6.1 平面向量的概念-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

第六章平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 [学习目标]1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向 量相等的含义，2.理解平面向量的几何表示和基本要素，3.发展数学抽象和直观想象的核心素养。 必备知识基础落实 答案见P 要点一 向量的定义与表示 >练习：给出下列物理量： 1.向量的定义 ①质量：②速度；③位移；④力：⑤加速度；⑥路 程；⑦密度；⑧功：⑨时间 在数学中，把既有 又有 的量 其中不是向量的有 ( 叫做向量。 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.有向线段 具有 的线段叫做有向线段，以A为起 要点二向量的相关概念 点、B为终点的有向线段记作AB,线段AB的 1.特殊向量 长度也叫做有向线段AB的长度，记作AB. (1)零向量： 的向量叫做零向量，记作0 有向线段包含三个要素： (2)单位向量： 的向量，叫 3.向量的表示方法 做单位向量。 (1)几何表示：向量可以用 来表 2.相等向量与共线向量 (1)相等向量：长度 且方向 示，我们把这个向量记作向量AB.有向线段的 的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作 长度|AB表示向量的 ,有向线段的 方向表示向量的 (2)平行向量：方向 的非零向量叫 (2)字母表示：向量也可以用字母a,b,c,…表 做平行向量，平行向量也叫做 :向量a 示，书写时必须加箭头，即为 与b平行，记作 :规定零向量与任意向 量 ,即对于任意向量a,都有 4.向量的长度 >思考：向量平行与几何中的平行一样吗？ (1)定义：向量AB的 称为向量AB的 长度（或称模） (2)表示：向量AB,a的长度分别记作 >思考：(1)向量与数量有什么区别？ (2)向量就是有向线段吗？为什么？ 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“” (1)两个向量能比较大小 ( (2)相等向量一定是共线向量. (3)共线向量一定是相等向量. (4)向量的模是一个正实数. 数学必修第二册课堂学案 关键能力素养提升 答案见P 探究一 向量的有关概念 探究二 向量的表示 规律总结 误区防错 向量及有关概念的理解 向量与有向线段的区别与联系 (1)向量由大小和方向确定，与起点无关 (1)向量只有大小和方向两个要素，与起点 (2)零向量是一种特殊的向量，零向量的方 无关，只要大小和方向相同，这两个向量就 向是任意的，所有的零向量都相等， 是相等向量 (3)单位向量是长度为1的向量，是一类向 (2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、 量的统称。单位向量不一定相等，容易忽略 大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小 向量的方向 和方向相同，也是不同的有向线段 (4)当两共线向量的方向相同且模相等时， (3)用有向线段表示向量时，先确定起点，再 这两共线向量为相等向量 确定方向，最后依据向量模的大小确定向量 的终点，必要时，需依据直角三角形知识求 【例题1】判断下列说法是否正确，并说明理由. 出向量的方向（即夹角）或长度（即模），选择 (1)温度有零上和零下之分，所以温度是 合适的比例关系作出向量 向量； (2)0=0 【例题2】在如图所示的坐标纸上（每个小方格边 (3)共线向量就是平行向量： 长为1)画出符合下列条件的向量， (4)若a,b为非零向量，且a=|b1,则a=b: (1)OA,使|OA|=4√2，点A在点O北偏 (5)AB与BA是相同的向量； 东45°； (6)若AB=DC,则A,B,C,D四点一定构成 (2)AB,使AB=4,点B在点A正东： 平行四边形 (3)BC,使BC=6,点C在点B北偏东30° 北 【变式1】(1)下列各量中，向量有： (填 写序号) ①浓度；②年龄：③风力：④面积：⑤位移； ⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力：⑨盈 利；⑩加速度」 (2)($选)下列命题中，错误的是 A.若|a<|bl,则a<b B.长度相等的向量都相等 C.共线的单位向量可能相等 D.