6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

(-1,1),P-(-1,y-1),所以(-1,y-1)=(-1,- (4)正确,分式的分母不能为零 -1- 解得y-2. 答案(1)×(2)(3)×(4) (一入,).所以{ y-1-, 关键能力·素养提升 [变式3](1)ha+b-k(1,2)+(-3,2)=(-3,2+2). [例题1](1)由题意可得a·b-(2,4)·(1,2)=2×1+ a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).若b+b与a-3b 4×2-10. 1.此时 平行,则-4(-3)-10(2十2)-0,解得 -- ($2)由(1)知a·b-10,所以(a·b)·c-10(2,-1)-(20 #a+b--a+b--1(a-3b),故+b与a-3b反向. -10),而b·c-(1,2)·(2,-1)-1×2+2x(-1)=0,所 以a·(b·c)-a·0-0-(0,0). 所以当h--时,加十b与a-3b平行且方向相反. [变式1]题(1)设AC,BD相交于点O,则AD-AO+OD (2)设Op-toB-t(4.4)-(41,40), $A+BD-(,1)+(-3,1)=(-1,2).Ac 则AP-OP-0A-(41,4t)-(4.0)-(4t-4,4t), (1,2),所以AD·AC-(-1,2)·(1,2)=-1+4=3. A=-0-(2,6)-(4,0)=(-2,6). (2)以点D为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示, 则D(0,0),A(1,0),B(1,1).C(0,1).设E(1,a)(0 a 1) 由AP,AC共线的条件知(4t-4)×6-4tX(-2)-0,解得 所以DE·CB-(1,a).(1.0)=1,DE·DC-(1.a)·(0. -3,所以OP-(4t,4t)-(3,3). 1)-a<1,所以DE·DC的最大值为1. 所以点P的坐标为(3,3) [例题4]面明因为AB-OB-OA-(4.8),AC-0C-O (6,12),所以AC-3AB,即AB与AC共线.又因为AB与 AC有公共点A,所以A,B.C三点共线. [变式4]若A,B.C三点共线,则AB,AC共线.因为AB- 智(1)3(2)11 $ B-A-(4-k.-7),A--0A-(10-b,b-12). [例题2]解析由题意可知2a-b-(2cos0-3,2sin0),所以 所以(4- )(-12)+7(l0-)-0,解得 =-2或 - $. 所以当b的值为一2或11时,A,B,C三点共线. 2a-b-(2cosθ-③)+(2sin)-4cos^{-43cos + 随堂检测·学以致用 3+4sinθ-7-43cosθ,所以 2a-b -7-43cos 1.C 由题意知AB-(-1,1)-(1,1)=(-2,0).故选 7+4③-2十3,当且仅当cos8--1时,等号成立,所 C项. 以2a-b的最大值为2+/3 2.B a+b-(2,3)+(-3,1)=(-1,4).故选B项. [变式2]解(1)由题意可得lal}一b-(a十b)·(a-b)= 3.解依题意得a+b-(3,x+1),4b-2a-(6,4x-2),因为a+b 2X(-2)+3X1--1.故选B项. 与4b-2a平行,所以3(4x-2)-6(x+1)-0,解得x-2.所 ($2)+b-(x-1,y+2)-(1,3),所以x-2,y-1,所以a= 以实数x的值是2. (2,1),所以a-2b-(4.-3),所以la-2bl-4+(-3)^{}-5. 答2 唇(1)B(2)5 4.解析由题意得四边形ABCD是平行四边形,在ABCD中, [例题3]解(1)因为a=(1,1),b-(1,-1),所以a+xb= AD-BC,所OD-A--oB,所以oD-oA+ (1+ì,1-),a+b=(1+,1-),由(a+ab)I(a+b) OB-(-2.0)+(8,6)-(6,8)-(0,-2),即点D的坐标为 可得(a十xb)·(a十b)=0,即(1十)(1十)十(1-)· (0.-2. (1-)-0,整理得x--1.故选D项. 智翻(0,-2) (2)因为a=(3,1),b-(2,2),所以a+b-(5,3),a-b (1,-1),则la+bl=5+3-34,la-bl= 1+ 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 ②.(a+b)·(a-b)-5x1+3×(-1)-2,所以cos(a+b 必备知识·基础落实 要点一 la+bla-b 34xv2 zx十y 它们对应坐标的乘积的和 答(1D(2)B [思考]题公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”,在解题 [变式3]解析(1)由题意得a·b-4×(-1)+3×2-2.因为 时要注意坐标的顺序,数量积坐标运算的作用是将数量积 lal= 3+4^-5,|bl- (-1)}+2^=,所以cos$ 运算转化为代数运算. 要点二 22 r1x+y-0 要点三 (2)a-b-(4+,3-2),2a+b-(7,8).因为(a-b)I(2a+ 1.v+ b),所以(a-xb)·(2a+b)=0,即7×(4+)+8×(3-2)=0 解得52,所以的值为^{}. 2.(-x)2十(-y)2 3.-x+3 随堂检测·学以致用 ##+Vō十 1.C 解福因为a=(1,-1),b-(-1,2),所以(2a+b)·a [辨析](1)错误,向量的模等于向量坐标的平方和的算术 (1,0)·(1,-1)-1.