第8章 立体几何初步 章末复习方案-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

第八章立体几何初步 章未复习方案 知识网络体系构建 立体几何初沙 基木 立.华图形 简单几何体的 回点、直线、半 空问直线、 阿直线， 体图形 的卢图 衣血积和体积 .之问的位至关系 平言的平行 平「的正直 旋 平 平 向 中 圆、网台 表商积和体积 体的表闻积和体积 中 平面的基本性质 间中直级与百线的位置关系 直线与平的位关系 台 平而的位置关系 直钱与直线下行 直线与半国平行的判定及其性 与间平行的判定发其性 直钱与直线垂直 直线与平直的判定及其性质 与平叫而直的判定及其性顶 简单合体 知识整合 融会贯通 答案见Pm 探究一求空间几何体的体积和表面积 【真题1】(1)(2023·全国甲)在三棱锥P-ABC 1.求解儿何体体积需要注意的问题有：(1)弄清 中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA 几何体中的数量关系：(2)计算柱、锥、台的体 PB=2,PC=6,则该棱锥的体积为() 积关键是根据条件找出相应的底面积和高； A.1 B.v3 (3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体 C.2 D.3 法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体 (2)(多选)(2023·新课标Ⅱ)已知圆锥的顶 体积计算常用的方法，应熟练掌握；(4)注意组 点为P,底面圆心为O,AB为底面直径， 合体的组成形式及各部分几何体的特征 ∠APB=120°，PA=2,点C在底面圆周上， 2.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表 且二面角P-AC-O为45°，则 () 面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露” A.该圆锥的体积为x 在外的所有面的面积之和，在计算时要注意区 B.该圆锥的侧面积为4v3π 分是“侧面积还是表面积”，多面体的表面积就 是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了 C.AC=2√2 球之外，都是其侧面积和底面面积之和.对于 D.△PAC的面积为v3 简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积 (3)(2023·新课标Ⅱ)底面边长为4的正四 是如何构成的，在计算时不要多算也不要少 棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个 算，组合体的表面积要根据具体情况确定其表 底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台 面积是哪些面积之和. 的体积为 ·99· 数学必修第二册课堂学案 探究二与球有关的问题 过计算的方式（如勾股定理）证明线线垂直，也 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是 可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中 外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接 要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定 点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作 理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直. 出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为 证明线面垂直，就是考虑证明直线垂直平面内 正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的 的两条相交直线：而证明异面的线线垂直，很 直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球 多题都要通过线面垂直来证明：对相交直线垂 面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球 直的证明，一般考虑用平面几何里的方法.