6.3.1 平面向量基本定理-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

数学 必修 第二册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.已知向量a,b满足a=1,b -4,且a·b- 3.在等腰直角三角形ABC中,AB-BC一4,则 AB.BC- ) 2,则a与b的夹角e为 .BC.CA= A. B. C. D. 2.已知平面向量a:b满足a -3,b-2,a与b 4$.已知q =3,b-5,a·b-12,b方向上的单$ 的夹角为60{},若(a一nb) Ia,则实数m的 位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量 值为 为 ) ,投影的数量为 C.2 A.0 B.1 D.3 I提示 完成Ps课时作业(五) 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 [学习目标]1.理解平面向量基本定理及其意义(重).2.在平面内,当基底选定后,会用基底来表示其他 向量(重虑).3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题(难虑).4.发展数学抽象和逻辑推 理的核心素养. 必备知识基础落实 答案见Pt 要点 平面向量基本定理 辨析 1.定义 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” 如果e,e。是同一平面内的两个 ,那 ( (1)平面向量的基底是唯一的. ) 么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一 对实数,,使 (2)平面内的任意两个向量都可以作为一个 2.基底 基底 ) 若e,e:不共线,把e,e叫做表示这一平面 (3)零向量不可以作为基底中的向量。 _ 内所有向量的一个基底 >思考:如果e,e:是两个不共线的确定向量,那 (4)如果e,e:是共线向量,那么向量a一定不 么与e,e。在同一平面内的任一向量a能用 能用e,e:表示. _ e,e:表示的依据是什么? (5)如果向量a,b与空间中的任一向量都不能 构成空间中的一个基底,那么向量a,b一定是 共线向量. ) (6)已知a,b是一组不共线的向量,若xa十 yb-xa+yb,则x.=x,y-y. ( __ .16. 第六章 平面向量及其应用 关键能力 素养提升 答案见Pmo 探究一 基底的判断 探究二 运用基底表示向量 规律总结 规律总结 基底具备两个主要特征:①基底是两个不共 平面向量基本定理的作用以及注意点 线向量;②基底的选择是不唯一的,平面内 (1)根据平面向量基本定理,平面内的任一 两向量不共线是这两个向量可以作为这个 向量可用同一个基底表示,进而建立起向量 乎面内所有向量的一个基底的充要条件,由 之间的联系. 于零向量与任意向量共线,因此乎面向量的 (2)基底的选择,一般遵循“模已知、夹角已 基底中一定不含零向量. 知”的原则. (3)利用已知向量表示未知向量时,通常借 【例题1】设a,b不共线,c-2a-b,d-3a-2b,试 助向量加法、减法、数乘运算的几何意义,将 判断c,d能否作为基底 向量集中在封闭的图形中,利用三角形法则 或平行四边形法则快速找到表示法, 【例题2】(1)如图,在△MAB中,C是边AB上的 一点,且AC=5CB,设MA=a.MB=b,则 MC- (用a,b表示). (2)如图,四边形ABCD为平行四边形,AE- AB.DF-FC,若AF-AC+DE,则 a一的值为 【变式1】若e,e是平面内的一个基底,则下列 四组向量能作为表示平面向量的基底的是 ( __ A.e一e.e一e B. 2e-e.e- 。 C. 2e.-3e,6e-4e D.e十e,e-e .17. 数学 必修 第二册 课堂学案 【变式2】(1)设点D为△ABC中BC边上的中 (2)证明,平行四边形的对角线互相平分 点,O为AD边上靠近点A的三等分点,则 ( $A.B--AB+AC# $BBO-AB-1AC C.-AA0 $D.B-AB+AC# (2)已知向量e,为平面向量的一个基底 且AB=e+me。,AD-ne+e,若A,B,D三 点共线,则实数n,n应该满足的条件为 【变式3】(1)如图,平行四 -_ 边形ABCD的两条对 A.m+n-1 B.m+n--1 角线相交于点O. 7AE-5AB,AD-4AF,EF交AC于点K, C.mn--1 D.m-1 AK-&OA,则实数入的值为 1. _~ 探究三 平面向量基本定理在平面几何中的 -0 B.