2.3.1 认识实数（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（湘教版2024）

2.3 实 数 2.3.1 认识实数 第2章 实 数 ÷ 七年级下册数学（湘教版） 学习目标 1.了解实数的意义，并能按要求进行准确的分类. 2.理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义.（重点） 3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点 表示无理数.（难点） 点击视频开始播放 数学危机 情境导入 -1 1 2 4 平方根 立方根 ±1 1 不存在 -1 ±2 填一填 上表中所填的这些数都是有理数吗？ ±1，±2，-1，1 都是有理数 也是有理数吗？ 复习导入 问题1 我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？ 它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式 实数的概念和分类 1 探究新知 问题2 整数能写成小数的形式吗？3 可以看成是 3.0 吗？ 能，可以 思考 由此你可以得到什么结论？ 有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 叫作无理数. 想一想：所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？     π = 3.1415926535897932384626… 1.01001000100001… （相邻两个 1 之间依次多一个 0） 无限不循环小数 不是.如： 7 7 思考： 是无理数吗？2.02002000200002…是无理 数吗？ 2.02002000200002… 常见的一些无理数： (1) 化简后含有 π 的数； (2) 开不尽方的数开方所得结果； (3) 有规律但不循环的无限小数，如 1.010010001… ...... 它们都是无限不循环小数，是无理数 思考：我们将有理数和无理数统称为实数.你能仿照有理数的分类给实数分类吗？ 无理数： 无限不循环小数 有理数：可以写成 有限小数或无限循环小数 实 数 （1）按定义分 分数 整数 开不尽方的数开方所得结果 有规律但不循环的无限小数 …… 化简后含有 π 的数 （2）按性质分 正实数 负实数 数实 负有理数 正有理数 0 负无理数 正无理数 0 正实数 负实数 1.你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗?试试看？ 正数 负数 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 练一练 11 无理数： 有理数： 负实数： 正实数： 例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内： 典例精析 思考1： 如图，直径为 1 个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达 A 点，则数轴上表示点 A 的数是什么？ 因为直径为 1 个单位长度的圆的周长为 π，所以数轴上 点 A 表示的数是无理数 π. 0 -2 -1 1 3 2 4 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● A 实数与数轴上的点 2 思考2：你能在数轴上表示出 和 - 吗？ 把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，由大正方形的面积为 2 可知其边长为 ，从而说明边长为 1 的小正方形的对角线长为____. 1 1 1 1 －2 －1 0 1 2 - 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. ★实数和数轴上的点是一一对应的. 视频：在数轴上表示 和 π 提醒：点击视频播放 这可以说明： 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示. 反过来，还可以说明： 数轴上每一个点都表示唯一的一个实数. 上面两个结论结合起来可以简洁地说成： 实数和数轴上的点一一对应. 如果在数轴上表示正实数、零、负实数，它们分别应该在数轴的原点的哪侧呢？ www.czsx.com.cn 例2 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1和 ，点 A 是线段 BC 的中点，求点 C 所表示的实数． 解：因为 数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1和 ， 所以点 B 到点 A 的距离为 1＋ ， 则点 C 到点 A 的距离为 1＋ ， 设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点 C 的距离为－1－x， 所以－1－x＝1＋ ， 所以 x＝－2－ . 本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点 A 是线段 BC 的中点时，点 C 到点 A 的距离等于点 B 到点 A 的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值． 方法总结 例3 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有 (　 ) A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 解析：因为 ≈1.414，所以 和 5.1 之间的整数是 2，3，4，5. 所以 A，B 两点之间表示整数的点共有 4 个． C 【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论． 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． 例如： 与 互为相反数 与 互为倒数 实数的性质 3 例4 求下列各数的相反数和绝对值. 解：(1) π 的相反数是 －π，. (2) 的相反数是 ，. 2. -π 的绝对值是 ， = ， = . 1. 的相反数是 ， π 的相反数是 ， 的相反数是 . 练一练 1. a 是一个实数，实数 a 的相反数为 -a. 2. ① 一个正实数的绝对值是它本身； ② 一个负实数的绝对值是它的相反数； ③ 0 的绝对值是 0. 总结归纳 实数 有理数和无理数统称实数 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 实数与数轴上点的一一对应 课堂小结 (5) 点 A 在数轴上表示的数为 ，点 B 在数轴上对应 的数为 ，则 A，B 两点的距离为_________. (3) 的相反数是_______，绝对值是________； 1. 填空 (1) 3.14 的相反数是_______，绝对值是________； (2) 的相反数是_______，绝对值是________； (4) π - 3.15 的相反数是________，绝对值是_______； 课堂练习 2. 判断题 (1) 任何一个无理数的绝对值都是正数； ( ) (2) 带根号的数都是无理数； ( ) (3) 实数可以分为正实数和负实数两类. ( ) √ × × 3. 在 －3，－ ，－1， 0 这四个实数中，是无理数的 是（ ） A. －3 B.－ C. －1 D. 0 B 4. 如图，在数轴上点 A 和点 B 之间的整数是 ． A B 2 【解析】1＜ ＜2，2＜ ＜3， 在 与 之间的整数是 2. $$According to legend, pythagoras was so excited by this discovery that he concluded the whole universe was built for numbers, but he and his followers were in for a rather unsettling chAllenge to their world view. And IT came about as a result. The theory, which base pathogen is name. Legend has IT one of his followers, a mathematics called he passes set out to find the link that the diagonal al for a rectangle, le triangle with two sides measuring one unit patris serum, employed that the length of the diagnose was a number whose square was two. The path agrarians assume that the answer would be a fraction. But when he passes trying to express IT in this way, no matter how he tried, he couldn't capture IT. Eventually he realized his mistake. IT was the assumption that the value was a fraction at all, which was wrong. The value of the square root of two was the number that the battle onions eche into the yo tablet. However, they didn't recognize the special character of this number, but he passes did. IT was an irrational number. The discovery of this new number, and others, like IT, is a king to an explorer discovering a new continent, or a natural finding a new species. But these irrational numbers didn't fit the pythagorina world view. Later, greek commentators tell the story of how pathetic I swore his sec to secrecy, but he passes, let's slip the discovery. I was probably drowned for his attempts to bd. 这是一个边长为一个单位长度的正方形这是一个直径为一个单位长度的圆。由前两节。的知识我们可知。边长为一个单位长度的正方形，其对角线的长度为根号二个单位。由小学。我们可知直径为一个单位长度的圆，其周长为pag单位，这条红绳刚好可绕此园一周。因此我可知我们可知。这条红绳的长度为pag单位。现在我将正方形的对角线其中的一个单点与原点重合，另一个单点落在数轴上。由数轴的表示数的定义。我们可知这个。点所表示的为根号2。若我将正方形的一个端点与原点重合，另一个单点落在数轴的负半轴上。我们可知。这个点所表示的数为负根号2。与此同时，我将这根红绳的一个单点与原点重合。则其另一个单点所表示的数字为。派。