专题05二倍角公式及三角恒等变换综合应用十种考法-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）（新高考地区专用）

专题05 二倍角公式及三角恒等变换综合应用十种考法 一、方法讲解 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （）， （）， （） 2.降幂公式与升幂公式 ； ． 3.其他常用变式 ． 4、给角求值： （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 5、给值求值： 三角函数的给值求值问题，主要应用和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式等将未知角的 三角函数转化为已知角的三角函数。因此，将未知角用已知角表示出来是解决此类问题的关键。当已知角只有一个时，则应考虑将未知角用已知角和常用角表示出来。 6、给值求角： 解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 7.三角恒等变进行换的关键 抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 二、重难点例题及变式 类型一、二倍角公式的正用 例．（1）（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意， . 故选：D. （2）（多选）设，则（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，， 若，则，矛盾，故D错误． 故选：BC. 【变式训练1】（多选）下列选项中，值为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：，故选项B符合题意； 选项C：，故选项C符合题意； 选项D：，故选项C符合题意. 故选：BCD. 【变式训练2】已知为锐角，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 类型二、二倍角公式的逆用与变用 例．（1）求值: . 【答案】 【解析】不妨设所求的值为,则, 由正弦的二倍角公式逆用有, 由诱导公式、二倍角公式及其逆用得 , 由两角和差的正弦公式得 . （2）已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故，解得或， 因为，所以，故， . 故选：A （3）已知，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 故选：D． 【变式训练1】若，则（  ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由，得， 即，即， 所以，所以， 则. 故选：C. 【变式训练2】已知，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 . 故选：B. 类型三、利用角的拆分求值 例．（1）若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∵， 故选：C. （2）若α为锐角，且，则cos2α＝（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴， 又，∴， ∴， ∴， 则． 故选：A． 【变式训练1】已知，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意得到进而得到，，从而有.∵， ∴， 则， ， ∴ ， 故选A. 【变式训练2】已知，则 . 【答案】 【解析】因为，则. 故答案为：. 类型四、给角求值 例．（1） ． 【答案】 【解析】 . 故答案为： （2） ． 【答案】 【解析】原式， 故答案为：. 【变式训练1】若是第二象限角，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，则， 所以，解得， 所以. 故选：D. 【变式训练2】求 . 【答案】 【解析】 故答案为：. 类型五、给值求值 例．（1）若，则的值为___________. 【答案】1或 【解析】, 所以或， 时，； 时，． 故答案为：1或． （2）已知，，则 . 【答案】 【解析】因为，则， 显然，可得， 整理得，解得或， 又因为，则，可得， 所以. 故答案为：. 【变式训练1】已知，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以 ， 故答案为： 【变式训练2】已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，即， 所以， 故选：D 类型六、给值求角 例．（1）已知，均为锐角，，，则 ， . 【答案】 【解析】因为， 所以， 又因，均为锐角，所以，则， 所以，所以，， 又因，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 【变式训练1】若，且，则的值为 ． 【答案】或 【解析】由，得， 即， 当时，，即，由，得； 当时，，所以， 即，由，得，所以，得． 故的值为或． 故答案为：或. 【变式训练2】已知，，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 则， 可知，，则， 又因为， 可得， 所以. 故选：D. 类型七、二倍角公式的证明与化简 例．（1）______． 【答案】 【解析】 ． 故答案为： （2）=______． 【答案】1 【解析】原式 . 故答案为：1 【变式训练1】__________. 【答案】4 【解析】 . 故答案为：4． 【变式训练2】化简 ． 【答案】 【解析】原式 ， 因为， 所以． 所以原式． 故答案为： 【变式训练3】若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得 . 故选：A. 类型八、利用三角恒等变换公式解决实际问题 例．如图，四边形ABCD是一块边长为2m的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为1.8m，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一点，，工人师傅想在末被腐蚀部分截下一个边在BC与CD上的矩形铁皮． (1)将矩形铁皮PQCR的面积表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当的值取多少时，矩形铁皮PQCR的面有最大值. 【答案】(1)，其中；(2) 【解析】(1)依题意得： 矩形铁皮PQCR的面积为： ，其中； (2)令 则 开口向上，对称轴， 当，即时，. 