8.5.1 直线与直线平行-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

第八章立体几何初步 8.5空间直线、平面的平行 8.5.1直线与直线平行 [学习目标]1.了解基本事实4和等角定理.2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题（重 点).3.发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养， 必备知识基础落实 答案见Pw 要点一 基本事实4 (续表) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线 图形语言 图形语言 符号语言 直线a,b,c,a∥b,b∥→ 作用 判断或证明两个角相等或互补 作用 证明两条直线平行 辨析 基本事实4表述的性质通常叫做平行 判断正误，正确的画“、/”，错误的画“×” 说明 线的 (1)如果两条直线同时平行于第三条直线，那 么这两条直线互相平行. () 要点二 空间等角定理 (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，那 么这两条直线互相平行. () 如果空间中两个角的两条边分别对应 文字语言 (3)如果两条相交直线和另外两条相交直线分 平行，那么这两个角 别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角） A'C'∥AC,A'B'∥AB→∠BA'C'= 相等. () 符号语言 ∠BAC或∠BA'C'+∠BAC=180 (4)如果一个角的两边和另一个角的两边分别 垂直，那么这两个角相等或互补 () 关键能力素养提升 答案见P 探究一 基本事实4及其应用 BD.求证：四边形EFGH是菱形 规律总结 证明空间中两条直线平行的方法：(1)利用 平面几何的知识（三角形与梯形的中位线、 平行四边形的性质、平行线分线段成比例定 理等)来证明；(2)找到一条直线c,使得a∥ c,同时b∥c,由基本事实4可得到a∥b. 【例题1】如图，空间四边形ABCD中，E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点，且AC= ·79· 数学必修第二册课堂学案 【变式1】如图，在三棱柱ABC-ABC中，E,F分 E,F,分别是棱AD,AB,BC1,CD的中 别是AB,AC上的点，且AE:EB=AF:FC,则 点，求证：∠EAF=∠ECF. EF与BC的位置关系是 探究二等角定理及其应用 规律总结 证明两个角相等常有以下三种途径：①三角 形相似；②三角形全等；③空间等角定理.依 据等角定理证明两角相等的步骤：①证明两 【变式2】若两个三角形不在同一平面内，它们的 个角的两边分别对应平行：②证明两个角的 边两两对应平行，则这两个三角形() 两边的方向都相同或者都相反， A.全等 B.相似 【例题2】在正方体ABCD-ABCD中，E,F, C.仅有一个角相等 D.无法判断 随堂检测学以致用 答案见P 1.下列结论中正确的是 4.如图，已知E,F分别是正方体ABCD-A:B,CD ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定 的棱AA,CC,的中点，求证：四边形BEDF 平行：②平行于同一条直线的两条直线平行： 是平行四边形. ③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那 么它也和另一条相交 A.①② B.② C.②③ D.③ 2.若AB∥A'B',AC∥A'C',则有 A.∠BAC=∠BA'C 44440++444444444444444444444444444444444+4444444444444444+4 B.∠BAC+∠BA'C'-180 C.∠BAC=∠BAC'或∠BAC+∠BA'C'=180 D.∠BAC+∠B'A'C'=90 3.(多选)若空间两个角《与3的两边对应平行， 则当a=60时，3可能为 A.30 B.60° C.90 D.120° 提示完成P课时作业（二十四） ·80·随堂检测·学以致用 1.B解析因为.点M∈平面a,且点M∈平而A,所以a与B相 交于过，点M的一条直线.故选B项. 2C解标直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与 平面平行、直线与平面相交.因为直线1与平面a不平行，所 以l与a相交或lC.故选C项. 3.A解析如图，三枚维A-BCD中六条校所在直线成异面直 线的有AB与CD,AC与BD,AD与BC,共3对.故选A项. 由题意得BF=A,M=2AB, 又BF∥AM 所以四边形A1FBM为平行四边形，所以A1F∥BM. 又F1,M分别为C1D,A:B的中点，所以F1MLC1B1. 而CB1BC,所以F,MLBC 所以四边形FMBC为平行四边形，所以MB∥F1C 又BM∥AF,所以AF∥F,C同理可得AE∥CE. 4.ACD解析如图所示，在长方体中，对 所以∠EAF与∠ECF,的两边分别对应平行， 由图可知∠EAF与∠ECF1的两边方向都相反， 于A项，因为AB与平面ABCD没有 所以∠EAF=∠ECF. 公共点，所以AB∥平面ABCD,BCC [变式2]B解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别 平面ABCD,但AB与BC并不平行， 对应相等，所以这两个三角形相似.故选B项。 而是异面直线，故A项错误：对于B项， 平面ABCD,平面ABBA、平面ADD A A 随堂检测·学以致用 有公共点A,它们并没有公共直线，只有一个公共点，故B项 1.B解析①错误，两条直线可以异面：②正确：③错误，和另 正确：对于C项，AB∥平面ABCD,AD1∥平面ABCD, 一条可以异面.故选B项， AC∥平而ABCD,故C项错误：对于D项，C为直线AB 2.C 解析若AB∥A'B',AC∥A'C',则有∠BAC=∠BA'C 外一点，但过C的平面ABCD1和平面DCCD,都与AB 或∠BAC+∠BA'C'=180°.故选C项. 平行，故D项错误.故选ACD项. 3.BD解析因为空间两个角a与B的两边对应平行，所以这 两个角相等或互补.因为a=60°，所以B=60°或120°.故选 8.5空间直线、平面的平行 BD项. 4.证明如图，取D,D的中点G,连接EG,GC 8.5.1直线与直线平行 D 必备知识·基础落实 要点一 平行a∥c传递性 要点二 相等或互补 [辨析]解析(1)正确，由基本事实4知结论正确。 因为E是AA的中点，G是D1D的中点， (2)错误，观察长方体同一顶点处的三条棱可知，这两条直 所以EG ZAD. 线不一定平行 由正方体的性质知AD LBC,所以EG LBC, (3)正确，由空间等角定理分析知该结论正确。 所以四边形EGCB是平行四边形，所以EB LGC. (4)错误，在空间中，这两个角的大小关系是不确定的. 又因为G,F分别是DD.CC的中，点， 答案(1)/(2)×(3)√(4)× 所以DG∥FC,且DG=FC, 所以四边形DGCF为平行四边形， 关键能力·素养提升 所以D FLGC,所以EBLD F, [例题门证明因为E,H分别是AB,AD的中点，所以EH是 所以四边形BEDF是平行四边形. △ABD的中位线，所以EH/∥BD,且EH=号BD 8.5.2直线与平面平行 同理可得FPG/BD,且FG=2BD, 必备知识·基础落实 所以EH∥FG,且EH=FG, 要点一 所以四边形EFGH是平行四边形， 此平面内的一条直线平行Ca 又F为BC的中点，所以EF为△ABC的中位线， 要点二 所以EF=2AC.又AC=BD,所以EH=EF 平行aCBa∩B-b [思考]提示①作为证明线线平行的依据：当证明线线平行时， 所以平行四边形EFGH是菱形. 可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过 [变式1]解析在△ABC中，因为AE:EB=AF:FC,所以 第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线 EF∥BC.又因为在三棱柱ABC-A:BC中，BC∥BC, 平行： 所以EF∥BC. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据：如果一条直 答案平行 线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平 [例题2]证明如图，在正方体ABCD-A,B,CD中，取AB 行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是 的中点M,连接BM,FM. 所耍画的直线. ·284·