第十章 数学活动4二元一次方程的“图象”及轮胎换位问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（人教版2024）

我们在做车辆保养时，4S店会告诉我们车轮在1万公里左右做个四轮换位。这样做主要是为了让四个轮胎都能够磨损的更加均匀，这样在更换轮胎的时候就能够四个一起更换，来保证四个轮胎的性能一致。通常情况下，前后和左右轮胎的磨损情况是不一样的，主要有以下几个原因，车辆大部分的发动机都是放在车辆的前仓，整个车辆的前轴会比后轴重，再加上我们刹车时车辆会出现点头的情况，整个车的重心会前移，增大前轮的载荷，而且前轮还需要承担转向的功能，这几种情况都会导致车辆的前轮的磨损会比后轮的大。车辆左右车轮的磨损情况也是不一样的，在车辆转弯时，外侧轮胎会比内侧轮胎磨损的更快，造成这样的原因主要是因为当车辆实际转向的时候，内外侧车轮并不是绕着同一个圆心进行旋转，一般来说外侧轮胎转向时会发生一定的滑移，这就导致外侧轮胎的磨损会比内侧的更严重。而在我们国家的交通规则是靠右行驶的，这样使得车辆左转弯都是拐大弯，右转弯都是拐小弯，而且我们掉头的时候都是左转掉头，长期下来左转弯的总行程是更长的，所以车辆右侧的磨损相比左侧的会更大一些。为了减少四个轮胎磨损程度不一致，我们就需要定期给车轮进行换位。 第十章 二元一次方程组 数学活动4 二元一次方程的“图象” 及轮胎换位问题 七年级下册数学（人教版） 1 学习目标 1.会把二元一次方程的解在平面直角坐标系中运用点的坐标表示出来. 2.能通过两条直线的交点情况确定二元一次方程组的解的情况. 3.从方程到直线,从点的坐标到方程组的解,体会数形结合思想. 4.培养学生乐于探究的钻研精神,培养几何直观、应用意识等 核心素养. 5.了解轮胎换位的实际意义，增强对数学的应用意识. 重点:二元一次方程的图象是一条直线 难点:利用图象法求二元一次方程组的解. 点击视频观看 情境导入 我们知道坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，那么我们能否把二元一次方程的解作为点的坐标在坐标系内找出相应的点，然后借助于图形的直观性来确定二元一次方程(组)的解与两方程对应的图象特征呢? 知识链接 二元一次方程的“图象“ 1 思考：在平面直角坐标系中，你能把二元一次方程 x - y = 0 的一个解用一个点表示出来吗? 问题1：你能说出二元一次方程 x - y = 0 的一些解吗? x = -2 y = -2 x = -1 y = -1 x = 0 y = 0 x = 1 y = 1 例： x = 2 y = 2 探究新知 问题3：标出一些以方程 x - y = 0 的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，你有什么发现? 问题2：你能把二元一次方程 x - y = 0 的这些解用有序数对表示出来吗? (1，1) (-2，-2) (0，0) (-1，-1) (2，2) 这些点都在同一条直线上. 问题4：在这条直线上任取一点，这个点的坐标是方程 x - y = 0 的解吗? 问题5：描出的点都在同一条直线上，你发现了什么? 在这条直线上的每一个点所对应的数对刚好是方程 x - y = 0 的解. 方程 x - y = 0 的解与这条直线上的点所表示的数对刚好一一对应. 问题6：请你任意画出一个二元一次方程的图象，并观察它是什么几何图形? 是一条直线 x + y = 0 2 二元一次方程组的“图象” 活动：请你在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组 中的两个二元一次方程的图象. 2x + y = 4， x - y = -1 填写下面的表格： 2x+y = 4 x y x-y = -1 x y 2x+y = 4 x x = -2 x = -1 x = 0 x =1 x = 2 y y = 8 y = 6 y = 4 y = 2 y = 0 x-y = -1 x x = -2 x = -1 x =0 x =1 x = 2 y y = -1 y = 0 y = 1 y = 2 y = 3 2x+y=4 x-y=-1 (1，2) 根据表格画出图象 问题2：点 A(2，0)，B(0，4)， C(0，1)，D(-1，0)， E(1，2) 分别在哪个方程的图象上? 是哪个方程的解? 问题1：任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，那么怎样快速地画出它的图象呢? 可以选择在这个二元一次方程图象上的两个点，然后连接起来. 点A(2，0)，B(0，4) ，E(1, 2) 在 2x + y = 4的图象上，并且是它的解. 点C(0，1)，D(-1，0)， E(1，2) 在 x - y = -1 的图象上，并且是它的解. 2x+y=4 x-y=-1 (1，2) 问题3：通过这两个二元一次方程的图象，你能得出这个二元一次方程组的解吗? 二元一次方程组的解是满足 2x + y = 4 和 x - y = -1 两个方程的公共解，在图象上反映的就是这两个图象的交点. 两个方程的公共解 图象的交点 数 形 2x+y=4 x-y=-1 (1，2) (1) 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象. 归纳总结 (3) 二元一次方程组两个方程的图象的交点坐标就是这个方程组的解；方程组的解就是对应两图象的交点坐标. (2) 一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上的任意一点的坐标都是这个方程的解. 两条直线的交点个数有几种情况 ? 二元一次方程组的解有几种情况 ? 二元一次方程组的解的个数是否与两条直线的交点个数存在对应关系 ? (1) 两直线相交，方程组有唯一解. (3) 两直线重合，方程组有无数个解. (2) 两直线平行，方程组无解；方程组无解，两直线平行. 