第四章　三角形　专题特训　判定全等三角形的基本模型　课件　2024-2025学年北师大版数学七年级下册

专题特训（九）　判定全等三角形的基本模型 第四章　三 角 形 专题特训　判定全等三角形的基本思路 类型一　已知两边分别相等，考虑“SSS”或“SAS” 1. 如图，AB＝DC，BD＝CA，AC，BD交于点O，∠A与∠D是否相等？请说明理由. （第1题） 解：∠A＝∠D. 理由：连接BC. 在△BAC和△CDB中， 所以△BAC≌△CDB. 所以∠A＝∠D. 1 2 3 4 5 6 2. （2023·陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°.过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D， 使AD＝AC， 在边AC上截取AF＝AB，连接DF. 试说明：DF＝CB. （第2题） 1 2 3 4 5 6 解：在△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝20°，所以∠CAB＝180°－∠B－∠C＝110°.因为AE⊥BC，所以∠AEC＝90°.所以∠EAC＝90°－20°＝70°.所以∠DAF＝180°－∠EAC＝110°.所以∠DAF＝∠CAB. 在△DAF和△CAB中， 所以△DAF≌△CAB. 所以DF＝CB. （第2题） 1 2 3 4 5 6 类型二　已知两角分别相等，考虑“AAS”或“ASA” 3. 如图，在△ABC和△ADE中，∠B＝∠D，AC＝AE，AE与BC交于点M，AC与DE交于点N，∠BAE＝∠DAC，EM＝CN. 试说明：BM＝DN. （第3题） 解：因为AC＝AE，EM＝CN，所以AE－EM＝AC－CN，即AM＝AN. 在△ABM和△ADN中， 所以△ABM≌△ADN. 所以BM＝DN. 1 2 3 4 5 6 4. 如图，AB∥CD，E为AC的中点，AB＝6，连接BE并延长，交CD于点D. 点M从点B出发向点A以1个单位长度/秒的速度向左移动，同时点N从点C出发，在CD上以2个单位长度/秒的速度往返移动.当点M到点A处时，点M，N同时停止移动，连接ME，NE. （第4题） 1 2 3 4 5 6 （1） 当△AEM的面积是△BEM的面积的2倍时，求DN的长. 解：（1） 因为AB∥CD，所以∠A＝∠C，∠B＝∠D. 因为E为AC的中点，所以AE＝CE. 在△ABE和△CDE中， 所以△ABE≌△CDE. 所以CD＝AB＝6.因为△AEM的面积是△BEM的面积的2倍，所以AM＝2MB. 所以MB＝2，AM＝4. 所以点M的移动时间为 ＝2（秒）， 此时CN＝2×2＝4.所以DN＝CD－CN＝2. （第4题） 1 2 3 4 5 6 （2） 若移动时间为t（0＜t＜6）秒，当t为何值时，△AEM≌△CEN？ 解：（2） 因为∠A＝∠C，AE＝CE，所以当AM＝CN时，△AEM≌△CEN. 由题意，得AM＝6－t.当0＜t≤3时，6－t＝2t，解得t＝2.当3＜t＜6时，6－t＝6×2－2t，解得t＝6（不合题意，舍去）.综上所述，当t的值为2时，△AEM≌△CEN. （第4题） 1 2 3 4 5 6 类型三　已知一边一角分别相等，考虑“SAS”或 “AAS”或“ASA” 5. 如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°，C为AE上一点，连接BC. （第5题） 1 2 3 4 5 6 （1） 求∠DAE的度数. 解：（1） 因为AB∥DE，所以∠EAB＝∠E＝40°.因为∠DAB＝70°，所以∠DAE＝∠DAB－∠EAB＝30°. （2） 若∠B＝30°，试说明：AD＝BC. 解：（2） 在△ADE和△BCA中，因为∠DAE＝∠B＝30°，AE＝BA，∠E＝∠CAB，所以△ADE≌△BCA. 所以AD＝BC. （第5题） 1 2 3 4 5 6 6. （2024·枣庄滕州期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F. （1） 试说明：△ADE≌△FCE. 解：（1） 因为AD∥BC，所以∠DAE＝∠CFE. 因为E是CD的中点，所以DE＝CE. 在△ADE和△FCE中， 所以△ADE≌△FCE. （第6题） 1 2 3 4 5 6 （2） 若AB＝BC＋AD，试说明：BE⊥AF. 解：（2） 由（1），知△ADE≌△FCE，所以AE＝FE，AD＝FC. 因为AB＝BC＋AD，所以AB＝BC＋CF＝BF. 在△ABE和△FBE中， 所以△ABE≌△FBE. 所以∠AEB＝∠FEB. 因为∠AEB＋∠FEB＝180°， 所以∠AEB＝∠FEB＝90°.所以BE⊥AF. （第6题） 1 2 3 4 5 6 类型一　平移模型 模型示例：常见的平移模型： 　 　 　 平移模型中的两个三角形通过平移可完全重合，解题时要注意两个三角形的对应边平行（或在同一条直线上）且相等. 1. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD，连接EC，FD. （1） 试说明：∠E＝∠F. 解：（1） 因为EA∥FB，所以∠A＝∠FBD. 因为AB＝CD，所以AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD. 在△EAC和△FBD中， 所以△EAC≌△FBD. 所以∠E＝∠F. （第1题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数. 解：（2） 因为△EAC≌△FBD，所以∠ECA＝∠D＝80°.因为∠A＝40°，所以∠E＝180°－∠A－∠ECA＝180°－40°－80°＝60°. （第1题） 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC∥DF，BC∥EF. 试说明：BC＝EF. （第2题） 解：因为AD＝BE，所以AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE. 