-## 应用 C10 .# 解题技巧 (2)如图,在平行四边形 ABCD中,F是CD的中 用向量解决几何问题时,可以选择适当的基 点,AF与BD交于点E,求证:E为线段BD 底,将问题中涉及的向量用基底表示,把几 的一个三等分点 何问题转化为向量问题,通过向量运算,再 将向量问题转化为几何问题,即几何→向 量→几何,其中平面向量基本定理是基础. 【例题3】(1)如图,在△ABC中,点M是BC的 中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与 .18· 第六章 平面向量及其应用 随堂检测学以致用 答案见Pt 1.(参选)如图,设O是ABCD两对角线的交 D.AD-AB-AC 点,下列向量组中,可作为表示该平面其他向 2 ( 量基底的是 3.向量a在基底e,e下可以表示为a一2e 3e,若a在基底ete,e一e下可表示为 a-(e十e)十(e-e),则a- 一 A.AD与AB B.DA与BC 4.如图,在直角梯形ABCD中,DC-1AB. C.CA与DC D.OD与OB BE-2FC且AE-rAB+sAD,则2r+3s= 2.设D为△ABC所在平面内一点,BC-3CD 则 ( ) AAD--AB+4AC# B.AD-1A-AC C.-A△+70 l示完成P课时作业(六) 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 [学习目标]1.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示,2.会用坐标表示平面向量的 加、减运算与数乘运算(重).3.发展数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养 必备知识基础落实 答案见Pi 要点一 平面向量的正交分解及坐标表示 3.向量的坐标表示 在向量a=(x,y)的直角坐标平面中,__叫 1.正交分解的定义 做a在x轴上的坐标, 叫做a在y轴上的 把一个向量分解为两个 的向量,叫做 坐标, 叫做向量a的坐标表示 把向量作正交分解 4.在向量的直角坐标平面中,i- ,一 2.向量的直角坐标 0-(0,0). 在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相 >思考:(1)正交分解与平面向量基本定理有何 同的两个 分别为i,1,取{i.)作为 联系? 基底,对于平面内的任意一个向量a,由平面向 (2)点的坐标与向量坐标有什么区别和联系? 量基本定理可知,有且只有一对实数x,v,使 得a一_.这样,平面内的任一向量a都可 由x,y唯一确定,我们把有序数对 叫做 向量a的坐标,记作a一(x,y). .19.[例题2]解析由已知得a·b=|al blcos0=4×2×cos120°= -4,a2=a2=16,b=b12=4. 6.3平面向量基本定理及坐标表示 (1)因为|a+b2=(a+b)2=a2+2a·b+=16+2× 6.3.1平面向量基本定理 (-4)+4=12,所以a+b=23. (2)因为|3a-4b2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16=9× 必备知识·基础落实 16-24×(-4)+16×4=304,所以3a-4b1=4√19. 要点 1.不共线向量a=入1e1十ze (3)因为(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b=16-(-4) [思考]提示依据是向量的数乘运算和平行四边形法则. 2X4-12,所以1(a+b)·(a-2b)川-12. [辨析]解标(1)错误，平面向量的基底不唯一，只要两个向量 [变式2]解析(1)因为a,b为单位向量，a在b方向上的投影向 不共线，都可以作为平面向量的一个基底。 (2)错误，不共线的两个向量才能作为基底 量为-受b,所以6·合=(a…b)·b=-b,则a… (3)正确，零向量与任意向量共线. (4)错误，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示. b=-2,所以a-b1=√a-b=√a-2a·b+B- (5)正确，向量α，b与空间中的任何向量都不能构成空间中 的一个基底，说明向量a,b与空间中的任一向量都是共面 /1+1+I=√5.故选C项. 向量，从而a,b一定是共线向量. (2)由a-b=5得(a-b)2=25,即2-2a·b+=25,因为 (6)正确，{a,b}是平面内的一个基底，由x1a+yb=a+ a=3,a·b-1,所以32-2X1+b12=25,所以b1=32. 