拓展思考 用二元一次方程组解决轮胎换位问题 3 资料显示： 汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到 60 000 km 时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到 80 000 km 时报废，如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时，交换 前、后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废? 并求出轮胎报废时汽车的行驶里程. 点击视频观看 问题分析： 若设汽车新轮胎开至报废时的磨损程度为 1，前轮胎每行驶 1 km 磨损 ，后轮胎每行驶 1 km 磨损，设更换前行驶 x km，更换后行驶 y km，你能列出关于 x 和 y 满足的方程组并求出 x , y 的值吗? 解得 y = x = 问题解决： 你能求出轮胎报废时汽车的行驶里程是多少吗? (x + y) = 结论：当汽车行驶里程约为 km 时更换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，汽车报废时行驶里程约为 km. 你能否用其他方法来解决问题呢? (60 000 - x)· 解：设汽车行驶了 x km 后更换轮胎，由题意可列出方程： 解得 x = 还可以运用其他方法解决问题吗? 1.一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2 500km后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1 500km后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支撑自行车行驶( ) A.1 875 km B. 1 975 km C.2 000 km D.2 250 km A 当堂练习 2.汽车轮胎如果放在前轮可以行驶 30 000 km，如果放在后轮可以行驶 50 000 km. 现有一辆汽车，允许在恰当的时候将前轮和后轮互换，如果在行驶过程中只允许前、后轮对调一次，那么最多可以行驶多少千米而不需要购买新的轮胎? 应当在行驶多少千米的时候将前、后轮对调? 解：设跑 x 千米后调换，继续行驶 y 千米后，所有的轮胎全部需要更换. 解得 y=18 750. x=18 750， 答：行驶 18 750 千米后调换，最多可行驶37 500千米. = 1 = 1 x+y=18 750+18 750=37 500(千米) Lavf58.28.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $$方程是指含有未知数的等式，是表示两个数学式，如两个数函数量运算之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为解或根。大约3600多年前，古埃及人写在纸草书上的数学问题中就涉及了含有未知数的等式。当时的埃及人试图解决土地分配、建筑工程等实际问题，这些问题需要他们利用方程来求解未知数，从而找到最佳的解决方案。然而，由于缺乏现代数学的工具和符号，他们只能使用口头表达的方式来记录方程。进入古希腊时期，方程的研究逐渐得到了发展。在这个时期，欧几里得、毕达哥拉斯等数学家开始研究方程的性质和解法。欧几里得提出了欧几里得算法，这是一种寻找最大公约数的方法，实际上也是解线性方程的方法。毕达哥拉斯学派的数学家则致力于研究几何学和三角学，他们对方程的研究起到了积极的推动作用。欧洲文艺复兴时期邦城的研究得到了进一步的发展。贝马大定理，即当整数N大于二时，关于XYZ的方程XN次方加Y的N次方等于Z的N次方，没有正整数解。此外，笛卡尔的坐标系和牛顿的微积分离柜也有了邦臣的研究，开辟了新的道路。有关笛卡尔还有一个历史上的小趣闻，传说在1649年，52岁的迪卡尔第一次邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀，并在当天意外收到了成为克里斯汀数学老师的聘书。长时间形影不离的相伴让他俩互生情愫，国王知道后大怒，要处死笛卡尔，但在公主的苦苦哀求下，改为驱赶笛卡尔返回法国。笛卡尔回国后仍不断写信给公主，但都被国王截了下来。直到第十三封信的时候，也就是迪卡他临终前的最后一封信信才成功到达了公主手中，只因为这封信上只有一个公式，二等于A一减sin西塔，这便是我们熟知的新型曲线方程。好了，我们言归正传。历史上正式把方程一词写在书中，是我国数学家刘辉写在九章算术中。第八卷名为方程，但是九章算术中的方程却并没有表示未知数的符号，所以当时的代数思想在我国产生的影响并不大。到了18世纪和19世纪，方程研究进入到了黄金时代。在这个时期，数学家们开始系统地研究各种类型的方程，并发展了多种解法。拉格朗日和高斯提出了求解代数方程的通用方法，促使方程理论的进一步发展。同时，拉普拉斯和阿贝尔等数学家对不可解方程的理论进行了深入研究，他们的贡献使数学家们能够更好地理解方程的性质、和解的存在条件。到了21世纪，方程的研究已经成为数学领域的一个重要分支。随着科学技术的进一步发展，人们对方程的理解和应用不断深化，方程不仅在数学中有着广泛的应用，还在物理学、工程学、经济学等各个领域中发挥着重要的作用。人们使用方程来描述和解释现实世界中的问题，从而为科学研究和社会进步做出了重要贡献。方程的历史长达数千年，它的发展伴随着人类社会的进步和科学的发展。从古代埃及到现代科技时代，我们可以看到方程对人类思维方式和问题解决能力的影响。通过方程，人们能够理解和解决复杂的数学和实际问题，进一步推动了数学和科学的发展。方程不仅仅是人类智慧的结晶，更是人类不断追求知识和探索世界的见证。