若a∥b,b∥c,则a∥c 第六章平面向量及其应用 【变式2】一辆汽车先从点A出发向西行驶了 【例题3】如图，O是正六边形ABCDEF的中心， 100km到达点B,然后改变方向向西偏北50° 且OA=a,Oi=b,0c=c. 方向行驶了200km到达点C,最后又改变方 向，向东行驶了100km到达点D. (1)作出向量AB,BC,CD: (2)求1ADL. (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与a,b,c相等的向量. 【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，E,F分 别是CD,AB的中点. (1)写出与向量FC共线的向量： (2)求证：BE=FD 探究三 共线向量和相等向量 规律总结 对共线向量和相等向量的理解 (1)共线向量仅仅指向量的方向相同或相 反，相等向量指向量的大小和方向均相同 (2)任何一个向量和它本身是共线向量. (3)任何两个相等的非零向量，都可以用同 一条有向线段来表示，并且与有向线段的起 点无关。 (4)对于向量来讲，平行与共线等价，而线段 的平行与共线是严格区分开的， 数学必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.下面几个命题： 与AE平行的向量有 () (1)若a=b,则a=|b; (2)若|a=0,则a=0: (3)若向量a与b平行，则a与b的方向相同或 相反； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (4)若向量a,b满足 lal=lbl, 则a=b 3.已知AB1=1,AC1=2,若∠ABC=90°，则 a∥b, BCI= 其中正确命题的个数是 ( 4.给出下列四个条件：①a=b;②|a|=|b|; A.0 B.1 C.2 D.3 ③a与b方向相反；④a=0或|bl=0.其中能 2.如图，在□ABCD中，点E,F分别是AB,CD 使a∥b成立的条件是 (填序号). 的中点，则向量BE,CB,FC,FD,DA,E京中 提示完成P课时作业（一） 6.2 平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 [学习目标]1，借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义， 2.发展数学抽象和数学运算的核心素养。 必备知识基础落实 答案见P 要点一 向量加法的定义及运算法则 要点二 向量加法的运算律与有关不等式 定义 求 的运算，叫做向量的加法 1.向量加法的运算律 (1)交换律：a十b= 前提 已知非零向量a,b (2)结合律：a+(b十c)= 在平面内取任意一点A,作 作法 2.向量加法的有关不等关系 AB=a,BC=b,再作向量AC (1)|a+b|≤ ,当且仅当a,b 三角 形法 结论 向量AC叫做a与b的和，记作 或至少有一个为0时，等号成立. 则 a+b,即a+b=AB+BC=AC (2)川Ia|-Ib||≤|a+b|,当且仅当a,b 或至少有一个为0时，等号成立 图形 辨析 判断正误，正确的画“√”，错误的画“X” 运算 前提 已知不共线的两个向量a,b (1)两个向量相加的结果可能是一个数量. 法则 ( 在平面内任取一点O,以同一点 作法 O为起点的两个已知向量a,b, (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模 相加. () 平行 以OA,OB为邻边作☐OACB (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向 四边 以O为起点的向量O心(OC是 形法 结论 量共线： () □OACB的对角线)就是向量a 则 与b的和 (4)若a,b均为非零向量，则|a十b与|a|十 b一定相等. () (5)向量加法的平行四边形法则适合任意两个 图形 a+b 向量 () a 0 (6)在矩形ABCD中，AB+BC-=AD+BA. 规定 对于零向量与任意向量a,规定a十0=0十a=a ()课堂学案答案 第六章 平面向量及其应用 格数与纵向小方格数都为4，于是，点A的位置可以确定，画 出向量OA如图所示. 6.1 平面向量的概念 必备知识·基础落实 要点一 1.大小方向 2.方向起点、方向、长度 3.(1)有向线段AB大小方向(2)立6c 4.