2b和平面向量基本定理知，=x2,h=y必· 答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)/ 答案(1)C(2)3√2 关键能力·素养提升 [例题3)解析由m=1,n=1,其夹角为60，得m·n=2, [例题1解析设存在实数λ使得c=d,则2a一b=λ(3a-2b), 即(2-3a)a十(2-1)b=0,由于a,b不共线，所以2-3λ= 则|a|=|2m十n|=√(2m+n)2=√4m+4m·n+m 2入一1=0，所以入是不存在的，从而c,d不共线，即c,d能作 √7，lb=√(2n-3m=√/4m-12m·n+9m=7,所以a· 为基底： [变式1门D解析A项中，两个向量为相反向量，即e一e2= b=(2m十n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2m2= 子设a与 一（一9），则6一，一g为共线向量，不能作为基底：B项 b的夫角为9，别m启治=月及 中，2A-=2(e-之)，也为共线向量，不能作为蒸底： 2 =一，所以0= 1 C项中，6e1一4e2=一2(2e2一3e1),为共线向量，不能作为 基底：根据不共线的向量可以作为基底知只有D项符合，故 120°，所以a,b的夹角为120° 选D项 [变式3]A解析设a与b的夹角为0，由题意得(3a一2b)2= [例题2]解扬aM心-Mi+AC-Mi+名A店-Mi+号M应 7,所以9|a2+4|b2-12a·b=7,又|a=|b=1,所以 ab=号，即0=号，即cos0=是又0e[o,J, Mi=君Mi+名M城=名a+名b (2)选取A成，A市为基底，则A方=AD+D亦=A店+AD, 所以0-牙.所以a,b的夹角为哥.故选A项。 [例题4幻解析若(a十b)⊥(a一b),则(a十b)·(a一b)=0,整理 又A亦=AAC+rD成-A(A+Aò+（号A店-AD) 得a2=i,即a=bl.所以当向量a与b的模相等时，a十 (a+号)AB+a-0AD,所以A-=1. b与a一b互相垂直. [变式4]解析因为（如-b)⊥(a+2b),所以(a一b)·(a+2b)= 管系1)日a+号b(21 0,即a2+(2k-1)a·b-2b=0,即k×52+(2k-1)×5X [变式2]解损1)依题意得0=Aò-A店=A市-A店 4仪os60-2X华=0，所以表-普所以当表-普 时，向量 号×成+AG-A店=-君A+君A花故选D项： 知-b与a十2b垂直. (2)若A,B,D三点共线，则AB∥AD,所以AB=AAD,又 随堂检测·学以致用 AB=g1+me2,AD=e1十e2,所以g十e2-a(e1十e). 1.C解析由题意知a·b=al1b1cos0=4cos0=2,即cos0= 又e,为平面向量的一个基底，所以1所以mm 是又0<，所以0=子故选C项 1入=m, 1.故选D项 2.D解析因为(a一b)⊥a,所以(a-b)·a=a2一b·a= 答案(1)D(2)D 32-m×2×3×cos60°=9-3m=0,解得m=3.故选D项. [例题3]解析()设BM=e,C亦=e,则AM=AC+C成 3.解折由题意得A=BC=4,CA=42,所以A店.BC -3e-e,BN-BC+C=2e+e.因为A,P,M和B,P, 4X4Xcos90°=0，BC.CA=4X4V2Xcos135°=-16. N分别共线，所以存在实数u使得A=入AM=一旧 答案0 -16 3e:BP=uBN=2e+e.BA=BP+PA-BP-AP- a+20g+(3+)e,而B函=元+C=2%+3e,由平面向 4服团因为心s0=日治-青0为a与b的夫角》，所以所求 投影向量为0e=号e,投影的数量为acos=号 量基未定显仔做解得 所以号 = -5 图导。号 -号所以最-4职-是 ·266· (2)证明：如图，在平行四边形ABCD中，取AC的中点O, 2.单位向量i十以(x,y) 连接B0,D0设亦=a,A心-b,则AC=a+b,A心-号AC- 3.x y a=(x,y) 4.(1,0)(0,1) 2a+号&所以i0-i-应=2a+号0a=26-a) [思考]提示(1)正交分解是平面向量基本定理的特殊形式（基 底垂直时). 航，所以0为BD的中点，所以平行四边形的对角线互 (2)区别：①表示形式不同，a=(x,y),点A(x,y):②意义不 相平分. 同，点A(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，而向 量a=(x,y)表示向量的大小、方向.