常 与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解 见的有以下几种，若是等腰三角形，则底边上 题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧 的中线与底边垂直；若是菱形（正方形），则对 棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，通过 角线互相垂直：若是矩形，则邻边互相垂直：若 作截面将空间问题转化为平面问题.若球面上 告诉了线段的长度，或者是告诉了边与边之间 四点P,A,B,C中PA,PB,PC两两垂直或三 的关系，则用勾股定理。 棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正 【真题3】(2024·天津)若m,n为两条不同的直 方体确定直径解决外接问题， 线，《为一个平面，则下列结论中正确的是 (） 【真题2】(1)(2023·全国乙)已知点S,A,B,C均 在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等 A.若m∥a,nCa,则m∥n 边三角形，SA⊥平面ABC,则SA B.若m∥a,n∥a,则n∥n (2)(2023·全国甲)在正方体ABCD-A:BCD C.若m∥a,n⊥a,则m⊥n 中，E,F分别为AB,CD的中点，以EF为直 D.若m∥a,n⊥a,则m与n相交 径的球的球面与该正方体的棱共有 【真题4】如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD 个公共点。 所在平面垂直，M是CD上异于C,D的点， (1)求证：平面AMD⊥平面BMC: 探究三证明空间中的平行、垂直关系 (2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥ 1.空间中平行的证明思考途径为线线平行台线 平面PBD?说明理由. 面平行一面面平行.证明直线与平面平行的关 键是设法在平面内找到一条与已知直线平行 的直线：利用几何体的特征，合理利用中位线 定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、 寻找比例式证明两直线平行.面面平行的证明 方法：①反证法，假设两个平面不平行，则它们 必相交，再导出矛盾：②面面平行的判定定理： ③利用性质：垂直于同一直线的两个平面平 行，平行于同一个平面的两个平面平行 2.证明垂直的关键是考虑证明哪条直线垂直哪 个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发 挥空间想象综合考虑：条件中告诉我们某种位 置关系，就要联系到相应的性质定理；已知两 平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂 直的性质定理.在垂直关系的证明中，线线垂 直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通 ·100 第八章立体几何初步 探究四求空间中的角 探究五空间中的距离问题 求空间角的步骤为一作（找）、二证、三计算，即 求距离的关键是化归，即空间距离向平面距离 先作（找）出空间角对应的平面角，并证明这个 化归，具体方法如下：(1)求空间中两点间的距 角就是所求角，然后再在三角形中计算这个角 离，一般转化为解直角三角形或斜三角形 的大小求解时要注意角的取值范围：异面直 (2)求点到直线的距离和点到平面的距离，一 线所成的角的范围是(0，受]，直线与平面所成 般转化为求直角三角形斜边上的高：或利用三 棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的 的角的范围是[0，受】，二面角的范围是[0，x]。 高，即用等体积法.(3)求距离的一般方法是应 用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的 【真题5】（多选）(2022·新课标I)已知正方体 思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线 ABCD-A,BC1D1,则 距或点面距进行求解，其一般步骤是①找出或 A.直线BC,与DA:所成的角为90° 作出表示有关距离的线段：②证明它符合定 B.直线BC,与CA所成的角为90 义：③归到解某个三角形.若表示距离的线段 C.直线BC与平面BBDD所成的角为45 不容易找出或作出，可用等体积法计算求解。 D.直线BC,与平面ABCD所成的角为45 【真题7】(2024·全国甲)如图，在以A,B,C,D. 