(1)大小(2)AB,a (2)由于点B在点A正东方向处，且AB=4,所以在坐标 [思考]提示(1)数量是一个代数量，只有大小没有方向，其大 纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0， 小可以用正数、负数、零来表示，可以比较大小，如长度、质 于是点B的位置可以确定，画出向量AB如图所示 量、面积，体积等：向量既有大小又有方向，因为方向不能比 (3)由于点C在点B北偏东30°处，且BC1=6,依据勾股定 较大小，所以向量不能比较大小 理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向 (2)不是，从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向 小方格数为3√3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向 线段有起点，方向和长度三个要素，因此向量和有向线段是 量BC如图所示 两个不同的概念，向量可以平行移动，而有向线段是固定的 [变式2]解析(1)如图所示. 线段。向量可以用有向线段来表示。 100km [练习]C解折质量，路程，密度、功、时间只有大小，没有方 向，所以是数量，不是向量，故选项。 要点二 1.(1)长度为0(2)长度等于1个单位长度 2.(1)相等相同a=b 南 (2)相同或相反共线向量a∥b平行0∥a (2)由题意，易知AB与C市方向相反，故AB与CD共线，即 [思考]提示不一样.向量中的平行包括两种情况：一是表示向 AB∥CD.图为AB|=CD1,所以在四边形ABCD中， 量的有向线段所在直线重合：二是表示向量的有向线段所 AB LCD,所以四边形ABCD为平行四边形，所以AD1 在直线是两条平行直线，而儿何中的平行不包括直线重合， BC1=200km. [辨析]解标(1)错误，两个向量不能比较大小， (2)正确，相等向量方向相同，所以是共线向量 [例题3]解析(1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD, (3)错误，共线向量方向可能相反，长度也可能不相等，所以 BC.AO.FE. 共线向量不一定是相等向量. (2)与a共线的向量有F2,BC,OD.EF,CB.Di.AO (4)错误，向量的模可能为0. DA.AD. 答3(1)×(2)√(3)×(4)× (3)与a相等的向量有EF,D0,CB:与b相等的向量有 关键能力·素养提升 D元，E0,FA:与c相等的向量有Fd,ED,AB [例题1门解析(1)不正确，因为温度只有大小没有方向 [变式3]解析(1)因为在平行四边形ABCD中，E,F分别是 (2)不正确，0表示的是向量，而0表示的是数量，二者有本 CD,AB的中点，CE∥AF,CE=AF, 质上的区别. 所以四边形AFCE为平行四边形，所以CF∥AE,所以与向 (3)正确，平行向量也叫做共线向量。 量F心共线的向量为CF,AE,EA. (4)不正确，a=b表示的仅仅是两个向量的模相等，但 (2)证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC,AB=DC 方向是不确定的 因为E,F分别是DC,AB的中点，所以ED∥BF且ED=BF, (5)不正确，AB与BA表示的是长度相等，方向相反的两个 所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE=FD,BE∥ 向量，不是相同的向量 FD,故BE-i. (6)不正确，A,B,C,D四点可能在同一条直线上 随堂检测·学以致用 [变式1]解析(1)向量是有大小有方向的量，故符合的有风力、 1.B解析对于(1)，相等向量的模相等，故(1)正确：对于(2)， 位移、人造卫星的速度、向心力、加速度.故答案为③⑤⑥ 向量a=0,故(2)错误：对于(3)，当a,b中有一个为零向量 ⑧0. 时，其方向不确定，故(3)错误：对于(4)，a与b的方向可能相 (2)对于A项，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大 同，也可能相反，所以a与b不一定相等，故(4)错误.故选 小，故A项错误：对于B项，长度相等的向量方向不一定相 B项. 同，如单位向量，故B项错误：对于C项，共线的单位向量方 向可能相同，也可能相反，故C项正确：对于D项，b=0时， 2.C解析根据向量的基本概念可知，与A正平行的向量有 a∥b,b∥c,但a与c不一定平行，故D项错误.故选AD项. BE,FD.FC,共3个.故选C项. 答累(1)③⑤⑥⑧0(2)ABD 3.