联系：当平面向量的起 点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同. 要点二 和（十x,1十2）差（一x2,y一） [变式3]解折(1)因为A成=AOA=一AAò=一之(A店+ (入，y)终点起点(x2一，当一1) 要点三 ,所以A成=-多（号A应+4）.又E,F,K三点共 a∥b边相应的坐标 x22 线，所以-合（号十4）=1，解得=一品故选A项 [思考]提示设与a共线的单位向量为ao,则a=士aa 答案A (2)证明：设A店=a,AD=b,则B而=A市-A成=b-a,所以 (后六)=±(+可'+行)其中正号，负号 A亦=AD+D亦=AD+2A店=b叶2a由题图知，点A,E, 分别表示与a同向和反向. [辨析]解析(1)正确，由平面向量的坐标表示的定义可得。 F共线，点B,D,E共线，所以存在实数A,使A正-入A, (2)错误，两向量差的坐标与两向量的顺序有关， 成-uBi,于是A花-之a十b,庞-b-a.由于A店+庞 (3)正确，平面向量在平面内可自由平移。 A应，则(1一)a十山=合a十边.因为a与b不共线，所以 (4)错误，当x业≠0时，西1为一x为=0可以写成丑=兰 当2为=0时，为一=0不可以写成=边. “工23y2 答案(1)√(2)×(3)/(4)× 2 所以庞=号BD,即E为线段 =λ， 关键能力·素养提升 BD(靠近点D)的一个三等分点。 [例题1]解析将各向量分别向基底i,了所在的直线分解，则 随堂检测·学以致用 a=-4i+0·j,b=0·i+6j,c=-2i-5j,所以a=(-4, 0),b=(0,6),c=(-2,-5). 1.AC解析DA与BC,OD与OB是共线向量，不能作为基 答率(-4,0)(0,6)(-2，-5) 底；AD与AB,CA与DC不是共线向量，可以作为基底.故选 [变式1]解析(1)设，点A(x,y),则x=4√3cos60°-25，y= AC项 4V5sin60°=6，即A(2√3,6)，所以OA=(23,6) 2.A解折易知AD=AC+CD-AC+子BC-AC+(AC (2)BA=OA-OB=(23,6)-(W3,-1)=(W3,7) A=-号AB+号AC故选A项。 [例题2]解标(1)2a+b=2(-1,2)+(3,一5)=(1，-1)，a 2b=(-1,2)-2(3,-5)=(-7,12). 3.解析由题意可知a=(e十ea)十u(e-e2)=(十)e十 (2)因为A(4,6,B7,5),C1,8,所以A店=(7-4,5-6)=(3 λ= 5」 a-公6=20+36，所以以=名解得 21 -1),AC=(1-4,8-6)=(-3,2),所以AB+AC=(3, 一4=3， -1)+(-3,2)=(0,1),AB-AC=(3,-1)-(-3,2)=(6, -30,2+号C=23,-10+2(-3,2)=(6,-2)+ 4.解折根据题意，A正-A花+配-A花+号元，而BC-BA+ ()=(号-) [变式2]解析(1)因为a=(3,2),b=(-1,3),c=(5,2),所以 AD+D心--A店+AD,所以A花-A店+号BC-A店+ 6a+b-2c=6(3,2)+(-1,3)-2(5,2)=(18,12)+(-1, 3)-(10,4)=(7,11). 号(-A+应)-是A店+号应图为A花=rA店+ (2)因为A(7,8),B(3,5),C(4,3),所以AB=(3-7,5-8) sA，所以-是=号，故2+3=2X+3×号=3 (-4,-3),AC-(4-7,3-8)=(-3,-5).又D是BC的 答案3 中点，所以A市=2(B+A0=(-子-).周为M,N 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 分别为AB,AC的中点，所以F为AD的中点.所以DF -0=(子2). 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 [例题3]解析方法一因为M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1, 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 y),所以MN=(-1,1),PQ=(-1,y-1).图为MN∥P0 必备知识·基础落实 所以(-1)×(y-1)-1×(-1)=0,解得y=2. 要点一 方法二因为M应∥P戒，故有且仅有一个实数X,使PQ= 1.互相垂直 AMN.因为M1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1,y),所以MN ·267·