【真题6】(2023·全国乙)如图，在三棱锥P E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边 ABC中，AB⊥BC,AB=2,BC=2V2,PB= 形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD,EF∥AD, PC=6,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O, AD=4,AB=BC=EF=2.ED=V10,FB= AD=v5DO,点F在AC上，BF⊥AO 2w3,M为AD的中点. (1)证明：EF∥平面ADO: (1)证明：BM∥平面CDE: (2)证明：平面ADO⊥平面BEF: (2)求点M到平面ABF的距离. (3)求二面角D-AO-C的正弦值. 提示完成P第八章综合测评 1012B解析由已知得BA⊥AD,CD⊥BD,又平面ABD⊥平面 BCD,平而ABD∩平而BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,从 的外接球球心为0，连接0A,00,则0A=2,00,=2SA, 而CDLAB,又AD∩CD=D,故AB⊥平面ADC.又ABC 平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.故选B项. 因为04=00+0，即4=}SA+3,解得5A=2. 3.AC解析根据平面与平面垂直的性质知A项正确：B项中， m还可能在a内或m∥a或m与a斜交，故B项不正确：C项 中，当a⊥g,mL3,m过a时，只可能有m∥a,故C项正确：D 项中，m与3的位置关系可能是m∥3或mCB成m与B相 交，故D项不正确.故选AC项 4.解析如图，取AB的中点E,连接DE,CE 因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时， (2)不妨设正方体的校长为2，EF的中点为O,分别取CD, 因为平面ADB∩平面ABC=AB, CC的中点G,M,侧面BBCC的中心为N,连接FG,EG, 所以DE平而ABC,所以DE⊥CE OM,ON,MN,如图，由题意可知，O为球心，在正方体中， 由已知可得DE=3,EC=1. EF=F了+G=√2+2=22，即R=2,则球心O 在R△DEC中，CD=DE+CE=2. 答室2 到CC,的距离为OM=ON+MN=,+1下=2，所 以球O与棱CC1相切，球面与棱CC只有1个交点，同理， 章末复习方案 根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， [真题1]解析(1)如图，取AB的中点E,连接PE,CE. 所以以EF为直径的球面与该正方体的棱共有12个公 共点 因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,所以 PE⊥AB,CELAB.又PE,CEC平面PEC,PE∩CE=E, 答案(1)2(2)12 所以AB⊥平面PEC又PE=CE=2× 2 =3,PC=6, [真题3]C解析对于A项，若m∥a,nCa,则m,n平行或异 故PC=PE+CE,即PE⊥CE,所以VMr=Vr十 面，故A项错误：对于B项，若m∥a,n∥a,则m,n平行或 异面或相交，故B项错误：对于C项，m∥a,nLa,过m作平 m=号5m·AB=号×受kIsxBx2=1,故选A项 面B,使得3门a=s,因为mCB,故m∥x,而sCa,故n⊥s,故 (2)由题意得，∠APB=120°，PA=2,所以OP=1,OA=OB= m⊥n,故C项正确：对于D项，若m∥a,n⊥a,则m与n相 瓦，国维的体积为宁×xX(52×1=,A项正确：周维的 交或异面，故D项错误，故选C项， [真题4幻解析(1)证明：由题意得，平面CMD⊥平面ABCD,交 侧面积为πX3×2=2,5π，B项错误：设D是AC的中点， 线为CD. 连接OD,PD,则AC⊥OD,AC⊥PD,所以∠PDO是二面 因为BC⊥CD,BCC平面ABCD, 角P-AC-O的平面角，则∠PDO=45”,所以OP=OD= 所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM. 1,故AD=CD=√3-T=2,则AC=22,C项正确： 因为M为CD上异于C,D的点，且DC为直径， PD=个+=2，所以Sw=号×22X,2=2.D项 所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC 而DMC平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC. 错误，故选AC项 (2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 证明如下：连接AC,BD交于点O. 因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点. 连接OP,因为P为AM的中点，所以MC∥OP. 又MCt平面PBD,OPC平面PBD. (3)方法一 由于号-司而藏去的正四校维的高为3，所 所以MC∥平面PBD. 以原正四棱锥的高为6， 所以正四枝维的体积为行×(4X)X6=3说2，藏去的正四赖维 的体积为号×2X2)X3=4,所以棱台的体积为32一4=2公 [真题5]ABD解析如图，连接BC, 方法二棱台的体积为号×3×(16+4+16X④)=28， BC,因为DA,∥BC,所以直线BC 与BC所成的角即为直线BC与 答案(1)A(2)AC(3)28 DA所成的角，因为四边形BBCC [真题2]解析(1)如图，将三棱锥S-ABC转化为直三棱柱 为正方形，所以BC⊥BC,故直线 SMN-ABC,设△ABC的外接圆圆心为O,半径为r,则 BC与DA:所成的角为90°，A项正 AB ACB=23,可得3，设三棱锥5-ABC 2r= 骑：连接AC,因为A1B⊥平面BBCC,BCC平面 BB,CC,则AB⊥BC,图为B,C⊥BC,AB∩BC=B, 。 291· 所以BC⊥平面AB1C,又ACC平面A1BC,所以BC⊥ CA,故B项正确：连接A:C1,设AC∩BD=O,连接 因为cos∠ABD= BO,因为BB⊥平面ABCD1,COC平面ABCD,则 2X2x6 4士6-PA,解得PA= 2×2×6 COLBB.因为CO⊥BD,BD∩BB=B,所以CO⊥平 面BBDD,所以∠CBO为直线BC与平面BBDD所成的 、不，同理得E,于是E十EF=肝=3，即有BE 角，设正方体被长为1，则C0=号，C=么m∠C0 EF.由(I)知，OD∥EF,所以GM∥EF, 瓷子，所以直线与手面阻D所成的角为3，故 所以∠aF=n1w广-∠a)=B-膘-号 C项错误：因为CC⊥平面ABCD,所以∠CBC为直线 BC,与平面ABCD所成的角，易得∠CBC=45°，故D项正 所以二西角D-A0-C的正孩值为号 确.故选ABD项. [真题7]解析(1)证明：因为BC∥AD,BC=2,AD=4,M为 [真题6们解析(1)证明：连接DE,OF,设AF=4C,则B亦-BA+ AD的中点，所以BC∥MD,BC=MD,所以四边形BCDM A正=1-脑+i成，A0=-i+号武，BF⊥A0,则萨 为平行四边形，所以BM∥CD,又因为BM过平面CDE,CDC 平面CDE,所以BM∥平面CDE. Aò=[1-)Bi+B·(-B+号)=(-1D+ (2)如图所示，作BO⊥AD交AD于O,连接OF. 之1BC=41-1)十=0，解得1=之，则F为AC的中 点，因为D,E,O,F分别为PB.PA,BC,AC的中点，所以 DE∥AB.DE=AB.OF/AB,OF=AB,即DE/∥OF, DE=OF,则四边形ODEF为平行四边形，所以EF∥IDO 又EF过平面ADO,DOC平面ADO,所以EF∥平面ADO 因为四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD,AD=4,AB= BC=2,所以CD=2,结合(1)四边形BCDM为平行四边 形，可得BM=CD=2,又AM-2,所以△ABM为等边三角 形，O为AM的中点，所以OB=3,又因为四边形ADEF 为等腰稀形，M为AD的中，点，所以EF=MD,EF∥MD. 所以四边形EFMD为平行四边形，所以FM=ED=AF,所 以△AFM为等腰三角形，则△ABM与△AFM底边上的中 (2)证明：由(1)可知EF∥OD 点O重合，所以OF⊥AM,OP=√AF-A可=3，因为OB+ O=BF,所以OB1OF,所以OB,OD,OF互相垂直，由等体 A0=B0+AB-6,D0= 2 积法可得Vw=Vrw.Vrw=号Smu·FPO-=号×× 所以AD-5D0=30. 21 2×3=5 周此OD+A0=AD=号，则OD1A0.所以EF1A0 ∠FAB=E4+AB-E=而+X-(2BY=1 2FA·AB 2×w10×22√10 又AOLBF,BF∩EF=F,BF,EFC平面BEF 所以AOL平面BEF, 2Sa=古PA,AB:mFAB=吉× sin/FAB39 又AOC平面ADO,所以平面AD)L平面BEF (3)如图，设BF与AO相交于点M,AD与BE相交于点G,连 ,、10×2×39=￥39.设点M到平面FAB的距离为d. 2,10 接GM,OF. 1 则VMFB=VrAI= X5wXd=吉×xd=5. 3 解得d=6,即点M到平面ABF的距离为5国 13 13. 第九章统计 9.1随机抽样 因为O,F分别为BC,AC的中点，所以OFL号BA. 9.1.1简单随机抽样 所以OM=号AM, 必备知识·基础落实 因为D.E分别为PB,PA的中点，所以DEL BA, 要点一 1.全面调查普查总体个体 所以DG=2GA, 2.抽样调查样本样本量样本数据 要点二 所以MG/OD.MG-号OD-要 1.放回简单随机抽样不放回简单随机抽样简单随机抽样 3· 2.抽签法随机数法 由(2)知，OD⊥AO,所以MG⊥AO, [思考]提示用简单随机抽样的方法抽取样本时，样本量越大， 又AOLBF,则∠GMF为二面角D-AO-C的平面角. 样本所反映的实际情况就越接近总体的实际情况，即对于 ·292·