【变式训练1】有一个半径为，圆心角的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形. 方案1：如图1，裁剪出的矩形的顶点在线段上，点在弧上，点D在线段OM上； 方案2：如图2，裁剪出的矩形的顶点分别在线段上，顶点在弧上，并且满足，其中点为弧的中点. (1)按照方案1裁剪，设，用表示矩形的面积，并求出其最大面积； (2)按照方案2裁剪，求矩形PQRS的最大面积，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形. 【答案】(1)，最大值为；(2)，方案1 【解析】(1)由图1知：， 则， 所以矩形的面积为：， ， ， ， ， ， 当，即，矩形面积取得最大值为； (2)由图2知：设 ，则， ， 所以矩形的面积为：， ， ， ， ，， 当，即，矩形面积取得最大值为； 因为， 所以方案1可以裁剪出面积最大的矩形； 类型九、三角恒等变换综合应用 例．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意， ， 而 . 故选：D 【变式训练1】已知为锐角，且，则 ． 【答案】 【解析】因为， 即， 且为锐角，则， 可知，则， 可得， 所以. 故答案为：. 【变式训练2】已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 类型十、与其他章节融合 例．（多选）已知函数，且对于任意，都有，则下列说法正确的是（  ） A．的最小正周期为π B．的表达式可以写成 C．在区间上单调递增 D．若，则 【答案】AD 【解析】 ， 又，则是函数的对称中心， 所以，即 又，， ， 所以的最小正周期，故A正确； 因为，故B错误； 令，， 即，， 解得，，所以函数的单调递增区间为，， 当时，单调递增区间为，因为，故C错误； 对于D：若，即， 所以 ，故D正确； 故选：AD 【变式训练1】函数，则下列结论正确则下列结论正确的是（  ） A．的最大值为，最小正周期为 B．的图像向右平移个单位后得到一个偶函数的图像 C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称 【答案】B 【解析】； 对于A，当时，，A错误； 对于B，，又，为偶函数， 的图像向右平移个单位后得到一个偶函数的图像，B正确； 对于CD，当时，，又，图像关于点对称，不是的对称轴，CD错误. 故选：B. 【变式训练2】已知向量，函数. (1)求的最小正周期; (2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）， 的最小正周期； （2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点， 令， 作出的图象与直线，如图. 由图知，当时，的图象与直线有两个交点， 实数的取值范围为. 【变式训练3】已知．若的最小正周期为． (1)求的表达式和的递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） ；（2）当时，函数取最大值，最大值为1，当时，函数取最小值，最小值为 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 因为的最小正周期为，， 所以，所以， 所以， 令，，可得，， 所以函数的单调递增区间为， （2）因为， 所以， 所以，即， 所以当时，函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为 三、能力测试练 1．已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，即，由余弦的二倍角公式可得：，因为，所以，所以， 故选：B 2．已知，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，则， 又，，所以，所以，则， 又. 故选：D. 3．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 4．已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以， 又， 所以， 故选：C. 5．（多选）由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n(n∈N*)多项式使得Pn(t)＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋antn(a0，a1，a2，…，an∈R)，使得cosnx，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多项式．则（  ） A．P3(t)＝4t3－3t B．当n≥3时， C． D． 【答案】AD 【解析】因为， 所以，即，故选项A正确； 令，则，则，则，即选项B错误； 令，则，可得，由B知，所以选项C错误； 因为，所以， 由A可得， 而，故即， 所以（负根舍去）即选项D正确． 故选：AD． 6.（多选）若，则的值可能为（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 【答案】ACD 【解析】 由，可得 所以，可得， 令且， 则， 解得或或，即或或. 故选：ACD. 7.计算：___________. 【答案】## 【解析】 . 故答案为： 8．已知，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 即，所以， 所以 . 故答案为：. 9．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求的最大值，并求当取得最大值时x的值． 【答案】（1） ；（2）的最大值为，此时． 【解析】（1）因为 ， 所以的最小正周期为， 令，解得， 所以的单调递增区间为． （2）因为，所以， 所以，所以， 当，即时，， 所以的最大值为，此时． 10．如图，已知直线，A是之间的一定点，并且点A到，的距离分别为和2.B，C分别是直线上的动点，且，设，. (1)写出关于x的函数解析式； (2)求函数的最小值及相对应的x的值. 【答案】(1)，；(2)时，. 【解析】(1) 依题意，，而，，，则， 由知，点B，C在直线DE同侧，均为锐角，则有， 在中，，在中，，则， 所以，. (2) 由(1)得： 因，即，当，即时，取最大值1， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二倍角公式及三角恒等变换综合应用十种考法 一、方法讲解 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （）， （）， （） 2.