课时作业7 平面向量的坐标表示-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

课时作业（七） 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 平面向量数乘运算的坐标表示 答案见P I基础训练 8.已知点A(1,0),B(1,√3)，点C在第二象限，点O 1.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b= 为坐标原点，且∠AOC=150°，OC=-4OA+ ( 入OB,则1= A.(3,7) B.(3,9) 9.设a=(3,1),b=(-1,2),c=(5,-3),若表示向 C.(5,7) D.(5,9) 量a,a一b,b-2c,d的有向线段首尾相接能构成 2.已知向量a=(3,4),若a=(3x,2)(A,μ∈R且 四边形，则d= 0,期店 10.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 CM=3CA,CN=2CB,求点M,N的坐标. A.4 c D.2 3.(多选)下列向量组中，不能作为表示它们所在平 面内所有向量的基底的是 A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D6=(2,-3),6=(2,-是) 4.已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三点在一 条直线上，则点C的坐标不可能是 () 1能力提升川 A(-9,6) B.(-1,-2) 1.已知a=(-2,1-cos0),b=(1+cos0,-), C.(-7,-2) D.(6,-9) 且a∥b,则锐角0= 5.(多选)已知A(2,-1),B(3,1),则与AB平行且 A.45°B.30° C.60° D.15 方向相反的向量是 () 12.如图，在A处发射一束激光，经过x轴反射后撞 A.(-2,-4) B.(-6,-3) 击B处的一个中子.已知A,B的坐标分别为 C.(-1,2) D.(-4,-8) (0,3),(10,7),则光束射到x轴的位置点M的 6.已知一个物体在三个力F=(1,2),F2=(一1，一3)， 坐标为 F的作用下，处于静止状态，则F3= A.(0,1) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(-1,1) 7.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(3,一1)，且 (a十b)∥c,则实数k= ·161 13.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+ 川拓展探究‖ tAB刻 15.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（一1， (1)t为何值时，点P在x轴上？ 0),(3,0),(1,一5)，求第四个顶点的坐标. (2)t为何值时，点P在y轴上？ (3)t为何值时，点P在第二象限？ 16.过原点O的直线与函数y=logx的图象交于 14.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(一1,2)， A,B两点，过A,B分别作x轴的垂线交函数 c=(4,1). y=logx的图象于C,D两点，求证：O,C,D三 (1)求满足a=mb十c的实数m,n的值； 点在同一条直线上 (2)若(a+c)∥(2b-a),求实数k的值. ·162·10.证明由题意可知，BD是平行四边形ABCD的对角线，所以 BD-BA+B武因为M是AB的中点，所以BA=2B立因为 又0d=号O店所以O= i+号O店 1+。十a十2a,则 BN=号BD,所以成=号筋=号成+号武-号成计 m=1十a 专成周为号+写=1，所以M.N,C三点共线 即m+2n=1 ① 11.CD解析对于A项，a·b=一ab,则(a,b)=πa∥b. n=2(1+a)' 不能作为基底，故A项不符合题意：对于B项，a·b=al|b, 因为B,C,M三点共线，所以存在B(B≠-1)使得CM 则〈a,b)=0,a∥b,不能作为基底，故B项不特合题意：对于 BM,即di+0oM=Mò+Oi,于是OM=0元+B0成 1+3 C项，ab一a1b,则cosa,b)=一a,b=号 a与b不共线，可作为基底，故C项符合题意：对于D项，由 a·b=0,得a⊥b,可作为基底，故D项符合题意.