课时作业6 平面向量基本定理-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

课时作业（六） 平面向量基本定理 答案见Pm I基础训练川 6.已知e,e不共线，a=e1十2e2,b=2e1十e2,要使 1.下列三种说法中，正确的是 ( a,b能作为平面内的一个基底，则实数A的取值 ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示 范围为 该平面所有向量的基底：②一个平面内有无穷多 7.设向量m=2a-3b,n=4a一2b,p=3a十2b,若用 对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基 m,n表示p,则p= 底：③零向量不可作为基底中的向量. &.在△ABC中，Ai=}A店，DE∥BC,且与边AC A.①② B.②③ 相交于点E,△ABC的中线AM与DE相交于点 C.①③ D.①②③ N,设AB=a,AC=b,用a,b表示向量DN= 2.(多选)设e,e是平面内两个不共线的向量，则 以下a,b可作为该平面内一个基底的是() 9.如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC A.a=e+e:,b=e a,BD=b,试用基底a,b表示AB,BC Ba-20+e+ C.a=-e1十e,b=e-e D.a=e1-2e2,b=-e1+4e 3.已知向量a与b是不共线的非零向量，实数x,y 满足(2.x-y)a+4b=5a+(x-2y)b,则x+y= A.-1 B.1 C.0 D.3 4.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点 F是BC上靠近点B的一个三等分点，那么EF A号AB-号AD BAB+A而 C号AB+2A市 D2A弦-号A市 5.在△ABC中，P是BC上一点，若B=2P心，A 入A方+uAC,则入 A. B司 c号 D.2 ·159 10.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中 B.边BC所在的直线上 点，点N在BD上，且BN=号BD求证：M,N, C.边AC所在的直线上 D.△ABC的内部 C三点共线 14.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC,BD交 于点O,线段OD上有 点M满足D0=3DM, 线段C0上有点N满足O心-ON(A>0),设 A成=a,A币=b,已知MN=a-b.则实数入 的值分别是 拓展探究 15.如图，在□ABCD中， AM号CAN-号AB AM交DN于点O, I能力提升川 11.(多选)向量a,b都是非零向量，满足下面哪个 则品 条件时，a,b可以充当该平面的基底() 16,如图，在△AB0中，0元-Oi,Oi=2Oi. A.a·b+ab=0B.a·b-al|b|=0 AD与BC相交于点M.设OA=a,OB=b. C.2a·b+allb1=0D.a·b=0 (1)试用向量a,b表示OM: 12.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一 (2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一 副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为 点F,使EF过点M,设OE=AOA,OF=OB. “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与 一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示 求证：+子-7 在“赵爽弦图”中，若BC=a,BA=b,BE=3E求， 则AE A品0 + C la n元0是 13.已知点P是△ABC所在平面内一点，边AB的 中点为D,若2PD=(1-A)PA+CB,其中入∈ R,则点P一定在 A.边AB所在的直线上 ·160.√(3a-2b)=9G-12a·b+46=65,n=45,所以 21=λ，=-√14， s0m:n-合又c0小，所0-等 2e1+7e=(e十e2),a<0,则7=t,即 4所 3 A<0, 2 1.