6.3.2 6.3.3 6.3.4 平面向量的坐标表示-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

(2)证明：如图，在平行四边形ABCD中，取AC的中点O, 2.单位向量i十以(x,y) 连接B0,D0设亦=a,A心-b,则AC=a+b,A心-号AC- 3.x y a=(x,y) 4.(1,0)(0,1) 2a+号&所以i0-i-应=2a+号0a=26-a) [思考]提示(1)正交分解是平面向量基本定理的特殊形式（基 底垂直时). 航，所以0为BD的中点，所以平行四边形的对角线互 (2)区别：①表示形式不同，a=(x,y),点A(x,y):②意义不 相平分. 同，点A(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，而向 量a=(x,y)表示向量的大小、方向.联系：当平面向量的起 点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同. 要点二 和（十x,1十2）差（一x2,y一） [变式3]解折(1)因为A成=AOA=一AAò=一之(A店+ (入，y)终点起点(x2一，当一1) 要点三 ,所以A成=-多（号A应+4）.又E,F,K三点共 a∥b边相应的坐标 x22 线，所以-合（号十4）=1，解得=一品故选A项 [思考]提示设与a共线的单位向量为ao,则a=士aa 答案A (2)证明：设A店=a,AD=b,则B而=A市-A成=b-a,所以 (后六)=±(+可'+行)其中正号，负号 A亦=AD+D亦=AD+2A店=b叶2a由题图知，点A,E, 分别表示与a同向和反向. [辨析]解析(1)正确，由平面向量的坐标表示的定义可得。 F共线，点B,D,E共线，所以存在实数A,使A正-入A, (2)错误，两向量差的坐标与两向量的顺序有关， 成-uBi,于是A花-之a十b,庞-b-a.由于A店+庞 (3)正确，平面向量在平面内可自由平移。 A应，则(1一)a十山=合a十边.因为a与b不共线，所以 (4)错误，当x业≠0时，西1为一x为=0可以写成丑=兰 当2为=0时，为一=0不可以写成=边. “工23y2 答案(1)√(2)×(3)/(4)× 2 所以庞=号BD,即E为线段 =λ， 关键能力·素养提升 BD(靠近点D)的一个三等分点。 [例题1]解析将各向量分别向基底i,了所在的直线分解，则 随堂检测·学以致用 a=-4i+0·j,b=0·i+6j,c=-2i-5j,所以a=(-4, 0),b=(0,6),c=(-2,-5). 1.AC解析DA与BC,OD与OB是共线向量，不能作为基 答率(-4,0)(0,6)(-2，-5) 底；AD与AB,CA与DC不是共线向量，可以作为基底.故选 [变式1]解析(1)设，点A(x,y),则x=4√3cos60°-25，y= AC项 4V5sin60°=6，即A(2√3,6)，所以OA=(23,6) 2.A解折易知AD=AC+CD-AC+子BC-AC+(AC (2)BA=OA-OB=(23,6)-(W3,-1)=(W3,7) A=-号AB+号AC故选A项。 [例题2]解标(1)2a+b=2(-1,2)+(3,一5)=(1，-1)，a 2b=(-1,2)-2(3,-5)=(-7,12). 3.解析由题意可知a=(e十ea)十u(e-e2)=(十)e十 (2)因为A(4,6,B7,5),C1,8,所以A店=(7-4,5-6)=(3 λ= 5」 a-公6=20+36，所以以=名解得 21 -1),AC=(1-4,8-6)=(-3,2),所以AB+AC=(3, 一4=3， -1)+(-3,2)=(0,1),AB-AC=(3,-1)-(-3,2)=(6, -30,2+号C=23,-10+2(-3,2)=(6,-2)+ 4.解折根据题意，A正-A花+配-A花+号元，而BC-BA+ ()=(号-) [变式2]解析(1)因为a=(3,2),b=(-1,3),c=(5,2),所以 AD+D心--A店+AD,所以A花-A店+号BC-A店+ 6a+b-2c=6(3,2)+(-1,3)-2(5,2)=(18,12)+(-1, 3)-(10,4)=(7,11). 号(-A+应)-是A店+号应图为A花=rA店+ (2)因为A(7,8),B(3,5),C(4,3),所以AB=(3-7,5-8) sA，所以-是=号，故2+3=2X+3×号=3 (-4,-3),AC-(4-7,3-8)=(-3,-5).又D是BC的 答案3 中点，所以A市=2(B+A0=(-子-).周为M,N 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 分别为AB,AC的中点，所以F为AD的中点.所以DF -0=(子2). 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 [例题3]解析方法一因为M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1, 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 y),所以MN=(-1,1),PQ=(-1,y-1).图为MN∥P0 必备知识·基础落实 所以(-1)×(y-1)-1×(-1)=0,解得y=2. 