6.4.3 第1课时 余弦定理-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

第六章平面向量及其应用 6.4.3余弦定理、正弦定理 第一课时余弦定理 [学习目标]1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理（重点）.2.发展逻辑推理和 数学运算的核心素养。 必备知识基础落实 答案见P 要点一 余弦定理 边 叫做三角形 的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的 语言 三角形中任何一边的平方，等于 过程叫做 叙述 要点三余弦定理在解三角形中的应用 a= 公式 余弦定理可解决两类问题： = 表达 (1)已知 ,求第三边和其他两角： c2= (2)已知 ,求各角 余弦 cos A=8t-a 2bc 辨析 定理 cos B=a'+e- 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 2ac (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关 推论 cos C-atie 2ab 系，因此它适用于任何三角形. () b+c-a=2bccos A, (2)在△ABC中，若BC>AC+AB,则△ABC a+c-=2accos B, 一定为钝角三角形. () a+b-c=2abcos C (3)在△ABC中，已知两边及其夹角时，△ABC 要点二解三角形 不唯一 () 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对 (4)勾股定理是余弦定理的特殊情况。() 关键能力素养提升 答案见P 探究一 已知两边及一角解三角形 【例题1】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,已知a=2,b=2√2，C=15°，解三 规律总结 角形 (1)在已知两边及一角求第三边时，直接利 用余弦定理求解即可 (2)在已知两边及其夹角求角时，要先用余 弦定理求出第三边，再用余弦定理的推论 求解 ·29· 数学必修第二册课堂学案 【变式1】在△ABC中，已知B=120°，AC=√19， 探究三应用余弦定理判断三角形的形状 AB=2,则BC= A.1 B.√2 C.5 D.3 规律总结 探究二 已知三边解三角形 应用余弦定理判断三角形的形状，主要有两 种途径： 规律总结 (1)化角为边，并常用余弦定理进行边角 已知三边解三角形的基本思路是：利用余弦 转换 定理的推论求出相应角的余弦值，值为正， (2)直接根据余弦定理的形式进行判断，判 角为锐角：值为零，角为直角：值为负，角为 断时经常用到的结论： 纯角，结果唯一，若已知三边的关系，要看是 ①△ABC为直角三角形曰a2=十c2或 否可以整体代入得到角的余弦值：若已知三 c2=a2+b或b=a2+c2: 边的比例关系，可以直接利用余弦定理求出 ②△ABC为锐角三角形台a2+b>c2且 角的余弦值，因为余弦定理变形式本身也是 b2+c2>a2且c2+a2>, 一个齐次的分式。 ③△ABC为钝角三角形白a2+<c2或 b+c2<a2或c2+a2<b 【例题2】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,已知a=23,b=√6，c=3+√3， 【例题3】(1)在△ABC中，内角A,B,C所对的边 解此三角形 分别为a,b,c,a:b:c=3:5:7,则△ABC是 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 (2)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,若2 acos B=c,则△ABC的形状 是 【变式3】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,acos A十bcos B=ccos C,试判断 △ABC的形状 【变式2】(1)在△ABC中，已知AB=7,BC=5, AC=6,则AB·BC= A.19 B.-14 C.-18 D.-19 (2)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,已知(a十b十c)(b十c一a)=3bc,则 A= A.30° B.60° C.120° D.150 ·30 第六章平面向量及其应用 随堂检测学以致用 答案见Pn 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b, 形是 () c,已知a=9,b=2√5，C-150°，则c=( A.锐角三角形 B.钝角三角形 A.39 B.83 C,直角三角形 D.不能确定 C.10√2 D.7√3 4在△ABC中，sim号-ab,c分别为角A, 2c 2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, B,C的对应边)，则△ABC的形状为() b,c,已知a2=b2+c2+bc,则A A.正三角形 B.直角三角形 A.60° B.45 C.120 D.30° C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 3.