6.2.4 向量的数量积-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

数学必修第二册课堂学案 探究三 向量共线定理的应用 【例题3】已知，是两个不共线的向量，若AB 2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,求证： 规律总结 A,B,D三点共线. (1)判断或证明A,B,C三点共线，只需看是 否存在实数入，使得AB=AAC(或BC= 入AB等有公共点的两向量)即可. (2)已知向量共线求入，常根据向量共线的条 件转化为相应向量系数相等求解. (3)若平面内三点A,B,C共线，O为不同于 A,B,C的任意一点，则存在实数入，以使 【变式3】设向量a,b不平行，向量a+b与a+2b OC=OA+红OB,并且1十μ=1. 平行，则实数入 随堂检测 学以致用 答案见P 1.下列各式中不表示向量的是 ) 3.已知在△ABC中，BD是AC边上的中线，点O A.0a B.a+3b C.3a D.20 为BD的中点，若AB=a,AC=b,则AO= 2.(多选)下列各式计算正确的有 (用a,b表示). A.(-7)×6a=-42a 4.已知e1,e2是两个不共线的向量，a-2e1一e2, B.7(a+b)-8b=7a+15b b=e1十e2,若a与b是共线向量，则实数 C.a-2b+a+2b=2a k= D.4(2a+b)=8a+4b 提示完成Ps课时作业（四） 6.2.4向量的数量积 [学习目标]1，通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量 积（重难点）.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，3.会用数量积判断两个平 面向量的垂直关系（重点），4，发展数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养， 必备知识基础落实 答案见Ps 要点一向量的数量积 (续表) 1.向量的夹角 范围 0≤0≤元 已知两个 向量a,b,O是平面上的任 0=0 a与b 条件 意一点 特殊 情况 0-受 a与b ,记作a⊥b 产生 作向量OA=a,O=b,则 0=元 a与b 过程 叫做向量a与b的 2.向量的数量积的定义 夹角 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，我 ·12 第六章平面向量及其应用 们把数量ab|cos0叫做向量a与b的 3.(1)设与b方向相同的单位向量为e,a与b的 (或)，记作a·b,即 夹角为0，那么向量a在向量b上的投影向量 规定：零向量与任一向量的数量积为 OM1与e,a,0之间的关系为：对于任意的0∈ 3.向量的数量积的物理背景 [0,π]，都有OM1= 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那 W就等于力F与位移 (2)|acos|bcos0)为向量a在b上(b在a 么力F所做的 s的数量积，即 ,其中0是F与s的 上)的投影的数量. 夹角. 要点三向量数量积的性质和运算律 >思考：(1)向量的数量积运算结果和向量的线 1.向量数量积的性质 性运算结果有什么区别？ 设a,b是非零向量，它们的夹角是0，e是与b (2)可以把“a·b”写成“ab”或“a×b”吗？ 方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=|al cos 6. (2)a⊥b台→ (3)当a与b同向时，a·b= :当a与 b反向时，a·b= 特别地，a·a= al或a=√a·a=√a. 要点二投影与投影向量 (4)cos 0= L.如图，设a,b是两个非零向量，AB=a,CD=b, (5)la·b≤albl. 过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直 2.向量数量积的运算律 线的垂线，垂足分别为A1,B,得到A1B1,我们 对于向量a,b,c和实数入，有 称上述变换为向量a向向量b投影，AB,叫做 (1)a·b= (交换律)； 向量a在向量b上的投影向量 (2)(a)·b=a(a·b)= (结合律)； (3)(a十b)·c= (分配律). 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 2.如图，在平面内任取一点O,作OM=a,ON (1)两个向量的数量积仍然是向量.