6.4.1 6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

数学必修第二册课堂学案 6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用举例 [学习目标]1，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数 学和实际问题中的作用（难点），2.发展数学建模、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养， 必备知识基础落实 答案见P 要点一平面几何中的向量方法 (4)0为△ABC的内心aOA+bOB+cG元=0. 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 要点二向量在物理中的应用 (1)建立平面几何与向量的联系，用 向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问 转化为 题，最后再用所获得的结果解释物理现象.在 (2)通过 研究几何元素之间的 解决具体问题时要明确和掌握用向量研究物 关系，如距离、夹角等问题； 理问题的相关知识. (3)把运算结果“ ”成几何关系 (1)力、速度、加速度、位移都是向量， 2.平面几何中证明问题的具体转化方法 (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是 (1)证明线段AB=CD,可转化为证明A它= 向量的加、减法， c市. (3)动量m就是质量m与速度v的积， (2)证明线段AB∥CD,只需证明存在一个实 (4)功的定义即是力F与所产生的位移s的数 数1≠0，使 成立 量积F·s (3)证明两线段AB⊥CD,只需证明数量积AB· >思考：用向量法解答物理问题的过程中，在给 CD= 出答案时除了要考虑向量本身的意义，还要考 (4)证明A,B,C三点共线，只需证明存在一个 虑什么？ 实数λ≠0，使AB= 3.平面向量及三角形的“四心” 设O为△ABC所在平面内一点，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则 (1)0为△ABC的外心OA1=O=元L. (2)O为△ABC的重心OA+OB+OC-0. (3)O为△ABC的垂心（三角形三边高的交点）台 OA.OB=Oi.O元=O元.OA ·26 第六章平面向量及其应用 关键能力素养提升 答案见P 探究一向量在几何中的应用 【变式1】如图，点P是正方形ABCD的对角线 BD上一点，四边形PECF是矩形. 规律总结 将平面几何问题转化为向量问题后，可以用 向量运算，也可以用向量的坐标运算.利用 坐标法解决几何问题的一殷步骤：①建立平 面直角坐标系；②设出相关点的坐标；③求 (1)求证：PA=EF; 出有关向量的坐标：④利用向量的运算求出 (2)求证：PA⊥EF. 结果；⑤作出结论。 【例题1】(1)如图，在正方形ABCD中，点E,F 分别是AB,BC的中点，求证：AF⊥DE (2)已知E为△ABC内一点，若EA十2EB+ 3EC=0,△EBC,△ABC的面积分别为S', S,求证：S=6S. ·27· 数学必修第二册课堂学案 探究二 向量在物理中的应用 【变式2】已知力F与水平方向的夹角为30°（斜 向上)，F的大小为50N,一个重80N的木块 答题模板 受力F的作用在摩擦系数4=0.02的水平平 面上运动了20m,求力F和摩擦力∫所做 用向量解答物理问题的一般步骤： (1)建模，把物理问题转化成数学问题； 的功. (2)解模，解答得到的数学问题： (3)回答，利用解得的数学答案解释物理 现象 【例题2】(1)某人在无风条件下骑自行车的速度 为，风速为？(”>2)，则逆风行驶时 的速度大小为 ( A.M+2 B.片一2 C.+v D.l|-|2 (2)一质点受到平面上三个力F,F2,F(单 位：N)的作用而处于平衡状态.已知F,2 成60°角，且F1,F2的大小分别为2和4，则 F的大小为 ( A.6 B.2 C.2√5 D.2√7 随堂检测学以致用 答案见Pw L.(多选)在△ABC中，AB=AC,点D,E分别是 3.一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂 AB,AC的中点，则下列结论中错误的是 直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际 航程为8km,则河水的流速为 () A.BD=CE B.BD与C元共线 A.2√3km/h B.2 km/h C.BE=BC D.D正与B配C共线 C.√3km/h D.3 km/h 2.在四边形ABCD中，AB·BC=0且AB= 4.已知力F=(2,3)作用于一个物体，使物体从 DC,则四边形ABCD是 A(2,0)移动到B(一2,3)，则力F对物体做的 A.梯形 B.