已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角 提示完成P课时作业（十） 第二课时 正弦定理 [学习目标]1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理（重点）.2.发展逻辑推理和 数学运算的核心素养。 必备知识基础落实 答案见P 要点一正弦定理 资-a+6十er,其中R是三角形外接圆的 4R 1.定义 半径，r是三角形内切圆的半径 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 >思考：在△ABC中，若sinA>sinB,是不是 相等，即A品BC b ,其 一定有A>B?反之，若A>B,是不是一定有 中R是三角形外接圆的半径. sin A>sin B? 2.正弦定理的推论 (1)a:b:c (2)a= .6 C (3)sinA= 2R'sin B=b inC-0 要点二 已知两边和其中一边的对角解三角形 b a+bic ()④A-sin B sin C sin A+snB叶mC 情况的分布 3.正弦定理可解决的两类问题 0°<A<90 90°A<180 (1)已知 ,解三角形 (2)已知 ,解三角形 图形 4.三角形的面积公式 关系式a<bsin Ala=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b Soeabsin C-besin A-acsin B- 解的 情况 无解 两解 无解 ·313.解析因为a-(2,3),b-(-1,2),所以a-2b-(4,-1),所 以PA]--②+1,E]--②+1,所以 Pl= 以la-2bl-4+(-1)-17 EFl*,所以PA-EF. V17 (2)因 ^ ·-2(-1)+(1-2)(-2) 4.解析因为a=(3,1),b=(1,3),c=(,2),所以a-c-(3 k,-1).因为(a-c)lb,所以(a-c)·b-0,所以(3-k) ##-×+-0,所以P^A,即PAEF 1+(-1)x3-0,所以b-0. 0 [例题2](1)A,B项表示的是向量(速度),C,D项表示的 6.4 平面向量的应用 是向量模的运算(速度的大小).v|十v|表示的是某人骑 自行车顺风行驶时的速度大小,v|一|表示的是某人骑 自行车逆风行驶时的速度大小.故选D项. 6.4.1 平面几何中的向量方法 (2)因为F +F+F-0,所以F=-(F +F),所以 |F$=(F+F)*=F+2F·F+=F+F+ 21| E11FEl(os60-2十4+2×2×4×-28,所以Fs= 6.4.2 向量在物理中的应用举例 必备知识·基础落实 2/7.故选D项. 要点一 智翻(1D(2)D 1.(1)向量 向量问题(2)向量运算 (3)翻译 [变式2]设木块的位移为s,则F·s- Fl||slcos30 2.(2)AB-:CD(3)0(4):BC(或&AC) 50X20×-500v3(J),F在竖直方向上的分力大小为 要点二 [思考]还要考虑所给出的结果是否满足实际意义 F·sin 30*}-1x50-25(N,所以摩擦力f的大小为|f|= 关键能力·素养提升 ($80-25)0.02-1.1(N,所以f·$-lflslcos 180*=1.1$ [例题1]面明(1)方法一 由题意可得AE-一AB,BF= 20X(一1)--22(),则力F,f所做的功分别是500v3$. -22J. 1$ $-AD.设AD=a,AB-b,则lal=lbl,a·b=0.又 随堂检测·学以致用 E=D+AE--a+b,AF-AB+BF-b+a,所以 1.ABC由题意知,DE为△ABC的中位线,所以DE/ BC,所以DE与BC共线,故D项结论正确,不符合题意,易 ##F#-(b)·(-a+4b)--3a·b# 知A,B,C项的结论错误,均符合题意,故选ABC项. 2.C 解析由AB·BC-0得AB1BC,又AB-DC,所以AB #1--1al+]b-0.故AFDE,即AF1DE. 与DC平行且相等,从而四边形ABCD是矩形.故选C项. 方法二 如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为 3.A 解如图,设A为渔船,BC所在直线为对岸,AB一4km. 实际航程为AC-8km,则 BCA-30{,lv |=2km/h 2.则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),所以AF-(2,1) DE-(1,-2).因为AF·DE-2X1+1X(-2)-0,所以 lcl-4km/h,所以lvc|-23km/h.故选A项 AF|DE,即AFIDE. 4.解由题意知AB一(一4,3),所以力F对物体做的功W F.AB-2X(-4)+3X3-1. 答1 (2)如图,设AC,BC边的中点分别为F,P,连接EF,EP 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第一课时 余弦定理 必备知识·基础落实 要点一 因为EA+2EB+3EC-0.所以EA+EC--2(EB+FC). 其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍 十-2bccos A a+c*-2accosB a^2+6- 所以2EF--4EP,即EF--2EP,所以F,E,P三点共线. 2abcosC 设点E,F到BC的距离分别为d,d,则d·d2-1:3. 要点二 设点A到BC的距离为d.因为F是AC的中点,所以d。: a bC 解三角形 d-1:2,所以d·d-1:6,所以S.S-d:d-1:6,即 要点三 S-6S. 