要点一 方法二因为M应∥P戒，故有且仅有一个实数X,使PQ= 1.互相垂直 AMN.因为M1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1,y),所以MN ·267· (-1,1),PQ-(-1,y-1),所以(-1，y-1)=1(-1,1)= (4)正确，分式的分母不能为零。 （一A》.所以{一1一解得y=2 答案(1)×(2)√(3)×(4)√ 1y-1=x, 关健能力·素养提升 [变式3]解析(1)如+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), [例题1]解析(1)由题意可得a·b=(2,4)·(1,2)=2×1+ a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).若加+b与a-3b 4×2=10. 平行，则-4k一3)-10(2十2)=0，解得及=一子.此时 (2)由(1)知a·b=10,所以(a·b)·c=10(2,-1)=(20, -10),而b·c=(1,2)·(2,-1)=1×2+2X(-1)=0,所 血+b-号a+b=-子a-3b,故a+b与a-3b反向. 以a·(b·c)=a·0=0=(0,0). 所以当k=一子时，如十b与a一3动平行且方向湘反 [变式1]解析(1)设AC,BD相交于点O,则AD=AO+Oi (2)设OP-tOB=t(4,4)=(4,4t), 2Ac+2筋=（合，1）+(-号，1)=(-1,2.又A心 则AP=OP-OA=(4,4)-(4,0)=(4t-4,4), (1,2),所以AD.AC=(-1,2)·(1,2)=-1+4=3. AC=0C-OA=(2,6)-(4,0)=(-2,6). (2)以点D为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1).设E(1,a)(0≤a≤1)， 由AP,AC共线的条件知(4t一4)×6一4X(-2)=0,解得 所以DE.CB=(1,a)·(1,0)=1,D2.DC=(1,a)·(0, t=是，所以0亦=(，4)=3,3. 1)=a≤1，所以DE·DC的最大值为1. 所以点P的坐标为(3,3). [例题4证明因为AB=Oi-OA=(4,8),AC-0心-Oi= (6,12,所以A心-是A店，即店与A亡共线又因为店与 AC有公共点A,所以A,B,C三点共线. D [变式4]解析若A,B,C三点共线，则AB,AC共线因为AB 答案(1)3(2)11 OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(10-k,k-12), [例题2]解析由题意可知2a一b=(2cos0-√3,2sin8),所以 所以(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,解得k=一2或k=11 |2a-b12=(2cos0-√3)2+(2sin)2=4cos20-4√3cos0+ 所以当k的值为一2或11时，A,B,C三点共线. 随堂检测·学以致用 3+4sin0=7-4√3cos0,所以|2a-b=√7-4√3cos0≤ 1.C解折由题意知AB=(-1,1)-(1,1)=(-2,0).故选 √7+45=2+√3，当且仅当c0s0=一1时，等号成立，所 C项. 以|2a-b的最大值为2十√3. 2.B解析a+b=(2,3)+(-3,1)=(-1,4).故选B项. [变式2]解析(1)由题意可得a2-|b2=(a十b)·(a-b)= 3.解析依题意得a十b-(3,x十1)，4h-2a=(6,4x-2),因为a+b 2×(-2)十3×1=-1.故选B项. 与4b-2a平行，所以3(4x-2)-6(x+1)=0,解得x=2.所 (2)a十b=(x-1,y+2)=(1,3),所以x=2,y=1,所以a= 以实数x的值是2. (2,1),所以a一2b-=(4,-3),所以a-2b=√4+(-3)2=5. 答案2 答案(1)B(2)5 4.解析由题意得四边形ABCD是平行四边形，在口ABCD中， [例题3]解析(1)因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a十b= AD=BC,所以OD-OA=OC-OB,所以OD=OA+OC (1+A,1-),a+b=(1十，1-a),由(a+b)⊥(a+b) OB=(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,一2)，即点D的坐标为 可得(a+b)·(a十b)=0,即(1十)(1+)+(1-a)· (0,-2). (1一)=0，整理得4=一1故选D项. 答案(0，一2) (2)因为a=(3,1),b=(2,2),所以a+b=(5,3),a-b= 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 (1,-1),则|a十b1=√5+32=√34，|a-b1=√1+1= √2，(a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2,所以cos(a+b, 必备知识·基础落实 a-b)=a+b:(a-b)=2 要点一 a十6a-b34×217,故选B项. x2十”它们对应坐标的乘积的和 答案(1)D(2)B [思考]提示公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题 [变式3]解粉(1)由题意得a·b=4×(-1)十3×2=2.因为 时要注意坐标的顺序，数量积坐标运算的作用是将数量积 1a=√/32+4=5，|b|=√(-1)2+2严=√5，所以c0s0= 运算转化为代数运算。 a·b=2=25 要点二 1a1b5525 工1x2十y32=0 要点三 (2)a一b=(4+A,3-2),2a+b=(7,8).因为(a一b)⊥(2a+ b),所以(a-b)·(2a+b)=0,即7×(4+2)+8X(3-2)=0, 12+y 2.√(x2-x1)2+(h-3y)2 解得X=号所以1的值为号 品清 随堂检测·学以致用 1.C解析因为a=(1,一1)，b=(-1,2),所以(2a+b)·a= [辨析]解析(1)错误，向量的模等于向量坐标的平方和的算术 (1,0)·(1,-1)=1.故选C项. 平方根. (2)正确，1F1+F2=1(2,2)+(-2,3)1=|(0,5)1=5. 2服翻俊题意得m=治-3必驶-器 651 (3)错误，当x2一xh=0时，a∥b,则向量a与b的夹角 为0°或180. 图等 ·268·第六章平面向量及其应用 随堂检测学以致用 答案见P L.(选)如图，设O是□ABCD两对角线的交 D.AD-号AB-}AC 点，下列向量组中，可作为表示该平面其他向 量基底的是 3.向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a=2e十 3e2,若a在基底{e1十e,e一e2}下可表示为 a=λ(e十e2)十a(e一e),则入= A.AD与AB B.DA与BC 4.如图，在直角梯形ABCD中，D心=A店， C.CA与Dd D.OD与Oi 2.设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD, BE=2EC且AE=rAB十sAD,则2r+3s= 则 A.AD=-}AB+号AC BAi=号A店-号AC C.Ai=专A+号AC 提示完成P课时作业（六） 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 [学习目标]1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的 加，减运算与数乘运算（重点）.3.发展数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养， 必备知识基础落实 答案见P 要点一平面向量的正交分解及坐标表示 3.向量的坐标表示 1.正交分解的定义 在向量a=(x,y)的直角坐标平面中，叫 做a在x轴上的坐标， 叫做a在y轴上的 把一个向量分解为两个 的向量，叫做 坐标， 叫做向量a的坐标表示. 把向量作正交分解。 4.在向量的直角坐标平面中，i一j= 2.向量的直角坐标 0=(0,0). 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相 >思考：(1)正交分解与平面向量基本定理有何 同的两个 分别为i,j,取{i,j}作为 联系？ 基底，对于平面内的任意一个向量a,由平面向 (2)点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？ 量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使 得a= .这样，平面内的任一向量a都可 由x,y唯一确定，我们把有序数对叫做 向量a的坐标，记作a=(x,y). ·19· 数学必修第二册课堂学案 要点二平面向量的坐标运算 >思考：已知向量a=(x,y),与a共线的单位向 设向量a=(1y1),b=(x2),1∈R. 量的坐标是什么？ 运算 文字描述 符号表示 两个向量和的坐标分别 加法 等于这两个向量相应坐 a+b= 标的 两个向量差的坐标分别 减法 等于这两个向量相应坐 a-b= 标的 实数与向量的积的坐标 数乘 等于用这个实数乘原来 a 向量的相应坐标 一个向量的坐标等于表 已知A(x1,y) 重要 示此向量的有向线段的 结论 的坐标减去 B(为)，则AB= 的坐标 辨析 判惭正误，正确的画“√”，错误的画“×” 要点三 两向量共线的坐标表示 (1)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标 设a=(c1,),b=(x2,必)，其中b≠0，向量 就是向量终点的坐标。 () a,b共线的充要条件是x1y一x2y1=0. (2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关 (1)由于规定零向量与任一向量平行，所以a∥ ( =.x1一xy=0对任意向量都成立， (3)若把向量OA平移到BC,则OA和BC的 (2)特别地，当x22≠0时，我们有 坐标相同. () ,其文字表述是“两个向 (4)两个向量a=(,y),b=(x2,2)平行的 量平行的条件是 成比例” 条件x边一xy=0可以写成=兰.