故选C项. 平方根。 2.依题意得cos-.b3x5+4×1263 (2)正确,F+F-(2,2)+(-2,3) -(0,5)|-5. 5×13 lalb 65 (3)错误,当xy一xy-0时,a/b,则向量a与b的夹角 03 为0{或180”。 ·268. 3.解析因为a-(2,3),b-(-1,2),所以a-2b-(4,-1),所 以PA]--②+1,E]--②+1,所以 Pl= 以la-2bl-4+(-1)-17 EFl*,所以PA-EF. V17 (2)因 ^ ·-2(-1)+(1-2)(-2) 4.解析因为a=(3,1),b=(1,3),c=(,2),所以a-c-(3 k,-1).因为(a-c)lb,所以(a-c)·b-0,所以(3-k) ##-×+-0,所以P^A,即PAEF 1+(-1)x3-0,所以b-0. 0 [例题2](1)A,B项表示的是向量(速度),C,D项表示的 6.4 平面向量的应用 是向量模的运算(速度的大小).v|十v|表示的是某人骑 自行车顺风行驶时的速度大小,v|一|表示的是某人骑 自行车逆风行驶时的速度大小.故选D项. 6.4.1 平面几何中的向量方法 (2)因为F +F+F-0,所以F=-(F +F),所以 |F$=(F+F)*=F+2F·F+=F+F+ 21| E11FEl(os60-2十4+2×2×4×-28,所以Fs= 6.4.2 向量在物理中的应用举例 必备知识·基础落实 2/7.故选D项. 要点一 智翻(1D(2)D 1.(1)向量 向量问题(2)向量运算 (3)翻译 [变式2]设木块的位移为s,则F·s- Fl||slcos30 2.(2)AB-:CD(3)0(4):BC(或&AC) 50X20×-500v3(J),F在竖直方向上的分力大小为 要点二 [思考]还要考虑所给出的结果是否满足实际意义 F·sin 30*}-1x50-25(N,所以摩擦力f的大小为|f|= 关键能力·素养提升 ($80-25)0.02-1.1(N,所以f·$-lflslcos 180*=1.1$ [例题1]面明(1)方法一 由题意可得AE-一AB,BF= 20X(一1)--22(),则力F,f所做的功分别是500v3$. -22J. 1$ $-AD.设AD=a,AB-b,则lal=lbl,a·b=0.又 随堂检测·学以致用 E=D+AE--a+b,AF-AB+BF-b+a,所以 1.ABC由题意知,DE为△ABC的中位线,所以DE/ BC,所以DE与BC共线,故D项结论正确,不符合题意,易 ##F#-(b)·(-a+4b)--3a·b# 知A,B,C项的结论错误,均符合题意,故选ABC项. 2.C 解析由AB·BC-0得AB1BC,又AB-DC,所以AB #1--1al+]b-0.故AFDE,即AF1DE. 与DC平行且相等,从而四边形ABCD是矩形.故选C项. 方法二 如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为 3.A 解如图,设A为渔船,BC所在直线为对岸,AB一4km. 实际航程为AC-8km,则 BCA-30{,lv |=2km/h 2.则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),所以AF-(2,1) DE-(1,-2).因为AF·DE-2X1+1X(-2)-0,所以 lcl-4km/h,所以lvc|-23km/h.故选A项 AF|DE,即AFIDE. 4.解由题意知AB一(一4,3),所以力F对物体做的功W F.AB-2X(-4)+3X3-1. 答1 (2)如图,设AC,BC边的中点分别为F,P,连接EF,EP 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第一课时 余弦定理 必备知识·基础落实 要点一 因为EA+2EB+3EC-0.所以EA+EC--2(EB+FC). 其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍 十-2bccos A a+c*-2accosB a^2+6- 所以2EF--4EP,即EF--2EP,所以F,E,P三点共线. 2abcosC 设点E,F到BC的距离分别为d,d,则d·d2-1:3. 要点二 设点A到BC的距离为d.因为F是AC的中点,所以d。: a bC 解三角形 d-1:2,所以d·d-1:6,所以S.S-d:d-1:6,即 要点三 S-6S. 两边及一角 三边 [变式1]明(1)以D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立 [辨析]解析(1)正确,余弦定理反映了任意三角形的边角关 平面直角坐标系,设正方形的边长为1,DP|一i(0<< 系,它适用于任何三角形. (2)正确,当BC>AC+AB*时,cos A-AC+A-BC{o. ②),则A(0,1),C(1,o),P(,2x)#,E(1,2x),F(2 2AC·AB 因为0{A<n,所以A一定为钝角,所以△ABC为钝角三角形 o),所以PA-(-.-2x),-(-1,-2),所 (3)错误,当已知△ABC的两边及其夹角时可利用余弦定 理求得第三边且唯一,因此△ABC唯一确定 ·269.第六章 平面向量及其应用 【例题4】已知OA-(3,4).0B-(7,12),OC 【变式4】设向量OA=(h,12),OB=(4.5).OC- (9.16),求证:A,B.C三点共线 (10.),当 为何值时,A,B.C三点共线? 随堂检测学以致用 答案见Ps 1.