两边及一角 三边 [变式1]明(1)以D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立 [辨析]解析(1)正确,余弦定理反映了任意三角形的边角关 平面直角坐标系,设正方形的边长为1,DP|一i(0<< 系,它适用于任何三角形. (2)正确,当BC>AC+AB*时,cos A-AC+A-BC{o. ②),则A(0,1),C(1,o),P(,2x)#,E(1,2x),F(2 2AC·AB 因为0{A<n,所以A一定为钝角,所以△ABC为钝角三角形 o),所以PA-(-.-2x),-(-1,-2),所 (3)错误,当已知△ABC的两边及其夹角时可利用余弦定 理求得第三边且唯一,因此△ABC唯一确定 ·269. 4.B因为sin4,以l8A , sA一 (4)正确,当角C为直角时,cosC-0,所以c2}-a^{}十P,所以 勾股定理是余弦定理的特殊情况. ##_#-^{},化简得^}十-c2,由勾股定理知△ABC (1)/(2)(3)×(4) 2b 关键能力·素养提升 为直角三角形,故选B项 [例题1]解析易知cos 15*-cos(45*-30”)6+2 第二课时 正弦定理 由余弦定理得c^}-a^}+b-2abcosC=4+8-2$/②×$6+ 必备知识·基础落实 ②-8-4③ 要点一 所以c-8-43-/6-② 1.2R 2.(1)sin A:sin B: sin C (2)2Rsin A 2Rsin B 2RsinC 2hc 3.(1)两角和一边 (2)两边和其中一边的对角 又0* A~180”,所以A-30{, [思考]提设R为△ABC外接圆的半径,根据正弦定理可得 所以B-180{*-A-C-180*-30*-15*-135^。 sinA-,sin B-,所以若sinA>sinB,一定有a>b,于 [变式1]D 解设AB-c,AC-b,BC-a,由余弦定理得 $9-^}+4-2×2xaxcos120{,即a^+2a-15-0,解得 是AB.反之,由A>B可得a>b,再由a-2RsinA,6 a-3(a=一5舍去),故BC-3.故选D项. 2RsinB知,一定有sinA>sinB. [例题2]解析由题意和余弦定理的推论可以得到cosA= [辨析]解析(1)正确,正弦定理适用于任意三角形. 2 2×6×(3+③) (3)错误,在△ABC中,已知a,b,A,则此三角形有可能是无 $80{*,所以A-45^{},同理可得B-30{},故C-180{*}-A-B= 180*-45*-30-105* 解、一解、两解的情况,具体情况由a,b,A的值决定. [变式2](1)设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a (4)错误,在△ABC中,必须有“边”的元素加入,否则无法 确定三角形的大小. 智(1)(2) 2X5X7 2ac (3)×(4)x A.B-7×5x(-10)--19.故选D项. 关键能力·素养提升 [例题1]解因为A+B+C-180{},所以C-180{*-(60{}+45^*} ($)因为(b+c){}-a}-b+c+2bc-a^{}-3bc,所以+$ sinB 2bc 3×sin 750#2+ 选B项. 智翻(1)D(2)B sin 60{ [变式1因为在△ABC中,tanA一2,所以A是锐角,且 [例题3]析(1)由题意设a-3,b-5k,c-7k(>0),由于 c> sinA2,sinA+cos A-1,联立解得 sinA-2.再由正 a,故角C是△ABC中最大的角.因为cosC-6+g2} 2ab cosA 2X5X3 是钝角三角形,故选C项. 210 2ac 得a}-b-0,即a-b.所以△ABC是等腰三角形。 答案(1)C(2)等腰三角形 所以sinA-. .因为a>b,所以A-60{或A-120”.当A- 2bc 2+a2}-P2} 2 2ca 2ab #-△+6 &-+0-#&-0-68-0,通分 时,C-180*-45-120”-15”.-sinC_62 sinB 2bc 2c。 2ab 得$a}(+c*-a^{})+b(a+c-)+c(c-a-b)=0, [变式2]解(1)因为a-5,b-6,a<b,A-30{*}<90{},并且 bsin A-6sin30*-3,a>bsinA,所以三角形有两解. 展开整理得(a^}-){}-c^,所以a^}-b=士c^},即a^{②}-b十$ ^或矿一a^{}十c^,根据勾股定理知/八ABC是直角三角形。 随堂检测·学以致用 a 1.D 解由余弦定理得c2-9+(2v3)-2×9×2v3x cos 150*-147,所以c-7v3.故选D项. -1#0A 2.C由题意可得cos A-+-}- 一解. 2bc (3)因为a-5,b-3,a>b,所以A>B.又因为B-120{*,所 180*,所以A-120{},故选C项. 以不存在角A,所以三角形无解 3.B 解析方法一 由题意设a=2,b-3,c=4,则cosC &4+9-16-1<,又0{<C<180”,故C为 (4)因为a=3,bsinA-4xsin60*}-2V3,所以absinA 所以三角形无解. 2ab 2X2X3 [例题3]解方法一 将已知等式变形为b(1一cos^{}C)十 钝角,因此△ABC是钝角三角形.故选B项 c*(1-cos{}B)一2bccosBcosC.由余弦定理并整理,得b十 方法二 由题意设a-2,b-3,c-4,则a^}十<c2,因此$ #-(“)→-()-#×# △ABC是钝角三角形.故选B项 2ac .270.