于点D,. 面，所以平面a与平面B重合，所以直线a,b,,I在同一平 (4)直线AB与直线B,C不同在任何一个平面内. 面内. 答率(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面 [例题3]证明(1)因为AB∥CD: [变式1门解析直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、 所以AB,CD确定一个平面月. 异面，如图 又因为AB门a=E,ABCB,所以E∈a,E∈B, 即E为平面a与B的一个公共点. 同理可证F,G,H均为平面a与3的公共，点 因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的 公共直线，所以E,F,G,H四点共线 (2)根据题意，an3=4,3∩y=l2,a∩Y=l, 因为lC3,l2C3,且14，l:不平行，所以4与12相交 [例题2]AC解析A项显然正确：如图1，∥l,lCa,但a可 设h∩l2=P,则P∈4，P∈，所以P∈a,P∈x 以经过直线l1,故B项错误： 因为a∩y=l4,所以P∈l 所以，l,交于一点. [变式3]证明(1)因为平面ABC∩平面a DE,连接DE,并延长，如图所示. 因为P∈AB,ABC平面ABC, 所以P∈平面ABC. 图1 图2 又因为P∈a,所以P在平面a与平面 如图2，在正方体ABCD-A,BCD中，直线AC与直线 ABC的交线DE上，即P∈DE. BD异面，ACC平面ABCD,且BD∥平面AB,CD, 所以D,E,P三，点共线 故C项正确：直线还可能与平面相交，故D项错误.故选 (2)因为在梯形ABCD中，AD∥BC,所以AB,CD是梯形 AC项. ABCD的两腰，所以AB,CD必定相交于一点.设AB∩ [变式2]B解析若直线上有一，点在平面外，则直线不在平面 CD=M因为ABCa,CDC3所以M∈a,MEB,所以MEa∩a 内，故直线上有无数多个，点在平面外，故选B项 又因为a∩B=l,所以MEl,即AB,CD,l相交于一点. [例题3]D解析A,B项都不能保证a,3无公共点，如图1所 随堂检测·学以致用 示：C项中，当a∥a,a∥B时，a与B可能相交，如图2所示： 1,D解析能看见的线画为实线，看不见的线画为虚线或不 只有D项能保证a,B一定无公共点.故选D项. 画，只有D项待合要求.故选D项. 2.D解析从菱形的四个项点中任取三个点，这三个点一定不 共线，由基本事实1：“不共线的三点确定一个平面”知，只有 D项符合，故选D项. 图1 图2 3D解枥因为a∩3-，AB门l=C,所以C∈A,C∈AB,所以 [变式3]解析①错误，a与b也可能异面：②错误，a与b也可 AB∩3=C.故选D项. 能平行：③正确，因为a∥B,所以a与B无公共点，又a二a, 4.ABC解析连接AC,AC,则AC∩BD=O.因为AC∩平 b二3，所以a与b一定无公共点：④正确，由已知及③知，a 面CBD=M,所以C,M,O三，点都在平面CBD与平面 与b无公共，点，那么a∥b或a与b异面：⑤错误，a与b也 ACC1A,的交线上，即C,M,O三点共线，所以A,B,C项均 可能平行 正确，D项错误.故选ABC项， 答累③④ ·283· 随堂检测·学以致用 1.B解析因为.点M∈平面a,且点M∈平而A,所以a与B相 交于过，点M的一条直线.故选B项. 2C解标直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与 平面平行、直线与平面相交.因为直线1与平面a不平行，所 以l与a相交或lC.故选C项. 3.A解析如图，三枚维A-BCD中六条校所在直线成异面直 线的有AB与CD,AC与BD,AD与BC,共3对.故选A项. 由题意得BF=A,M=2AB, 又BF∥AM 所以四边形A1FBM为平行四边形，所以A1F∥BM. 又F1,M分别为C1D,A:B的中点，所以F1MLC1B1. 而CB1BC,所以F,MLBC 所以四边形FMBC为平行四边形，所以MB∥F1C 又BM∥AF,所以AF∥F,C同理可得AE∥CE. 4.ACD解析如图所示，在长方体中，对 所以∠EAF与∠ECF,的两边分别对应平行， 由图可知∠EAF与∠ECF1的两边方向都相反， 于A项，因为AB与平面ABCD没有 所以∠EAF=∠ECF. 公共点，所以AB∥平面ABCD,BCC [变式2]B解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别 平面ABCD,但AB与BC并不平行， 对应相等，所以这两个三角形相似.故选B项。 而是异面直线，故A项错误：对于B项， 平面ABCD,平面ABBA、平面ADD A A 随堂检测·学以致用 有公共点A,它们并没有公共直线，只有一个公共点，故B项 1.B解析①错误，两条直线可以异面：②正确：③错误，和另 正确：对于C项，AB∥平面ABCD,AD1∥平面ABCD, 一条可以异面.故选B项， AC∥平而ABCD,故C项错误：对于D项，C为直线AB 2.C 解析若AB∥A'B',AC∥A'C',则有∠BAC=∠BA'C 外一点，但过C的平面ABCD1和平面DCCD,都与AB 或∠BAC+∠BA'C'=180°.故选C项. 平行，故D项错误.故选ACD项. 3.BD解析因为空间两个角a与B的两边对应平行，所以这 两个角相等或互补.因为a=60°，所以B=60°或120°.故选 8.5空间直线、平面的平行 BD项. 4.证明如图，取D,D的中点G,连接EG,GC 8.5.1直线与直线平行 D 必备知识·基础落实 要点一 平行a∥c传递性 要点二 相等或互补 [辨析]解析(1)正确，由基本事实4知结论正确。 因为E是AA的中点，G是D1D的中点， (2)错误，观察长方体同一顶点处的三条棱可知，这两条直 所以EG ZAD. 线不一定平行 由正方体的性质知AD LBC,所以EG LBC, (3)正确，由空间等角定理分析知该结论正确。 所以四边形EGCB是平行四边形，所以EB LGC. (4)错误，在空间中，这两个角的大小关系是不确定的. 又因为G,F分别是DD.CC的中，点， 答案(1)/(2)×(3)√(4)× 所以DG∥FC,且DG=FC, 所以四边形DGCF为平行四边形， 关键能力·素养提升 所以D FLGC,所以EBLD F, [例题门证明因为E,H分别是AB,AD的中点，所以EH是 所以四边形BEDF是平行四边形. △ABD的中位线，所以EH/∥BD,且EH=号BD 8.5.2直线与平面平行 同理可得FPG/BD,且FG=2BD, 必备知识·基础落实 所以EH∥FG,且EH=FG, 要点一 所以四边形EFGH是平行四边形， 此平面内的一条直线平行Ca 又F为BC的中点，所以EF为△ABC的中位线， 要点二 所以EF=2AC.又AC=BD,所以EH=EF 平行aCBa∩B-b [思考]提示①作为证明线线平行的依据：当证明线线平行时， 所以平行四边形EFGH是菱形. 可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过 [变式1]解析在△ABC中，因为AE:EB=AF:FC,所以 第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线 EF∥BC.又因为在三棱柱ABC-A:BC中，BC∥BC, 平行： 所以EF∥BC. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据：如果一条直 答案平行 线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平 [例题2]证明如图，在正方体ABCD-A,B,CD中，取AB 行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是 的中点M,连接BM,FM. 所耍画的直线. ·284·