若点A(1,1),B(-1,1),则向量AB-( 3.已知向量a=(1,1),b-(2,x),若a+b与4b A.(0.2) B.(2,0) 2a平行,则实数x的值是 C.(-2,0) D.(0.-2) 4.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的 2.若a=(2,3),b-(-3.1),则a+b ( 边AB//DC,AD/BC,已知点A(-2,0) A.(1,-4) B.(-1,4) B(6.8).C(8.6),则点D的坐标为 C.(-1,-4) D.(4.-1) l提际完成P:课时作业(七) 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 [学习目标]1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角(童点).2.能用坐标表示平 面向量共线、垂直的条件(重点).3.发展逻辑推理和数学运算的核心素养. 必备知识基础落实 答案见Pt 要点一 平面向量数量积的坐标表示 点?用时应注意什么?数量积坐标运算的作 用是什么? 若a-(x,y),b-(r.u),则a·b 即两个向量的数量积等于 >思考:向量数量积的坐标表示公式有什么特 .23: 数学 必修 第二册 课堂学案 要点二 两个向量垂直的坐标表示 辨析 设两个非零向量a=(x,y),b=(x,y),则 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” ab_. (1)向量的模等于向量坐标的平方和.( ) 要点三 用坐标表示的三个重要公式 (2)若向量OF,=(2,2).OF。-(-2,3)分别表 1.向量的模的公式:设a=(x,y),则al= 示两个力F,F,则F+F=5. 2.两点间的距离公式:若A(xt,y),B(x,y). (3)两个非零向量a=(x,y),b=(x,v),满 则AB{ 足y一xy=0,则向量a与b的夹角为0。}。 3.向量的夹角公式:设两非零向量a三(x,y). 。 b=(x,y),a与b的夹角为0,则cos8 a.b (4)向量的夹角公式仅适用于两个非零向量. 。 a b ) 关键能力素养提升 答案见P 探究一 平面向量数量积的坐标运算 【变式1】(1)在平行四边形ABCD中,AC-(1. 2).BD=(-3,2),则AD.AC- 规律总结 (2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是边 AB上的动点,则DE·CB的值为 (1)数量积运算的两个途径:①先将各向量 DE.DC的最大值为 用坐标表示,直接进行数量积运算 ②先利用数量积的运算律将原式展开,再依 探究二 平面向量的模 据已知条件计算 (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的 规律总结 题目,注意把握图形特征,并写出相应点的 (1)用字母表示的向量的模的运算:利用 坐标即可求解;对于条件中未给出向量坐标 la}一a^{},将向量的模的运算转化为向量与 的,可通过建系转化为坐标运算 向量的数量积的问题. (2)用坐标表示的向量的模的运算:若a一 【例题1】已知向量a=(2,4),b=(1,2) (1)求a·b; (x,y),则a·a=a}-a=x}+y,于是有$ (2)若c-(2,-1),求(a·b)·c及a·(b·c). 【例题2】已知向量a=(cos6,sin0),向量b= (v3,0),求2a一bl的最大值 .24· 第六章 平面向量及其应用 A.十-1 【变式2】(1)(2023·北京)已知向量a,b满足 B.+--1 C.=1 a+b=(2,3),a-b-(-2,1),则lal-b D.--1 ( ) (2)(2023·全国甲)已知向量a=(3,1),b= A.-2 B.-1 (2,2),则cosa十b,a-b)= ( ) C.0 D.1 #### (2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a十 b-(1,3),则la-2bl=__. 探究三 平面向量的夹角和垂直问题 规律总结 (1)利用数量积的坐标表示求两向量夹角的 步骤: ①求向量的数量积,利用向量数量积的坐标 【变式3】已知向量a=(4,3),b-(-1,2). 表示求出这两个向量的数量积 (1)求a与b的夹角0的余弦值; ②求模,利用|a=v十y}计算两向量 (2)若向量a一xb与2a十b垂直,求入的值 的模. ny ③求夹角余弦值由公式s0 ·、 求夹角余弦值 ④求角,由向量夹角的范围及cosθ的值 求8. (2)向量夹角9的取值范围是[0,x],利用 cosa.b 一来判断角8时,要注意cos9 a b 0有两种情况:一是8为钝角,二是8- cos00也有两种情况,一是0为锐角,二是 9-0;cosθ-0只有一种情况,此时a |b 【例题3】(1)(2023·新课标I)已知向量a-(1. 1),b-(1,-1),若(a+xb) |(a十b),则 ( 随堂检测学以致用 答案见P2u 1.向量a-(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)· 3.向量a=(2,3),b=(-1,2),则 a-2bl= a- ( A.-1 B.0 C.1 4.已知向量a=(3,1),b-(1,3),c=(,2),若 D.2 2.若a=(3,4),b-(5,12),则a与b的夹角的 (a一c)b.则一 余弦值为 I提示完成P;课时作业(八)和P培优训练(一) .25.