() b,过点M作直线ON的垂线，垂足为M1,则 (2)若a·b=b·c,则一定有a=c. OM就是向量a在向量b上的投影向量 (3)若a·b<0,则a与b的夹角为钝角. (4)(a·b)·c=a·(b·c). ·13· 数学必修第二册课堂学案 关键能力素养提升 答案见P 探究一 求向量的数量积 【变式1】(1)已知向量a与b的夹角为60°，且 1a=1,|b=3,则a·b= ;(a十 规律总结 2b)·(a-b)= (2)在△ABC中，M,N分别为AB,BC的中 求平面向量数量积的方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直 点，AB=AC-4,AB·AC-8,则CM.AN的 接利用公式a·b=|a|bcos0,运用此法计 值为 算数量积的关键是正确确定两个向量的夹 探究二 向量的模 角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要 通过平移使两向量符合以上条件 解题技巧 (2)运算律转化法：根据数量积的运算律，由 解决与向量的模有关问题的基本思路 (a+b)·(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d a·a=a2=|a|2或|a=√a·a是求向量的 可得如下运算公式：(a十b)·(a一b)= 模及用向量求解图形中线段长度的依据.根 a|2-|b2;(a+b)2=a2+2a·b+|b12; 据平面图形求向量的模时，注意利用图形的 (a-b)2=a2-2a·b+lb2. 性质对向量的数量积或夹角等进行转化 (3)利用向量的线性运算转化法：涉及平面 图形中向量的数量积的计算时，要结合向量 【例题2】已知向量a与b的夹角为120°，且|a= 的线性运算，将未知向量转化为已知向量 4,b1=2,求下列各式的值. 求解。 (1)la十bl: (2)13a-4b: 【例题1】(1)如图，正△ABC的边长为2，AB- (3)1(a+b)·(a-2b)l. c,BC=a,CA=b,则a·b+b·c十c· a= (2)(2022·全国甲)设向量a,b的夹角的余 弦值为3，且a=1,b1=3,则(2a+b)· 44444444 444444444444+44444444444444 b= 4444444444444444444444444444444 第六章平面向量及其应用 【变式2】(1)设a,b为单位向量，a在b方向上的 探究四 向量的垂直问题 投影向量为-2b,则a-b1- 规律总结 A.1 B.√2 两个非零向量的数量积为0是这两个向量 C.3 D.2 互相垂直的充要条件.这一充要条件是解决 (2)若向量a,b满足|a=3,a-b=5,a· 向量垂直问题的重要工具，应用这一工具时 b=1,则|b1= 需注意整体意识的应用，如将向量的线性组 探究三 向量的夹角 合视为一个向量，同时注意公式a2=a·a a2的应用. 解题技巧 【例题4】不共线向量a与b满足什么条件时，a十 用数量积求向量的夹角应注意的问题 b与a一b互相垂直？ (1)平面向量a,b的夹角0的求解步骤：①计 算a·b,a,b1:②计算cos0=治 i ③借助0∈[0，π]求出0的值. (2)数量积大于0说明两向量的夹角为锐角 或0，数量积等于0说明两非零向量的夹角 为直角，数量积小于0说明两向量的夹角为 钝角或π 【例题3】设m和n是两个单位向量，其夹角为 60°，求向量a=2m十n与b=2n一3m的夹角. 【变式4】已知|a|=5,1b=4,a与b的夹角为 60°，试问当k为何值时，向量如一b与a十2b 垂直？ 【变式3】设向量a,b满足|a=|b=1及|3a 2b=√7，则a,b的夹角为 ( A. B c ·15· 数学必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P6 1.已知向量a,b满足|a=1,b1=4,且a·b= 3.在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=4,则 2,则a与b的夹角0为 ( AB·BC = BC·CA= A. B C. D 2.已知平面向量a,b满足|a=3,1b=2,a与b 4.已知a=3,|b1=5,a·b=12,b方向上的单 的夹角为60°，若(a一mb)⊥a,则实数m的 位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量 值为 为 ,投影的数量为 A.0 B.1 C.2 D.3 提示完成Ps,课时作业（五） 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 [学习目标]1.理解平面向量基本定理及其意义（重点）.2.在平面内，当基底选定后，会用基底来表示其他 向量（重点）.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题（难点）.4.发展数学抽象和逻辑推 理的核心素养 必备知识基础落实 答案见P 要点平面向量基本定理 辨析 1.定义 判断正误，正确的画“/”，错误的画“X” 如果e1,e2是同一平面内的两个 ,那 么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一 (1)平面向量的基底是唯一的. () 对实数入1，A2,使 (2)平面内的任意两个向量都可以作为一个 2.基底 基底。 () 若e1,e不共线，把{e1,e2}叫做表示这一平面 (3)零向量不可以作为基底中的向量.() 内所有向量的一个基底。 >思考：如果e1,e2是两个不共线的确定向量，那 (4)如果e1,e2是共线向量，那么向量a一定不 么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能用 能用e1,e2表示. () e1,e2表示的依据是什么？ (5)如果向量a,b与空间中的任一向量都不能 构成空间中的一个基底，那么向量a,b一定是 共线向量. () (6)已知a,b是一组不共线的向量，若xa十 yb=x2a十yzb,则x1=x2,M=2.（) 16误：若a与b是相反向量，则5a与一4b的方向相同，故D项 4,解析因为e1,e2不共线，所以向量a,b不为0.又因为a,b共 正确.故选BD项 线，所以存在实数入，使a=沾，即2g一0=1(e1十)=e1十 [辨析]解析(1)错误，m=0时不成立. =2,所以 k=-2, (2)错误，b=0时不成立. e2,所以 =-1, =-1. (3)错误，a与b共线，方向可能相同，也可能相反. 答案一2 (4)正确，因为m=2n,所以m∥n. 答案(1)×(2)×(3)×(4)/ 6.2.4向量的数量积 关键能力·素养提升 必备知识·基础落实 [例题1]解析(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a= 要点一 14a-9b. 1.非零∠AOB=0同向垂直反向 (2)原式=日(4a+16b-16a+8b)=合(-12a+24b)= 2.数量积内积a·b-|a1bcos00 3.功W=F·s=|FlIsl cos0 -2a+4h. [思考]提示(1)向量的数量积的运算结果是数量，只有大小， [变式11服析原式=号(4a-3b叶号b2a+子b) 没有方向；向量的线性运算结果是向量，既有大小又有 方向， -号[4-)a+(-3+号+)b] (2)不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定 =号（受a-)=号a-b 要严格，必须写成“a·b”的形式. 要点二 [例题2]C解扬如图，A市=A+币-A店+BC-A花+ 3.(1)lalcos 0e 要点三 名AC-A)=AB+AC.故选C项， 12②a.6=01alb-lal④8流 2.(1)b·a(2)a·(b)(3)a·c+b·c [辨析]解析(1)错误，两个向量的数量积是实数. (2)错误，若a·b=b·c=0,则向量a,c不一定相等，它们 可能只是都与b垂直的向量， (3)错误，若a·b<0,则a与b的夹角可能为180°. [变式2]D解如图，连接DE.由题意得D亡=号D市+ (4)错误，因为a·b,b·c是数量积，是实数，不是向量，所 以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此 D亦=号i+应+号·号元-(-亦+号A)+ (a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立. 号A店=A店-2A应，故选D项。 答案(1)×(2)×(3)×(4)× 关健能力·素养提升 [例题1]解析(1)因为△ABC是边长为√2的正三角形，所以 |a=|b=|c|=√2，且a与b,b与c,c与a的夹角均为 120°，所以a·b+b·c+c·a=2XW2Xcos120°×3=-3. [例题3]证朋因为C市=6十30，CD=2e一，所以BD-CD (2)由题意得a·b=1X3X号=1，所以(2a+b)·b=2a· b+b=2×1+32=11. Ci=e-4e.又A店=2e-8e=2(e-4e),所以A3= 答室(1)-3(2)11 2BD,所以AB∥BD.因为AB与BD有公共点B,所以A, [变式1]解析(1)由已知可得a·b=|a川bcos0=1×3× B,D三点共线. [变式3]解析因为向量a十b与a十2b平行，所以a十b= cos60°=号，(a+2b)a-b)=G2+a…b-26=1+号 a+2,则仔二，所以=会 2X9=-3 1 俗图号 (2)由题意可作出如图所示的示意图.由M为AB的中点， 得AB=一2BM,由N为BC的中点，得A衣=号(A店+ 随堂检测·学以致用 1.C解析根据数乘向量的定义可知0a,20都是向量：由向量 AO,剥CM.AN=(C+BM·2(AB+AC=(AB 线性运算的定义可知a十3b是向量；|3a表示向量3a的模， 是实数故选C项， AC-A)·A+AO=(号A店-A心)·合A+ 2.ACD解析A项正确，(-7)×6a=一42a;B项错误，7(a十b)一 8b=7a+7b-8b=7a+(7-8)b=7a-b:C项正确，a-2b+ AC=1A萨-2A心-A店.AC-4-8-2=-6. a十2b=2a;D项正确，4(2a十b)=8a十4h.故选ACD项. 3.解折根据向量的线性运算，化简得AO=AB+BO=AB+ 2D-A店+(Bi+BC)=A店+(BA+A花-A) A-A+4A心-A成=2A恋+4A心=a+b 答累2a+b 图2 -(2)-6 一2 ·265· [例题2]解析由已知得a·b=|al blcos0=4×2×cos120°= -4,a2=a2=16,b=b12=4. 6.3平面向量基本定理及坐标表示 (1)因为|a+b2=(a+b)2=a2+2a·b+=16+2× 6.3.1平面向量基本定理 (-4)+4=12,所以a+b=23. (2)因为|3a-4b2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16=9× 必备知识·基础落实 16-24×(-4)+16×4=304,所以3a-4b1=4√19. 