8.2 立方根（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（人教版2024）

第八章 实数 8.2 立方根 七年级下册数学（人教版） 1. 通过类比推理，了解立方根的概念，区分平方根与立方根的不同，会用根号表示数的立方根，会用立方运算求千以内的完全立方数的立方根. 2. 能用有理数估计一个开立方不能开尽的数的立方根的大致范围，形成估算的意识，培养估算能力. 3. 经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力. 4. 体会数学与实际生活的紧密联系，培养善于发现问题和提出问题的习惯. 重点：会用根号表示立方根，求千以内的完全立方数的立方根. 难点：求千以内的完全立方数的立方根. 学习目标 请问图片中展示的物品是什么? 若这个物体的体积为 216 cm²，思考如何求此物体的棱长. (1) 它的形状有什么特点? (2) 在这个问题中，涉及到什么计算问题? (3) 你能找出一个数，使它的立方等于 216 吗? 是个正方体，各棱长相等 根据体积求棱长 体积＝棱长3 棱长＝6 cm 情境导入 1 立方根的概念及性质 算一算： 23＝ ； (－2)3＝ ； 0.53＝ ； (－0.5)3＝ ； ＝ ； ＝ ； 03＝ ； 8 －8 0.125 －0.125 0 思考 1：通过计算，你能发现正数、0、负数的立方与 平方有什么不同之处吗? 思考 2：你能类比平方根的定义说出立方根的定义吗? 探究新知 立方根的概念 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根或三次方根． 思考 3：你能类比开平方的定义说说什么是开立方吗? 思考 4：开立方与立方是什么关系? 知识要点 开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 开立方与立方互为逆运算. 填一填： 根据立方根的意义填空： 因为 13 = 1，所以 1 的立方根是（　）； 因为( )3 = 0.064，所以 0.064 的立方根是（ 　 ）； 因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）； 因为( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）； 因为( )3 ＝ －，所以－ 的立方根是（ ）. 0 1 -2 0 -2 0.4 0.4 你能发现正数的立方根有什么特点吗? 负数呢? 0 的立方根是多少? 互为逆运算 立方运算 开立方运算 如：( -2 )3＝－8 －8 的立方根是 ( -2 ) 立方根的性质 性质1：正数的立方根是正数； 性质2：负数的立方根是负数， 性质2：0的立方根是0. 总结 立方根是它本身的数有 1，-1， 0； 平方根是它本身的数只有 0. 知识要点 一个数 a 的立方根可以表示为： 根指数 被开方数 其中 a 是被开方数，3 是根指数，3 不能省略. 读作：三次根号 a， 立方根的表示 x3 ＝5 x = 平方根 立方根 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 平方根与立方根的区别和联系 可以为任何数 非负数 典例精析 例1 求下列各数的立方根： (4) ； (1) (－2)3； (2) 343； (3) －64； 解：(1) (－2)3 的立方根是－2，即 = －2； (2) 因为 73 = 343，所以 343 的立方根是7. 即 = 7； (3) 因为 (－4)3 = －64，所以 －64 的立方根是－4， 即 = －4； (4)因为 = . 所以 的立方根是 ，即 = . (1) ﹣27； (4) -5 的立方根是 (2) (3) 0.216； (4) -5. 1. 求下列各数的立方根： 练一练 解：(1) 因为(-3)3 = -27， 所以 -27 的立方根是-3. (2) 因为= ， 所以 的立方根是 . (3) 因为(0.6)3 = 0.216， 所以 0.216 的立方根是0.6. 思考：(1)各题中被开方数有什么关系? (2)这些数的立方根有什么关系? (3)根据计算结果，可以得到什么初步结论? (2)因为 =___， =___，所以 ___ ； (1)因为 =____， =____，所以 ___ ； –2 2 = –3 3 = 2 互为相反数的两个数的立方根的关系 计算： (3)因为 =___， =____，所以 __ . –4 4 = 互为相反数 互为相反数 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 讨论：(1) 表示 a 的立方根，那么 ()³ 等于什么? 等于什么? (2) 与 有什么关系? (1) ()³ ＝a，＝a. (2) 相等. 要点归纳：结论 1：互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即 ＝. 结论2：“先开立方，再立方”与 “先立方，再开立方”的结果相等，都等于原数， 即 ()³＝＝a. 合作探究 例2 求下列各式的值: (1) ； (2) ； (3) . 解：(1) ＝＝8； (2) ＝＝0.1； (3) ＝＝4. 典例精析 1. 的算术平方根是 . 2 计算 的算术平方根时，注意先计算 = 4，再计算 4 的算术平方根. 2. 若 与 的值互为相反数， 则 的值为_____. 练一练 由于一个数的立方根可能是无限不循环小数，所以我们可以利用计算器求一个数的立方根或它的近似值. 例3 用计算器求下列各数的立方根：2197，3. 依次按键： 显示的近似值：1.442249570，所以≈1.442. 3 = 3 利用计算器求立方根 解：依次按键： 显示：13，所以 1 2 9 = 7 用计算器计算: (1) ＝ ， ＝ ，＝ . (2) ＝ ，＝ ， 观察题(2)中的式子，你能发现什么规律? ＝ ， ＝ . 被开方数的小数点向左(或向右)移动 3n 位时，其立方根的小数点就相应的向左(或向右)移动 n 位.反之，也成立 (n 为正整数). 总结 11 7 0.8 0.06 0.6 6 60 例4 若 ≈0.6694，则 ≈ . 变式：已知 ≈1.26，≈12.6，用含 n 的式子表 示 m，则 m＝ . 6.694 1000n 典例精析 互为 逆运算 立方 立方根 定义 表示 特征 如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的________或三次方根. 数 a 的立方根是_____；0 的立方根是_______； 一个数 a 的立方根用符号表示为______，a 是________，3 是_______ 开立方 立方根 被开方数 0 根指数 当堂小结 1.27的立方根为(　B　) A. ±3 B. 3 C. －3 D. 9 B 2. 下列说法正确的是(　D　) A. 正数有2个立方根 B. －8的立方根是±2 C. 负数没有立方根 D. －1的立方根是－1 D 当堂练习 3. 将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为(　A　) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm A 4. 计算： (1) ＝ 　－ 　；(2) ＝ ⁠； (3)－ ＝ ⁠. － 　 －4　 6　 23700　 5. 若 ≈2.872， ≈28.72，则x＝ ⁠. 6. 求下列各式中的x： (1)－3x3＝0.081；　 解：x＝－0.3. (2)(x－2)3＝729. 解：x＝11. 解：x＝－0.3. 解：x＝11. 7. 一个长方体的长为9cm，宽为3cm，高为 4cm，而另一个正方体的体积是它的2倍，求这个 正方体的棱长. 解：设正方体的棱长为acm， 则依题意得a3＝9×3×4×2＝216， 解得a＝6. 故这个正方体的棱长为6cm. 解：设正方体的棱长为acm， 则依题意得a3＝9×3×4×2＝216， 解得a＝6. 故这个正方体的棱长为6cm. $$