8.1 第2课时 算术平方根（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（人教版2024）

第八章 实数 8.1 平方根 第2课时 算术平方根及其大小比较 七年级下册数学（人教版） 1 1.了解算术平方根的概念和意义. 2. 会求一些非负数的算术平方根，能运用算术平方根进行计算求值，解决实际问题. 3. 会用计算器和估算的方法求一个非负数的算术平方根，并借此过程感受无限不循环的概念. 4.能用估算的方法确定无理数的大致范围，通过估算的训练感受其在实际生活中的意义. 重点：了解算术平方根的概念，会求一些非负数的算术平方根. 难点：会求一些非负数的算术平方根. 学习目标 结合第 1 课时的知识计算并思考下面的问题： 学校要举行美术作品比赛，小美画了一幅面积为25 dm² 的正方形油画，请问这幅正方形油画的边长是多少? 问题 1：这幅正方形油画的边长是多少? 由正方形的面积公式，通过平方和开平方互为逆运算推算， 且面积不能为负，所以得出这幅正方形油画的边长为 5 dm. 问题 2：你是怎么得出这个结果的呢? 5 dm 情境导入 1 算术平方根的概念和性质 计算下表中各正方形的边长： 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 正方形的边长/dm 1 3 4 6 问题 1：结合平方根的概念，回答各正方形的边长 与面积之间有什么关系? 问题 2：以上数据中，正方形的面积和边长的大小有什么关系? 正方形的边长是面积值的正平方根. 面积越大，边长越大. 探究新知 算术平方根的概念 概念 正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算术平方根. a 的算术平方根用 来表示 . 规定：0 的算术平方根是 0. 0的算数平方根也记为 性质 1：一个正数的算术平方根是正数. 性质 2：0 的算术平方根是 0. 性质 3：负数没有算术平方根. 性质 4：被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 知识要点 基本条件： 数的角度： 关系的角度： 形的角度： 怎么理解 (a≥0 ， ). 是一个非负数. 的平方是 a； 是 a 的算术平方根； 不计入 0， 是一个面积为正数 a 的正方形的边长. (x≥0，a≥0) (a≥0， ≥0) 咱俩都是非负数； 我是你的方，你是我的根； 根号我就是你； 我是完全平方数，你就是有理数， 否则，根号我就是你的样子 25是5的方，5是25的根 = 5 就是5 →5(有理数) 例1 求下列各数的算术平方根： 被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 总结 从小到大 解：(1) 因为 102 = 100，所以100 的算术平方根是10， (2) 因为 = ，所以 的算术平方根是 ， (3)因为 0.012 = 0.000 1，所以 0.000 1 的算术平方根是 0.01， (2) ； (1) 100； (3) 0.000 1. 即 = . 即 = . 即 = . 典例精析 1. 求下列各数的算术平方根. (3) ； (1) 121； (4) 0.25. (2) 0； 解：(1) 11. (2) 0 . (3) . (4)0.5. 2. 已知 3＋a 的算术平方根是 5，则 a 的值为 . 22 练一练 2 算术平方根的估算及大小比较 剪一剪，拼一拼：能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形剪拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？ 填空： 回忆三角形三边之间的关系， 究竟是一个怎么样的数？ 面积 dm2 边长 dm 1 2 1 算一算：估算 的大小. (1) 比较 1，，2 之间的大小； 因为 1² = 1，()² =2，2² = 4. 所以1<<2. (2) 比较1.4，，1.5 之间的大小； 因为1.4² = 1.96，1.5² =2.25. 所以1.4<<1.5. (3) 比较 1.41，，1.42 之间的大小. 因为1.41²=1.988 1，1.42² =2.016 4. 所以1.41<<1.42. 如此反复可确定出 更精确的估计范围，此种方法叫作“夹逼法”. 事实上， =1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数. 思考：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 你以前见过这样的数吗? 实际上，很多正有理数的算术平方根 (例如等)都是无限不循环小数. 想一想 用“夹逼法”求 近似值的步骤: (1)通过估算，确定 在哪两个连续整数之间； (2) 通过试算，确定 在哪两个连续的一位小数之间； (3)通过试算，确定 在哪两个连续的两位小数之间； ...... 如此反复，可求得 更精确的估计范围. 归纳总结 例2 (1) 估计与 最接近的两个整数是多少？ 解：因为 32 = 9，42 = 16， 所以 3 < < 4． 