菱形 功为 C.矩形 D.正方形 提示完成P课时作业（九） ·28·3.解折因为a=(2,3),b=(-1,2),所以a-2b=(4,一1)，所 以PA12=X-2+1,EF=X-√2+1，所以PA 以a-2b=4+(-1)=√17. EF,所以PA=EF 答案√7 4.解析因为a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),所以a-c=(3 (②)因为i.萨=号（竖-1）+1-)(-竖) k,-1).因为(a-c)⊥b,所以(a-c)·b=0,所以(3-k)X 1+(-1)×3=0,所以k=0. 2+号-+号0=0，所以A1成，即PALE邵 答案0 [例题2]解析(1)A,B项表示的是向量（速度），C,D项表示的 是向量模的运算（速度的大小）.”十表示的是某人骑 6.4平面向量的应用 自行车顺风行驶时的速度大小，，|一|表示的是某人骑 自行车逆风行驶时的速度大小.故选D项. 6.4.1平面几何中的向量方法 (2)因为F十F2十F=0,所以F3=一(F十F),所以 |F12=(E十F2)2=F2+2F·F十F=|F+IF22+ 6.4.2向量在物理中的应用举例 21E,1F1cos60=g++2X2X4×2=28,所以E= 必备知识·基础落实 2√7.故选D项. 要点一 答案(1)D(2)D 1.(1)向量向量问题(2)向量运算(3)翻译 [变式2]解析设木块的位移为s,则F·s=|F|scos30° 2.(2)AB=ACD (3)0 (4)A BC(AC) 50×20×5=5003),F在竖直方向上的分力大小为 要点二 [思考]提示还要考虑所给出的结果是否满足实际意义 F·sn30=号×50=2500，所以摩擦力∫的大小为f1= 关键能力·素养提升 (80-25)×0.02=1.1(N0,所以f·s=|f11scos180°=1.1× [例题1]证明(1)方法一由题意可得AE=号AB,BF- 20×(一1)=-22(J),则力F,∫所做的功分别是500√3J, -22J. 2BC-号AD.设Ad=a,A店=b,则1a=b1,ab=0.又 随堂检测·学以致用 D成=Di+A花=-a叶是b,亦-A成+萨=b+a,所以 1.ABC解析由题意知，DE为△ABC的中位线，所以DE∥ BC,所以DE与BC共线，故D项结论正确，不符合题意.易 .D成=(b叶2)(-a+2)=-c-a…b叶 知A,B,C项的结论错误，均符合题意.故选ABC项. 2.C解析由AB·BC-0得AB⊥BC,又AB=DC,所以AB 28=-号a+号b1=0.故1D成，即AF1DE 与DC平行且相等，从而四边形ABCD是矩形.故选C项， 方法二如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 3.A解析如图，设A为渔船，BC所在直线为对岸，AB=4, 2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),所以AF=(2,1), 实际航程为AC=8km,则∠BCA=30°，|va|=2km/h, vc|=4km/h,所以c|=2√3km/h.故选A项. DE-(1,-2).因为AF.DE-2×1+1×(-2)=0,所以 C AF⊥DE,即AF⊥DE 4.解析由题意知AB=(一4,3)，所以力F对物体做的功W F·AB=2×(-4)+3×3=1. 答案1 (2)如图，设AC,BC边的中点分别为F,P,连接EF,EP 6.4.3余弦定理、正弦定理 第一课时余弦定理 必备知识·基础落实 要点一 其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 因为EA+2EB+3Ed-0,所以EA+EC=-2(E克+EC). +c2-2bccos A a2+c-2accos B a2+6- 所以2E下=一4EP,即EF=一2E,所以F,E,P三点共线。 2abcos C 设点E,F到BC的距离分别为d1,d2,则d1td2=1:3. 要点二 设点A到BC的距离为d.因为F是AC的中点，所以d2: abc解三角形 d=12,所以d:d=1:6,所以SS=d:d=1:6,即 要点三 S=6S5】 两边及一角三边 [变式1]证明(1)以D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立 [辨析]解析(1)正确，余弦定理反映了任意三角形的边角关 平面直角坐标系.设正方形的边长为1，|DP1=A(0<入< 系，它适用于任何三角形. 2,则A0,1D,C1,0,P(号号)，E(1,),F(号x (2)正确，当BC>AC+AB时，cos A-AC+A5-BC<0 2AC·AB 因为0<A<π，所以A一定为钝角，所以△ABC为钝角三角形. 0）,所以i=(-号1-号)，萨-(-1，-)，所 (3)错误，当已知△ABC的两边及其夹角时可利用余弦定 理求得第三边且唯一，因此△ABC唯一确定， ·269