7.1.2 两条直线垂直（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（人教版2024）

第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 第 2 课时 垂线 七年级下册数学（人教版） 1 1. 掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，掌握垂线的性质，会过一点画一条直线的垂线. 2. 通过探索垂线的性质，能解决相关的垂线问题，并能够进行简单的说理. 3. 体会垂线在实际问题中的应用，感受数学与生活的密切联系. 重点：垂线的概念、画法和垂线的两个性质. 难点：垂线的画法，理解点到直线的距离. 学习目标 知识链接 如图 ①，当直线 AB 绕点 O 逆时针旋转∠AOC = 90° 时(如图②)，你能求出其他角的度数吗? 此图形有什么特点? 此时两直线的位置有什么关系? A B O C D 图① A B O C D 图② 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 情境导入 日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？ 取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α . 转动木条的同时观察其夹角的变化. ） α a b b ） α ） α ） α 垂直、垂线、垂足的概念 1 b α 探究新知 α b ） α b a a 问题 2：木条 b 与 a 成 90° 的位置有几个?此时，木 条 b 与 a 所在的直线有什么位置关系? 问题1：在木条 b 的转动过程中，什么量也随之发生改变? a 与 b 所成的角也随之发生改变. 唯一一个，a 与 b 垂直. 合作探究 两条直线 a，b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫作这两条直线互相垂直，记作 a⊥b. 知识要点 垂足 A B O C D 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. A B C D O 符号语言： ①判定：如图，若直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOD = 90°，则 AB⊥CD，垂足为 O. 因为∠AOD = 90°（已知）， 所以 AB⊥CD（垂直的定义）. ②性质：若直线 AB⊥CD ，垂足为 O，则∠AOD = 90°. 因为 AB⊥CD（已知）， 所以∠AOD = 90°（垂直的定义）. (∠AOC = ∠BOC = ∠BOD = 90°) 垂直的判定与性质 符号语言： 思考：① 两条直线垂直和相交是什么关系? ① 垂直属于相交的特殊情况. 所有垂直的两条直线一定相交，但相交的两条直线不一定垂直. ② 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种： 相交和平行. ② 能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系 有 3 种：相交、平行、垂直? 想一想 思考：③ 如何判定两条射线垂直? 两条线段呢? ③ 如果两条射线所在的直线相交，并且所成的角为90°，那么这两条射线垂直. 将线段延长，使其成为直线，如果这两条直线相交且所成的角为90°，那么这两条线段垂直. 讨论：和同学讨论，试试举出生活中有关垂直的例子. 想一想 例1 (1)如图1，直线 m、n 交于点 O，∠1= 90°， 则 m n； (2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD， 则∠BOD =_____°； (3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，那么∠COA＝____°，∠BOC 的补角为 °. O m n 1 B C A O ⊥ 90 72 162 图1 图2 典例精析 画一画：用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线. (1) 经过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? (2) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? 垂线的画法及基本事实 2 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 1.放 l O 如图，已知直线 l，画 l 的垂线. A 无数条 2.靠 3.画 … l A B 1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 画 l 的垂线. 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 l M N 1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和 l 外的一点 M，过点 M 画 l 的垂线. 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 概念 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识要点 典例精析 A B 例 1 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线． P (1) A B P (2) 总结 过点画射线或线段的垂线，是指画点与射线、线段所在的直线的垂线. A B P (3) 垂线的性质及应用 3 讨论：(1) 你能将这个实际问题转化成数学问题吗？ 在灌溉时，要把河中的水引到菜地 P 处，如何挖掘能使渠道最短？ l P 在直线 l 上是否存在这样一点，它与点 P 的连线在所有连接直线 l 与点 P 的线段中长度最短？ 运用直尺测量发现，线段PO 的长度最短. 这样的线段 PO 只有一条. (2) 在直线上有无数个点，试着取几个点与点 P 相连，比较一下线段的长短．你有什么发现？ (3) 你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？ 合作探究 概念 垂线性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 线段 PO 的长度叫作点到直线的距离. (4) 你能用一句话总结出观察得出的结论吗？ (5) 如果图中的比例尺为 1:100 000，水渠大约要挖多长? (6) 与你的同桌讨论，试着列举生活中类似的实例. 图中 4.7 cm，实际 4700 m. 1. 如图，下列说法正确的是 （ ） A.线段 AB 叫做点 B 到直线 AC 的距离 B.线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 BC 的距离 C.线段 BD 的长度叫做点 D 到直线 BC 的距离 D.线段 BD 的长度叫做点 B 到直线 AC 的距离 A B C D D 思路点拨：紧扣定义解题. 练一练 1. 在数学课上，同学们在练习过点 B 作线段 AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，其中正确的是( ) A B C D A 当堂练习 3. 如图，已知 AB⊥BC，垂足为 B，AB = 3，点 P 是射线 BC 上的动点，则线段 AP 的长不可能是( ) A. 2.5 B. 3 C.4 D. 5 2.如图，从位置 P 到直线公路 MN 共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路 MN 的小道是( ) A. PA B. PB C. PC D. PD B A 4.【教材 P8 习题 T3 变式】如图，已知点 O 在直线AB 上，CO⊥DO 于点 O. 若∠1 = 150°，则∠3 的度数为( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 5. 如图，点 A 到 BC 的距离是线段 的长， BC 的长是点 到 直线 的距离. D AC B AC 6. 如图，在某村村头 P 处有一条河流，为方便出行，村民想在两岸搭起一座简易木桥，则在 处搭建最短. B 解：(1) 因为 OC⊥OD，所以∠COD = 90°. 因为∠AOB 是平角，所以 ∠AOB = 180°. 因为∠BOD = 32°， 所以∠AOC = 180° - ∠BOD - ∠COD = 58°. (2)因为∠COD = 90°，∠AOB =180°， 所以∠AOC +∠BOD = 180° - ∠COD = 90°. 又因为∠AOC : ∠BOD = 2 : 1，则∠AOC = 2∠BOD. 所以3∠BOD = 90°. 所以∠BOD = 30°. 7. 如图，O 是直线 AB 上的一点，OC⊥OD，垂足为 O . (1)若∠BOD = 32°，求∠AOC 的度数； (2)若∠AOC :∠BOD = 2 : 1，求∠BOD 的度数. A B C D O 垂线 垂线的定义 垂线 基本事实：在同一平面内，过一点_____________直线与已知直线垂直 性质:垂线段____ 垂线的画法 一放二靠三移四画 最短 有且只有一条 当堂小结 $$