所以与 最接近的两个整数是 3 和 4. 典例精析 例2 (2) 估计与 最接近的一个整数是多少？ 解：因为 3 < < 4， 而 3.52 = 12.25， 所以 < 3.5 . 所以最接近 的整数是 3 . 太小 太大 3 用计算器求一个数的算术平方根 探索：用计算器求下列各式的值： (1) ；(2) = (精确到0.001) . 1.414 56 显示：56. 所以：56. 解：(1) 依次按键 1 3 3 6 = 显示：1.414213562. 所以：1.414. (2) 依次按键 2 = 当 “天问一号” 火星探测器的速度大于第二宇宙速度 v (单位：m/s) 时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v 的大小满足 v² = 2gR，其中 g 是地球表面的重力加速度，g ≈ 9.8 (单位：m/s2)，R 是地球半径， R ≈ 6.4×106 (单位：m). 怎样求 v 呢? 由 v² = 2gR 及 v 的实际意义，得 v = ， 其中 g ≈ 9.8 (单位：m/s2 )，R ≈ 6.4×106 (单位：m). 用计算器求得 v ≈ = 1.12×104. 因此，第二宇宙速度 v 约为 1.12×104 m/s，即 11.2 km/s. 合作探究 … … … … 规律：被开方数的小数点每向右移动 位，它的算术平方根的小数点就向右移动 位；被开方数的小数点每向左移动 位，它的算术平方根的小数点就向左移动 位. (1) 利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗? 算术平方根的规律 2 2 1 1 (2)用计算器计算 (精确到 0.001)，并利用你在 (1) 中发现的规律说出 的近似值. 你能根据 的近似值直接得到 的近似值是多少吗? 小数点只移动了一位，不符合规律...不能直接得到值. 例3 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长与宽的比为 3∶2. 但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗? 一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片. 他说得对吗？ 分析：可根据长宽之比为 3:2 和边长与面积的关系设方程，得到长方形的长和宽，再与正方形的边长作比较.估计边长的大小可用前面学习的方法. 解：设长方形的长为 3x cm，则宽为 2x cm. 根据边长与面积的关系，得 3x·2x = 300， 6x2 = 300， x2 = 50. 由边长的实际意义，得 x = . 因此长方形纸片的长为 cm. 因为 50 > 49，所以 > 7. 由上可知 3 > 21，即长方形纸片的长应该大于 21 cm. 因为 = 20，所以正方形纸片的边长只有 20 cm. 这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长. 答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片. 1. 比较下列各组数的大小. (1) 与 2.24； (2) 与 0.5； (3) 与 1. 解：(1) 因为 ()2 = 5，2.242 = 5.0176， 所以 < 2.24． (2) 因为()2 = 5，22 = 4，所以 ＞2. 所以1＞1. 所以 ＞ ，即 ＞0.5. (3) 因为()2 = 5，32 = 9，所以 ＜3. 所以1＜2. 所以 ，即 ＜1. 练一练 算术平方根 定义 表示 特征 如果一个正数 x 的平方等于 a，即________那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. a 的算术平方根记为________. 非负数 a 的算术平方根记作“_______”.读作“_______”，其中 a 叫作___________. 正数 a 的算术平方根是_______；0 算术平方根是_______； 负数没有算术平方根. x2 = a 根号 a 被开方数 0 当堂小结 1.4的算术平方根是(　B　) A. ±2 B. 2 C. －2 D. 2. 化简 的结果为(　D　) A. ±5 B. 25 C. －5 D. 5 B D 3. 下列说法正确的是(　A　) A. 0的算术平方根是0 B. 9是3的算术平方根 C. ±3是9的算术平方根 D. －3是9的算术平方根 A 当堂练习 4. 计算：(1)－ ＝ ⁠； (2) ＋ ＝ ⁠. 5. (1)若 ＋｜n｜＝0，则m＝ ，n＝ ⁠； (2)已知 ＋ ＝0，则(a－b)2025的值为 ⁠. －0.1　 9.2　 0　 0　 0　 6. 教材P42例3变式求下列各数(式）的算术平方根： (1)121；(2)2 ；　 (3) .∴121的算术平方根是11. 解：(1)因为112＝121， 所以121的算术平方根是11. (2)因为( )2＝ ＝2 ， 所以2 的算术平方根是 . (3) ＝ ， 又因为92＝81， ＝9.而32＝9， 的算术平方根是3. $$