因为AC∥DF，所以∠A＝∠EDF. 因为BC∥EF，所以∠ABC＝∠E. 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF. 所以BC＝EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型二　对称模型 模型示例：常见的对称模型： 　 　 　 　 　 对称模型中的两个三角形，沿某条直线折叠可完全重合，有公共边模型、公共角模型、对顶角模型等.解题时要注意隐含的公共边相等，公共角相等，对顶角相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 如图，AC＝AD，BC＝BD，E是AB上任意一点，连接CE，DE. 试说明：CE＝DE. （第3题） 解：在△ACB和△ADB中， 所以△ACB≌△ADB. 所以∠CAE＝∠DAE. 在△ACE和△ADE中， 所以△ACE≌△ADE. 所以CE＝DE. 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是CD的中点，AE＝BE，∠EAB＝∠EBA. 试说明：∠D＝∠C. 解：因为AB∥DC，所以∠DEA＝∠EAB，∠CEB＝∠EBA. 因为∠EAB＝∠EBA，所以∠DEA＝∠CEB. 因为E是CD的中点，所以DE＝CE. 在△ADE和△BCE中， 所以△ADE≌△BCE. 所以∠D＝∠C. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 类型三　旋转模型（包含手拉手模型） 模型示例：常见的旋转模型： 　 　 　 旋转模型中的两个三角形绕公共顶点旋转一定的角度可以完全重合，旋转过程中，两个三角形无重叠或有部分重叠，解题时要注意利用旋转的性质直接找等角，或利用角的和差得到等角. 1 2 3 4 5 6 7 8 5. （2024·济南槐荫期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，AB＝AD，E为△ABC外部一点，满足AC＝AE，连接DE，与AC交于点O，∠CAE＝∠BAD. （1） 试说明：△ABC≌△ADE. 解：（1） 因为∠CAE＝∠BAD，所以∠CAE＋∠CAD＝∠BAD＋∠CAD，即∠DAE＝∠BAC. 在△ABC和△ADE中， 所以△ABC≌△ADE. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 若∠BAD＝25°，求∠EDC的度数. 解：（2） 因为△ABC≌△ADE，所以∠C＝∠E. 因为∠AOE＝∠DOC，∠CAE＝180°－∠E－∠AOE，∠EDC＝180°－∠C－∠DOC，所以∠EDC＝∠CAE＝∠BAD＝25°. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD. BD，CE之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由. 解：BD＝CE，BD⊥CE. 理由：因为∠BAC＝∠DAE＝90°，所以∠BAC＋∠CAD＝∠CAD＋∠DAE. 所以∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， 所以△BAD≌△CAE. 所以 （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. 因为易得∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，所以∠ACE＋∠DBC＋∠ACB＝90°.所以∠BDC＝90°.所以BD⊥CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型四　一线三等角模型（特殊的旋转模型） 模型示例：常见的一线三等角模型： 　 　 一线三等角模型的特点是三个等角的顶点在同一条直线上，此模型的两个三角形有一组角相等，另一组角易证相等.若有一边相等，则两个三角形全等. 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE. 若∠ADE＝∠B，试说明：AD＝DE. 解：因为∠B＝∠C，∠ADE＝∠B，所以∠B＝∠ADE＝∠C. 因为∠BAD＝180°－∠B－∠ADB，∠CDE＝180°－∠ADE－∠ADB，所以∠BAD＝∠CDE. 在△ABD和△DCE中， 所以△ABD≌△DCE. 所以AD＝DE. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 8. （2024·济南长清期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC运动到点C，同时点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC运动到点C，有一点到达终点时，两点都停止运动.直线PQ经过Rt△ABC的顶点C，过点D，E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为M，N，设运动时间为ts .当t的值为多少时，CD＝CE？试说明此时△DCM≌△CEN. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 解：由题意，得CD＝（6－t）cm，CE＝（8－3t）cm.因为CD＝CE，所以6－t＝8－3t，解得t＝1.所以当t的值为1时，CD＝CE. 因为DM⊥PQ，EN⊥PQ，所以∠DMC＝∠CNE＝90°.因为∠ACB＝90°，所以∠DCM＋∠CDM＝∠DCM＋∠ECN. 所以∠CDM＝∠ECN. 又因为CD＝EC，所以△DCM≌△CEN. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 $$