要点 1.不共线向量a=入1e1十ze (3)因为(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b=16-(-4) [思考]提示依据是向量的数乘运算和平行四边形法则. 2X4-12,所以1(a+b)·(a-2b)川-12. [辨析]解标(1)错误，平面向量的基底不唯一，只要两个向量 [变式2]解析(1)因为a,b为单位向量，a在b方向上的投影向 不共线，都可以作为平面向量的一个基底。 (2)错误，不共线的两个向量才能作为基底 量为-受b,所以6·合=(a…b)·b=-b,则a… (3)正确，零向量与任意向量共线. (4)错误，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示. b=-2,所以a-b1=√a-b=√a-2a·b+B- (5)正确，向量α，b与空间中的任何向量都不能构成空间中 的一个基底，说明向量a,b与空间中的任一向量都是共面 /1+1+I=√5.故选C项. 向量，从而a,b一定是共线向量. (2)由a-b=5得(a-b)2=25,即2-2a·b+=25,因为 (6)正确，{a,b}是平面内的一个基底，由x1a+yb=a+ a=3,a·b-1,所以32-2X1+b12=25,所以b1=32. 2b和平面向量基本定理知，=x2,h=y必· 答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)/ 答案(1)C(2)3√2 关键能力·素养提升 [例题3)解析由m=1,n=1,其夹角为60，得m·n=2, [例题1解析设存在实数λ使得c=d,则2a一b=λ(3a-2b), 即(2-3a)a十(2-1)b=0,由于a,b不共线，所以2-3λ= 则|a|=|2m十n|=√(2m+n)2=√4m+4m·n+m 2入一1=0，所以入是不存在的，从而c,d不共线，即c,d能作 √7，lb=√(2n-3m=√/4m-12m·n+9m=7,所以a· 为基底： [变式1门D解析A项中，两个向量为相反向量，即e一e2= b=(2m十n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2m2= 子设a与 一（一9），则6一，一g为共线向量，不能作为基底：B项 b的夫角为9，别m启治=月及 中，2A-=2(e-之)，也为共线向量，不能作为蒸底： 2 =一，所以0= 1 C项中，6e1一4e2=一2(2e2一3e1),为共线向量，不能作为 基底：根据不共线的向量可以作为基底知只有D项符合，故 120°，所以a,b的夹角为120° 选D项 [变式3]A解析设a与b的夹角为0，由题意得(3a一2b)2= [例题2]解扬aM心-Mi+AC-Mi+名A店-Mi+号M应 7,所以9|a2+4|b2-12a·b=7,又|a=|b=1,所以 ab=号，即0=号，即cos0=是又0e[o,J, Mi=君Mi+名M城=名a+名b (2)选取A成，A市为基底，则A方=AD+D亦=A店+AD, 所以0-牙.所以a,b的夹角为哥.故选A项。 [例题4幻解析若(a十b)⊥(a一b),则(a十b)·(a一b)=0,整理 又A亦=AAC+rD成-A(A+Aò+（号A店-AD) 得a2=i,即a=bl.所以当向量a与b的模相等时，a十 (a+号)AB+a-0AD,所以A-=1. b与a一b互相垂直. [变式4]解析因为（如-b)⊥(a+2b),所以(a一b)·(a+2b)= 管系1)日a+号b(21 0,即a2+(2k-1)a·b-2b=0,即k×52+(2k-1)×5X [变式2]解损1)依题意得0=Aò-A店=A市-A店 4仪os60-2X华=0，所以表-普所以当表-普 时，向量 号×成+AG-A店=-君A+君A花故选D项： 知-b与a十2b垂直. (2)若A,B,D三点共线，则AB∥AD,所以AB=AAD,又 随堂检测·学以致用 AB=g1+me2,AD=e1十e2,所以g十e2-a(e1十e). 1.C解析由题意知a·b=al1b1cos0=4cos0=2,即cos0= 又e,为平面向量的一个基底，所以1所以mm 是又0<，所以0=子故选C项 1入=m, 1.故选D项 2.D解析因为(a一b)⊥a,所以(a-b)·a=a2一b·a= 答案(1)D(2)D 32-m×2×3×cos60°=9-3m=0,解得m=3.故选D项. [例题3]解析()设BM=e,C亦=e,则AM=AC+C成 3.解折由题意得A=BC=4,CA=42,所以A店.BC -3e-e,BN-BC+C=2e+e.因为A,P,M和B,P, 4X4Xcos90°=0，BC.CA=4X4V2Xcos135°=-16. N分别共线，所以存在实数u使得A=入AM=一旧 答案0 -16 3e:BP=uBN=2e+e.BA=BP+PA-BP-AP- a+20g+(3+)e,而B函=元+C=2%+3e,由平面向 4服团因为心s0=日治-青0为a与b的夫角》，所以所求 投影向量为0e=号e,投影的数量为acos=号 量基未定显仔做解得 所以号 = -5 图导。号 -号所以最-4职-是 ·266·