山D照由已知可得ab=60°=1X1×专 以实1的取值花国是(-7。-四)U(-,)】 合国为a+2b)·b=a·b+26=号+2X1=号0，所以 课时作业（六） A项不特合题喜：因为(2a+b)·b=2a·b+b=2X号十 1.B解析只要平面内一对向量不共线，就可以作为表示该平 1=2≠0，所以B项不符合题意：因为(a一2b)·b=a·b 面向量的一个基底，故①不正确，②正确：因为零向量与任意 26=号-2×1=-号≠0，所以C项不特合题意：因为 一个向量平行，所以③正确.故选B项 2.ABD解析a不能用b表示，故a,b不共线，所以A项符合： (2a-b)·b=2a·b-6=2X号-1=0，所以D项符合题 a不能用b表示，所以a,b不共线，故B项符合；a=一b,故 a,b共线，所以C项不符合：a不能用b表示，故a,b不共线， 意，故选D项. 所以D项符合.故选ABD项. 12.AC解析由a十b=7,得a+b2=7,即a2+2a·b+ 3.B解析由已知得(2x一y-5)a+(-x十2y十4)b=0.因为a F=7,又a·b=1,b=1,所以a2=4,所以|a=2,故A 项正确：因为a·(a一b)=a一a·b=4-1=3,所以a与 与6不共线，且都是非零向量，所以2工一0，。所以 1-x+2y+4=0, a一b创不套直，故B项错误sa,b-8合-之又0区 x十y=1.故选B项. 4.D解析在△CEF中，E亦-E心+C市，因为点E是DC的中 (a,b>≤，所以a与b的夹角为牙，故C项正确D项错误. 故选AC项. 点，所以元-2元因为点F是BC上靠近点B的一个三等 13.解析因为向量c与a十b共线，所以设c=t(a十b)(1∈R), 分点，所以市=号成所以成=元+号成=号A证+ 所以a+c=(t+1)a+b,所以(a+c)2=(t+1)'m+2(t+ 1)a·b+tb=(t+1)2-t(t+1)+2=+t+1= 号Di=号成-号成故选D项 (什号)广+≥是所以1a+e≥得所以a+e的最小 5.B解析在△ABC中，B=2P心，则AP-AB+Bd=AB+ 号成=+号花-恋)=号成+号花.又市=恋+ 霸号 心，且.不共线则=号一号所以是=合故选 B项. 14.解折知图.0A.(O亦+d=20A.0M=-210A1·OM≥ -2·(i+od)=-2.(AM)=-2,当oi= OM时，等号成立.故Oi·(O成+心的最小值为-2. B 6解析若a,b能作为平面内的一个基底，则a与b不共线，即 对任意k∈R,a≠b,所以入≠4.所以实数入的取值范国为 15.C解析由a+e≤a一e|可得a十e|2≤a-e|2,整理 (一9,4)U(4,十0∞). 可得a2十e+2a·ea十fe2-2a·e.图为e=1,所以 答率(-∞，4)U(4,十∞) -2a·e-2a·e-1>0.因为对任意的t∈R,|a+e≤a 7.解析设p=xm十yn=x(2a-3b)十y(4a一2b)=(2x十4y)a十 e恒成立，所以对任意的t∈R,f一2a·e-2a·e-1≥0 (-3x一2y)b,又p=3a十2b,所以由平面向量基本定理得 恒成立，所以△=(-2a·e)2-4(-2a·e-1)≤0，即(a· e+1)2≤0，所以a·e+1=0.因为e=1,所以a·e+e= 12x十4y=3,n解得 4 所以p=一m十8 7 13 -3.x-2y=2, 0,所以e·(a十e)=0,所以e⊥(a十e).故选C项. 16.解析由向量2e1十7e与向量e十e:的夹角为钝角，得 2e+7e）:（e+e)<0,即(2e1+7e)·(e+e:)<0, 12te+7ez lle+tez 化简得21+151十7<0，画出函数y=2+151+7的图象， 8照新由题意得，D成=号D成=号(A花-AD)=号(A心 如图所示 }A)=ga心名A迹=-名a+g& -名a+名b 9.服折由题意知Aò-0元-AC-2a,B0-Oi=)B筋 若2P+151+7<0,则1（-7，-令）.当夹角为元时，也 名b,所以A店=A0+O成=A0-0=a-号b,成 有(2e1十7e)·(e1十e:)<0,但此时夹角不是纯角，设 B0+0元=a+号b, ·309· 10.证明由题意可知，BD是平行四边形ABCD的对角线，所以 BD-BA+B武因为M是AB的中点，所以BA=2B立因为 又0d=号O店所以O= i+号O店 1+。十a十2a,则 BN=号BD,所以成=号筋=号成+号武-号成计 m=1十a 专成周为号+写=1，所以M.N,C三点共线 即m+2n=1 ① 11.CD解析对于A项，a·b=一ab,则(a,b)=πa∥b. n=2(1+a)' 不能作为基底，故A项不符合题意：对于B项，a·b=al|b, 因为B,C,M三点共线，所以存在B(B≠-1)使得CM 则〈a,b)=0,a∥b,不能作为基底，故B项不特合题意：对于 BM,即di+0oM=Mò+Oi,于是OM=0元+B0成 1+3 C项，ab一a1b,则cosa,b)=一a,b=号 a与b不共线，可作为基底，故C项符合题意：对于D项，由 a·b=0,得a⊥b,可作为基底，故D项符合题意.故选 又0位a成年以0成aid CD项. 12.A解析依题意，花=成-耐=成-=名（成+ 所以 m=41+9'即4m十1=1 ② 影 内-耐=成-是花-脐，于是瓷花=是成 由①@可得m=7,n=号，所以0i=7a+马6 =子a-b,所以证-是0一碧a故选A项 (2)证明：由于E,M,F三点共线，所以存在实数广-1)使得 13.C解面因为边AB的中点为D,所以Pi+P店=2P市，因 =,即i+Oò+d病，于是d+0正 1十 为2Pi(1-)Pi+C成，所以PA+P成=(1-)PA+ 又Oi=xOi.o亦=Oi. Pi-P乙，所以P心-一1PA,所以A,C,P三点共线，因此 点P一定在边AC所在的直线上.故选C项 所以O戒=A0i+型O店 1+7 计+所以7a+ 3b- 14.解标依题意得D=b-a,AC=a十b,且D成=合D成 入 言a-b)=言a-言b,=A0+o成=（合+员）C +则 1+7 消去得}十是-7 (号+员)a+b,所以A-A心+D=b叶（合a-吉b) 课时作业（七） ga+号，A=Ai+M=若a+君b+(xa-名b) 1.C解标向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=2(2,4) (传+a+号.即=（侵+a)a+b=(合+ra+ (一1,1)=(5,7).故选C项. 2.C解析由题意得，a=(3x,2:)=(3x,4),所以2牡=4，即 =3 号所以 解得 1 2队，又0.所以是=子故选C项 1+1=1 42 3.ACD解析A项中，向量白为客向量，所以C∥c,不能作 为基底：B项中，e与e不共线，可以作为基底；C项中，e 管系3,7 1 e,所以e∥e,不能作为基底；D项中，e=4e,所以e∥ 15.解损设Ai=a,AD=b.则D成=AN-A=a-b.A ,不能作为基底故选ACD项， 4.C 解扬设C(x,y),则AC=(x-3,y十6)，A店=(-8,8). A店+B=a+号B.因为A,0.M三点共线，所以设A心 国为AB.C三点在一条直线上，所以=告5，即r十 AAi,则Dò-A0-Ai=aAi-A市=A(a+号b)-b y十3=0，将四个选项分别代入x十y十3=0脸证可知，C项 不满足该方程.故选C项. a+(号入-1)b①，因为D.0,N三点共线，所以设0 5.AD解扬由题意知AB=(1,2),选项中的向量（一2，一4）， 成=（号ab)=吉arb@.①②得a+(号x (-4,一8)与(1,2)平行且方向相反，向量(-6，一3) (一1,2)与(1,2)都不平行.故选AD项. =方 6.A解析已知一个物体在三个力F=(1,2),F=(-1,一3)， b-5以a一b,因为a,b不共线，所以 解 F的作用下，处于静止状态，设F=(x,y),则F十F十 号-1=- F=(1,2)+(-1,-3)+(x,y)=(x,y-1)=0,即 立所市-昌成所-背立所品品 3 .解得所以片=0，线选A现 【y=1, 得 15 7.解析因为(a+b)∥c,a+b=(3,2+k),所以3×(-1)=(2+ 17 k)×3,所以k=一3. 圈 答案一3 8.解折因为点A(1,0),B(1,w3).OC=一4OA+aOB,所以 16.解折(1)不坊设OM-na十b. C(1一4,31)，因为∠AOC=150°，点C在第二象限，所以 因为A,D,M三点共线，所以存在a(a≠一l)使得AM aMi,即A0+Oi-aMò+Oò，于是d@i±e0d m150-=停解得入=1 1+a 答室1 ·310·