故选 又0位a成年以0成aid CD项. 12.A解析依题意，花=成-耐=成-=名（成+ 所以 m=41+9'即4m十1=1 ② 影 内-耐=成-是花-脐，于是瓷花=是成 由①@可得m=7,n=号，所以0i=7a+马6 =子a-b,所以证-是0一碧a故选A项 (2)证明：由于E,M,F三点共线，所以存在实数广-1)使得 13.C解面因为边AB的中点为D,所以Pi+P店=2P市，因 =,即i+Oò+d病，于是d+0正 1十 为2Pi(1-)Pi+C成，所以PA+P成=(1-)PA+ 又Oi=xOi.o亦=Oi. Pi-P乙，所以P心-一1PA,所以A,C,P三点共线，因此 点P一定在边AC所在的直线上.故选C项 所以O戒=A0i+型O店 1+7 计+所以7a+ 3b- 14.解标依题意得D=b-a,AC=a十b,且D成=合D成 入 言a-b)=言a-言b,=A0+o成=（合+员）C +则 1+7 消去得}十是-7 (号+员)a+b,所以A-A心+D=b叶（合a-吉b) 课时作业（七） ga+号，A=Ai+M=若a+君b+(xa-名b) 1.C解标向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=2(2,4) (传+a+号.即=（侵+a)a+b=(合+ra+ (一1,1)=(5,7).故选C项. 2.C解析由题意得，a=(3x,2:)=(3x,4),所以2牡=4，即 =3 号所以 解得 1 2队，又0.所以是=子故选C项 1+1=1 42 3.ACD解析A项中，向量白为客向量，所以C∥c,不能作 为基底：B项中，e与e不共线，可以作为基底；C项中，e 管系3,7 1 e,所以e∥e,不能作为基底；D项中，e=4e,所以e∥ 15.解损设Ai=a,AD=b.则D成=AN-A=a-b.A ,不能作为基底故选ACD项， 4.C 解扬设C(x,y),则AC=(x-3,y十6)，A店=(-8,8). A店+B=a+号B.因为A,0.M三点共线，所以设A心 国为AB.C三点在一条直线上，所以=告5，即r十 AAi,则Dò-A0-Ai=aAi-A市=A(a+号b)-b y十3=0，将四个选项分别代入x十y十3=0脸证可知，C项 不满足该方程.故选C项. a+(号入-1)b①，因为D.0,N三点共线，所以设0 5.AD解扬由题意知AB=(1,2),选项中的向量（一2，一4）， 成=（号ab)=吉arb@.①②得a+(号x (-4,一8)与(1,2)平行且方向相反，向量(-6，一3) (一1,2)与(1,2)都不平行.故选AD项. =方 6.A解析已知一个物体在三个力F=(1,2),F=(-1,一3)， b-5以a一b,因为a,b不共线，所以 解 F的作用下，处于静止状态，设F=(x,y),则F十F十 号-1=- F=(1,2)+(-1,-3)+(x,y)=(x,y-1)=0,即 立所市-昌成所-背立所品品 3 .解得所以片=0，线选A现 【y=1, 得 15 7.解析因为(a+b)∥c,a+b=(3,2+k),所以3×(-1)=(2+ 17 k)×3,所以k=一3. 圈 答案一3 8.解折因为点A(1,0),B(1,w3).OC=一4OA+aOB,所以 16.解折(1)不坊设OM-na十b. C(1一4,31)，因为∠AOC=150°，点C在第二象限，所以 因为A,D,M三点共线，所以存在a(a≠一l)使得AM aMi,即A0+Oi-aMò+Oò，于是d@i±e0d m150-=停解得入=1 1+a 答室1 ·310· 9.解析因为表示向量a,a一b,b-2c,d的有向线段首尾相接能 （-1,0)=,y)-(3.0,解得=5，.所以D(5,-5: 构成四边形，所以a十(a-b)十(b-2c)十d=0.可得d=2c y=-5, 2a=2(5,-3)-2(3,1)=(4,-8). ③若这个平行四边形为□ACBD,则AC=DB,即(1，一5) 答(4，一8) 10.解析因为A(一2,4)，B(3,-1),C(-3,-4),所以CA （一10=.0-0.解得所以1 (-2,4)-(-3,-4)=(1,8),CB=(3,-1)-(-3,-4) 综上所述，点D的坐标为(1,5)或(5，-5)或(-3，-5). (6,3).因为CM=3CA.CV=2CB,所以CM=3(1,8)= 16.证明设A(x1,log),B(应，l0g2),因为OA与OB共 (3,24),CV=2(6,3)=(12,6).设M(x,),N(x,2) 线，OA=(x1,l0gT1),OB=(x,log:x2),所以xl0g 所以dM=(a+3y+4)=(3,24),C=(m+3,边+4)= ra logs1=0.由已知可得C(,log),D(,logx2),所 12,6,所以{西十3二3，十32分别解得西=0 以C=(,lkg),OD=(,lkg2),所以kg2 为十4=24,12十4=6， 3为=20. loge西=ng-ogz=3(nog一og）=0, x=9·所以M(0,20),N9,2), 所以O心与OD共线.因为OC,OD有公共点O,所以O,C, 2=2. D三点在同一条直线上 11.A解扬由a/b,得-2×(-）-(1-cs0)(1十c0s) 课时作业（八） 1r0=如m0,所以血0=士号又0为锐角， 0,即1 1.C解折因为8a-b=(6,3),所以(8a一b)·c=18十3.x= 30,所以x的值为4.故选C项. 所以血0-号所以0=5故连A项 2.D解析由题意知a-6b=(2,4)一6(-1,2)=(8，一8)，所 以a-6b=,82+(-8)严=82.故选D项， 12.解析作点A关于x轴的对称点P,则P(0,一3)，设M(x 0),则P府=(.x,3),P5=(10,10),由Pi∥P求，得10x &ABD扬a=,+0=1,b1=√（分）+（合） 30=0,解得x=3,所以，点M的坐标为(3,0). 号故A项错误：a·6=1X号十0×合=，故B项错误： B a-6=().a-b6=×号-× 1 =0,所 以a-b与b垂直，故C项正确：因为1X号-0X号≠0，所 以a与b不共线，故D项错误.故选ABD项. 4.C解析由a⊥b,得3×2+2x=0,解得x=-3,故2a一3b= (6,4)一(6，-9)=(0,13)，则2a-3b=√0+13=13.故 答率(3,0) 选C项。 13.解折依题意得O亦-0A+1A店=(1,2)+1(3,3)=(1+31， 5.A解析由题意得，M不=（一1,4），所以N=M亦-M六 2+3). (4,0),则c0s0= MN.NP )若点P在x轴上，则2+31=0，解得1=一号，所以当1 MN·NP、17×4 A项」 号时，点P在x轴上 6.解析因为a=(1,0),b=(1,1),所以a十沾=(1,0)十(1， 1)=(1十λ，A).由于a十b与a垂直，所以1十入十0=0，解得 (2)若点P在y轴上，则1+31=0，解得1=一 ,所以当1 1 入=一1.所以当A=一1时，a十沾与a垂直. 答多一1 一号时，点P在y轴上 7.解析如图所示，在正方形OABC中，A(0,1),C(1,0)(两者位 ③)若点P在第二象限对2十解得号<K 置可互换，不影响最终结果)，则AB=(1.0),AC=(1,一1)，从 12+3t>0, 3所 而AB.AC-(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1. 以当一号<K一青时，点P在第二象限 14.解折(1)因为a=b十c,所以(3,2)=m(一1,2)十(4,1) 5 (一m十4n,2m十n),则( 一m十4n=3·解得 9 2m十n=2, 8 所以实 9 答室1 敛m,n的值分别为号和8。 8 8.解析(1)若a⊥b,则a·b=(1,x)·(2x十3，一x)=1×(2x十 3)+x(-x)=0,整理得x-2x一3=0，解得x=-1或x-3. (2)因为(a+c)∥(2b-a),且a+c=(3+4k,2+k),2b 所以x的值为一1或3. a=(一5,2).所以2×(3十4k)一(-5)×(2+k)=0,解得 (2)若a∥b,则有1×(-x)-x(2x十3)=0，即x(2x十4)=0， 总所以实款长的值为一 解得x=0或x=-2.当x=0时，a=(1,0),b=(3,0),a k=- b=(-2,0),所以a一b1=y(-2)+0=2:当x=-2时， 15.解析设A(一1,0)，B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D(x,y). a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),所以|a-b= ①若这个平行四边形为□ABCD.则AB=DC,即(3,0) /公+(-40=2w5.综上，a-b1=2或a-b=25. (-1.0=(1,-5)-(,解得{3所以X-3,-5: 9.解标由a·b0,得-2+2y<0,所以y<1.当a与b反向 y=-5. ②若这个平行四边形为□ACDB,则AC=BD,即(1，一5) 时，设a=沾a<0),即(-2,2)=(a,所以2所以 ay=2, ·311·