（) 关键能力素养提升 答案见Pw 探究一 平面向量的坐标表示 【例题1】如图，向量a,b,c的坐标分别是 解题技巧 向量的坐标的求法 (1)平移法：把向量的起点移至坐标原点，终 点坐标即为向量的坐标 (2)求差法：先求出这个向量的始，点、终点坐 标，再运用终点坐标减去始，点坐标即得该向 量的坐标. ·20· 第六章平面向量及其应用 【变式1】已知O是坐标原点，点A在第一象限， 【例题2】(1)已知向量a,b的坐标分别是（一1， OA1=43,∠zOA=60° 2),(3,-5),求2a十b,a一2b的坐标. (1)求向量OA的坐标： (2)已知平面上三个点A(4,6),B(7,5),C(1, (2)若B(3,一1)，求BA的坐标. 8).AB.AC.AB+AC.AB-AC.2AB+ 号d 【变式2】(1)已知向量a=(3,2),b=(-1,3),c (5,2),求6a+b-2c. (2)在△ABC中，A(7,8),B(3,5),C(4,3), 点M,N分别是AB,AC的中点，点D是BC 的中点，MN与AD交于点F,求DF的坐标. 探究二 平面向量的坐标运算 规律总结 平面向量的坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向 量和、差及向量数乘的运算法则进行 (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先 求出向量的坐标，然后再根据向量线性运算 的法则进行向量的坐标运算， (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运 算进行. ·21· 数学必修第二册课堂学案 探究三 向量共线的坐标运算 【变式3】(1)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为 何值时，ka十b与a一3b平行，平行时它们的 规律总结 方向相同还是相反？ (2)如图，已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求 (1)向量共线的判定方法：①利用向量共线 定理，由a=b(b≠0)推出a∥b:②利用向量 AC和OB的交点P的坐标. 共线的坐标表达式x2一x2y=0直接 求解。 (2)已知a=(x1y),b=(xgn). ①b≠0，a=b.这是几何运算，体现了向量a 与b的长度及方向之间的关系。 ②.x132一y1=0.这是坐标运算，用它解决 向量共线问题的优点在于不需要引入参数 “入”，从而减少未知数个数，而且使问題的解 决具有代数化的特点、程序化的特征。 ③当x”≠0时，=出，即两向量的相应 x22 坐标成比例.道过这种形式较易记忆向量共 线的坐标表示，而且不易出现搭配错误， 【例题3】已知M1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1,y), 且MN∥PQ,求y的值. 探究四 三点共线问题 规律总结 设A(n,y),B(x2,2),C(x,y3),证明三 点A,B,C共线的常用方法 (1)几何法：k=k (2)向量法：AB=AB (3)坐标法：AB=(x-x一y),BC (x一，为一2)，再利用AB∥BC的充要 条件证明 ·22· 第六章平面向量及其应用 【例题4】已知OA=(3,4),OB=(7,12),OC 【变式4】设向量OA=(k,12),OB=(4,5),0C (9,16),求证：A,B,C三点共线 (10,k),当k为何值时，A,B,C三点共线？ 44444444+4444+444444+4444444444444444444+ 4444444444444444444444444444+年1444 随堂检测学以致用 答案见Pm 1.若点A(1,1),B(-1,1),则向量AB=( 3.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a十b与4b- A.(0,2) B.(2,0) 2a平行，则实数x的值是 C.(-2,0) D.(0,-2) 4.在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的 2.若a=(2,3),b=(-3,1),则a十b= 边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(-2,0), A.(1.-4) B.(-1,4) B(6,8),C(8,6),则点D的坐标为 C.(-1,-4) D.(4.-1) 提示完成P课时作业（七） 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 [学习目标]1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角（重点）.2.能用坐标表示平 面向量共线、垂直的条件（重点）.3.发展逻辑推理和数学运算的核心素养， 必备知识基础落实 答案见P 要点一平面向量数量积的坐标表示 点？用时应注意什么？数量积坐标运算的作 若a=(y),b=(,边)，则a·b= 用是什么？ 即两个向量的数量积等于 >思考：向量数量积的坐标表示公式有什么特 ·23·