解机由勾股定理知BC=vAC一A形=5，所以BC=3 [例题2]解析(1)由于点A在，点O北偏东45处，所以在坐标 答率3 纸上点A距，点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又 4.解析若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b:若 OA=42,小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方 a=b,则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定 ·262· 有a∥b:方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与 (3)AB+(BD+CA)+DC=AB+BD+DC+CA=0. b方向相反，则有a∥b:零向量与任意向量平行，所以若a=0 [例题3]解折(1)如图，AD表示船速，AB表示江水速度，以 或b=0,则a∥b.故①③④①都能使a∥b成立. 答率①③④ AD,AB为临边作□ABCD,则AC表示船实际航行的速度. 6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 必备知识·基础落实 要点一 两个向量和 (2)在R1△ABC中，1AB1=6,1BC1=15,于是1AC1 要点二 1.(1)b+a(2)(a+b)+c √AB:+BC平=√仔+1F=V2I≈16.2因为anCAB- 2.(1)a十b1方向相同(2)方向相反 [辨析]解析(1)错误，两个向量相加的结果仍然是向量. 9-号，所以∠CAB≈682周此，船实际航行速度的大 (2)错误，两个向量相加也要考虑方向， 小约为16.2km/h,方向与江水速度间的夹角约为68， (3)错误，当两个向量共线时，两个向量的和向量与这两个 [变式3]解析(1)设AD表示船向垂直于对岸的方向行驶的速 向量共线. 度，AB表示水流速度，以AD,AB为邻边作☐ABCD,则AC (4)错误，当a,b共线时，若a,b同向，则|a十b=a十 b:若a,b反向，则a+b=|a一|b1l:当a,b不共线时， 就是船的实际航行速度.由题意知，在R△AC中，AB=3, a+b<a十b. BC1=3,所以1AC1=√A:+BC1=V3+3= (5)错误，当两个向量共线时，不能使用平行四边形法则 求解。 3瓦，tan∠CAB=号=1.所以∠CB=45.所以格实际航 (6)错误，因为AB+BC-AC,AD+B-BA+AD-B成. 行速度的大小为3、2k/小h,方向与水流方向间的夹角为45°. 而在矩形ABCD中，AC-BD不成立 故选AC项. 答率(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)× 关键能力·素养提升 [例题门解析(1)如图，首先作向量OA=a,然后作向量A店 b,则向量OB=a十b即为所求. (2)知图，AC-AB+BC,∠BAC=90°.AB1=AC1=300, (2)如图，首先在平面内任取一点O,作向量OA=a,OB=b, OC=c,以OA,OB为邻边作□OADB,连接OD,则OD= 所以BC=300w2,∠ABC=45°.依题意得，A地在B地的 南偏东30的方向处，所以C地在B地的南偏东75°的方向 OA+OB=a+b.再以OD,OC为邻边作CODEC,连接 处.所以飞机从B地向C地飞行的方向是南偏东75°，B,C OE,则OE=OD+心=a+b+e即为所求. 两地间的距离为300√2km.故选B项. 305 45 30 [变式1门解析(1)如图1，设向量a的起点为O,终点为A,则 60 300 300 OA=a,再作Ai=c,则O-a十c即为所求。 答率(1)AC(2)B btd d 随堂检测·学以致用 L.B解桥正方形ABD中，A店+A=AC,所以A店+1= AC=√2.故选B项. 附1 2 2.A解析原式-P+Q+OM+M液-P戒故选A项. (2)如图2，设向量b的起点为O1,终点为A1,则OA=b, 再作AB=d,则OB=b十d即为所求 3.C解桥在方格纸中作出OP+OQ,如图所示，由向量加法 [例题2]解析(1)BC+AB=AB+BC-AC 的运算法则和相等向量的概念可得OP+OQ=,故选 C项. (2)DB+CD+BC-BC+CD+DB-BD+DB=0. (3)AB+DF+CD+EC+FA-AB+BC+CD+DF+FA- AF+FA=0. [变式2]解桥(1)A花+CD+BC=A店+BC+C市=A方 (2)(MA+BN)+(AC+CB)=(MA+AC)+(CB+BN)= MC+CN-MN. ·263·