降幂公式与升幂公式 ； ． 3.其他常用变式 ． 4、给角求值： （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 5、给值求值： 三角函数的给值求值问题，主要应用和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式等将未知角的 三角函数转化为已知角的三角函数。因此，将未知角用已知角表示出来是解决此类问题的关键。当已知角只有一个时，则应考虑将未知角用已知角和常用角表示出来。 6、给值求角： 解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 7.三角恒等变进行换的关键 抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 二、重难点例题及变式 类型一、二倍角公式的正用 例．（1）（  ） A． B． C． D． （2）（多选）设，则（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】（多选）下列选项中，值为的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知为锐角，，则（  ） A． B． C． D． 类型二、二倍角公式的逆用与变用 例．（1）求值: . （2）已知，则（  ） A． B． C． D． （3）已知，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】若，则（  ） A． B． C．2 D． 【变式训练2】已知，则的值为（  ） A． B． C． D． 类型三、利用角的拆分求值 例．（1）若，则的值为（  ） A． B． C． D． （2）若α为锐角，且，则cos2α＝（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知，则 . 类型四、给角求值 例．（1） ． （2） ． 【变式训练1】若是第二象限角，，则（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】求 . 类型五、给值求值 例．（1）若，则的值为___________. （2）已知，，则 . 【变式训练1】已知，则 ． 【变式训练2】已知，则（  ） A． B． C． D． 类型六、给值求角 例．（1）已知，均为锐角，，，则 ， . 【变式训练1】若，且，则的值为 ． 【变式训练2】已知，，，则的值是（  ） A． B． C． D． 类型七、二倍角公式的证明与化简 例．（1）______． （2）=______． 【变式训练1】__________. 【变式训练2】化简 ． 【变式训练3】若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 类型八、利用三角恒等变换公式解决实际问题 例．如图，四边形ABCD是一块边长为2m的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为1.8m，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一点，，工人师傅想在末被腐蚀部分截下一个边在BC与CD上的矩形铁皮． (1)将矩形铁皮PQCR的面积表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当的值取多少时，矩形铁皮PQCR的面有最大值. 【变式训练1】有一个半径为，圆心角的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形. 方案1：如图1，裁剪出的矩形的顶点在线段上，点在弧上，点D在线段OM上； 方案2：如图2，裁剪出的矩形的顶点分别在线段上，顶点在弧上，并且满足，其中点为弧的中点. (1)按照方案1裁剪，设，用表示矩形的面积，并求出其最大面积； (2)按照方案2裁剪，求矩形PQRS的最大面积，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形. 类型九、三角恒等变换综合应用 例．若，则（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知为锐角，且，则 ． 【变式训练2】已知，则（  ） A． B． C． D． 类型十、与其他章节融合 例．已知函数，且对于任意，都有，则下列说法正确的是（  ） A．的最小正周期为π B．的表达式可以写成 C．在区间上单调递增 D．若，则 【变式训练1】函数，则下列结论正确则下列结论正确的是（  ） A．的最大值为，最小正周期为 B．的图像向右平移个单位后得到一个偶函数的图像 C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称 【变式训练2】已知向量，函数. (1)求的最小正周期; (2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【变式训练3】已知．若的最小正周期为． (1)求的表达式和的递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 三、能力测试练 1．已知，，则（  ） A． B． C． D． 2．已知，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．若，则（  ） A． B． C． D． 4．已知，则（  ） A． B． C． D． 5．（多选）由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n(n∈N*)多项式使得Pn(t)＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋antn(a0，a1，a2，…，an∈R)，使得cosnx，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多项式．则（  ） A．P3(t)＝4t3－3t B．当n≥3时， C． D． 6.（多选）若，则的值可能为（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 7.计算：___________. 8．已知，则 ． 9．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求的最大值，并求当取得最大值时x的值． 10．如图，已知直线，A是之间的一定点，并且点A到，的距离分别为和2.B，C分别是直线上的动点，且，设，. (1)写出关于x的函数解析式； (2)求函数的最小值及相对应的x的值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$