6.4.3.1余弦定理及其应用 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年道县优质教学资源评选活动 ---高一年级必修第二册第六单元第4课《余弦定理及其应用》教学设计 课程基本信息 主备人 廖代胜 课型 新授课 学科 数学 年级 高一 学段 高中 版本章节 人教A版（2019） 教学目标 1、借助向量推导余弦定理，并能解决与三角形有关的长度、角度问题。 2、运用向量方法解决简单的平面几何问题、物理问题。 3、通过向量学习，体会数形结合、转化化归的数学思想。 教学重难点 重点：余弦定理及其应用 难点：用向量法证明余弦定理 学情分析 1、知识能力分析：学生已经学习了向量概念、线性运算、数量积以及平面向量基本定理，掌握了向量的坐标表示，具备用向量表示几何量的基础。同时，学生在初中已熟悉勾股定理，对直角三角形边角关系有深刻认识。但在学习本节课前，学生尚未系统接触“用向量法解决几何问题”的完整案例，对如何将边长转化为向量模、如何利用数量积处理边角关系还缺乏经验，需要教师搭建学习桥梁。 2、学习态度分析：高一学生思维活跃，对新知识有较强的好奇心，但对抽象的向量推导可能产生畏难心理。余弦定理的推导过程逻辑性强，学生若对向量数量积运算不够熟练，容易在推导过程中出现困难。因此，教学中应注重激发学生兴趣，通过问题驱动引导学生主动思考，并及时进行练习反馈，帮助学生克服畏难心理，建立学习信心。 教学准备 三角板 教学过程 教学环节 教学活动 评估要点 设计意图 新知导入 情境：零道高速公路的紫金山隧道的建造，测量人员站在C点，测得C点到隧道两端的距离CA,CB为5百米,3百米，以及CA与CB的夹角为120°，请问该隧道AB长为多少百米？ 思考1：如果CA与CB的夹角为90°，能快速得到隧道AB的长度？现在测得夹角为120°，如何求隧道长度呢？ 预设学生反应：部分学生可能想到用勾股定理. 思考2：这个实际问题可以转化为怎样的数学问题？该问题中已知什么，要求什么？ 师生活动：让个别学生回答，教师引导补充. 1、学生是否对“已知两边及夹角求第三边”的问题产生认知冲突 2、学生能否回顾勾股定理，并意识到局限性. 从学生熟悉的直角三角形出发,通过一般三角形的疑问引发认知冲突,激发探究欲望;结合情境，增强学习的现实意义,为向量法的引入做好铺垫. 探究新知 问题1、在ΔABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 师生活动：展示学生的推导过程，若不完整，教师适当引导，并明确向量法的解答步骤。 ①把几何元素用向量表示： 设，则 ②进行恰当的向量运算： ③最后将向量式化成几何式： 追问1、这就是我们今天学习的余弦定理，观察一下这个公式，能用文字语言来表述一下吗？ 追问2、能否根据文字语言得到求a或b的公式？ 师生活动：追问1先请学生自行回答，教师适当引导；追问2让学生根据总结的思路得到另外两个公式，教师进行板书. 小试牛刀： 在△ABC中，已知AC=5，BC=3，∠C=120°，求AB. 学生活动：展示学生的解题过程，其他学生点评，教师补充点评：强调步骤规范——先写公式，再代入，最后计算. 问题2、余弦定理指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系，那能否解决已知三角形的三边求三角形的角的问题？ 师生活动：展示个别学生的变形过程，并且观察变形后的公式，总结公式的结构特征，让学生根据结构特征说出另外两个公式，教师进行板书. 问题3、勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系，勾股定理、余弦定理有什么联系？（例：） 师生活动：学生表达思路，教师引导补充. 1、学生能否推导出余弦定理；2、学生能否用文字语言表述余弦定理；3、学生能否根据文字语言写出另外两个公式；4、学生能否独立完成公式变形，推导出求角公式。5、学生能否说出余弦定理的多种用途 1、通过学生展示，精准发现共性问题（夹角混淆、符号错误等），提高教学效率，在推导过程中培养直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.2、通过公式变形，拓展余弦定理的应用范围；引导学生发现余弦定理与勾股定理的联系，培养学生数学思维的深刻性. 知识应用 题型1、已知两边及其夹角解三角形 例1、在△ABC中，a＝3，b＝ ，C＝30°，解这个三角形. 师生活动：学生先独立完成，再展示学生的解题过程，并讲解思路。教师引导学生总结这类题的方法。 变式、在△ABC中，a＝7，b＝8，锐角C满足 ，求c. 师生活动：学生展示并讲解思路，教师点评并引导纠错. 题型2、已知三边解三角形 例2、在△ABC中，a＝2，b＝，c＝，解这个三角形. 变式、例2中条件不变，求这个三角形的最小角. 师生活动：学生展示并讲解思路，教师引导学生总结该类题的解题思路. 练习、在△ABC中，a＝5，b＝7，c＝8，求△ABC的最大角与最小角的和. 师生活动：学生展示并讲解思路，其余学生有不同思路可进行补充，教师适当引导. 1、学生能否准确识别题型，正确选择公式。 2、计算过程是否规范，结果是否正确。3、学生能否掌握变式训练中的计算技巧。 通过典型例题和变式训练，巩固余弦定理的应用，帮助学生掌握两类基本题型的解法；展示和小组互评培养学生的表达能力和合作意识；总结解题步骤，帮助学生形成程序化思维。 课堂小结 思考、本节课所学的余弦定理及其推论能解决哪些解三角形的问题？生活中有哪些地方能运用余弦定理呢？ 学生活动：学生回顾本节课内容，相互补充和完善. 作业布置、 1)基础巩固：教材44页练习第1,2,3题完成在作业本上 2)素养提升： ①在△ABC中，a＝3，b＝，A＝120°，解这个三角形. ②在△ABC中,若a=2b·cosC，试判断该三角形的形状. 3)拓广探究：余弦定理的其他证明方法 1、学生能否准确说出余弦定理的适用题型。 2、 学生是否对本节课形成完整的认知结构。 帮助学生构建知识体系，强化重点内容记忆，提升思维高度；从知识走向现实应用，培养学生的数学建模意识与应用能力. 板书设计 余弦定理 1、余弦定理(已知两边及其夹角求第三边) 2、推论(已知三边求角) 教学反思 1、在数学教学过程中，要注意对学生的逻辑思维、分析问题、解决问题等能力的培养，不要把结论直接抛给学生。在本教学设计中，以问题引导，设置情境，给学生主动学习、合作探究的机会。 2、本节课问题设置具有启发性，鼓励学生自主思考、小组合作探究,培养学生的逻辑推理能力和知识迁移能力，提升数学表达能力,发展学生数学抽象、逻辑推理等核心素养。一系列问题环环相扣，从引导学生联想相关知识(如向量数量积)，到逐步推导余弦定理表达式， 再到对定理的深入剖析(与勾股定理关系、变形求角等），符合学生的认知规律，帮助学生逐步深入理解余弦定理。 不足之处： 可以设置一些具有梯度性的问题，比如可以设置一些包含根据边的比例关系求角度等基础题型，也有涉及向量数量积、边的取值范围等稍有难度的题目，满足不同层次学生的需求，逐步提升学生运用知识解决问题的能力。 — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $