精品解析：陕西省渭南市2025届高三下学期联考联评模拟试题（三）（二模）数学试题

2025届高三联考联评模拟试题（三） 数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 4 C. D. 3. 下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数为奇函数，则的值是（ ） A. 3 B. 1或3 C. 2 D. 1或2 5. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 某同学掷一枚正方体骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为2，方差为0.4，可判断这组数据的众数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是实数 B. 若为虚数，则是虚数 C. 对于任意的复数都是实数 D. 10. 已知直线，圆和抛物线，则（ ） A. 直线过抛物线的焦点 B. 直线与圆相交 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 圆与抛物线的公共弦长为 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､下列说法正确的是（ ） A. 曲线有4条对称轴 B. 曲线内有9个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 若是曲线上的任意一点，则的最大值为5 D. 设直线与曲线交于两点，则的最大值为4 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为__________. 14. 如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态.假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 16. 甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. （1）若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； （2）求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 17. 如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，为的中点，，侧面底面. （1）证明：； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的上顶点为，离心率为是椭圆上不与点重合的两点，且. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最大值. 19. 若是递增数列，数列满足对任意的，存在，使得，则称是的“分割数列”. （1）设，证明：数列是数列的“分割数列”； （2）设是数列的前项和，，判断数列是否是数列的“分割数列”，并说明理由； （3）设且，数列的前项和为，若数列是的“分割数列”，求实数的取值范围. （附：当时，若，则） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三联考联评模拟试题（三） 数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的补集、交集运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以， 故选：D 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示求解． 【详解】由题意， 又，所以，解得， 故选：B． 3. 下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的焦点在y轴即可排除AB，再分别求出CD选项的渐近线方程即可得答案. 【详解】因为双曲线的焦点在y轴，故AB错误； 对于C，双曲线的渐近线方程为，故C错误； 对于D，双曲线的渐近线方程为，故D正确. 故选：D. 4. 已知函数为奇函数，则的值是（ ） A. 3 B. 1或3 C. 2 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数在原点处有意义则求出的值，再将的值代回原函数检验即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 解得或. 当时，，，故不合题意，舍去； 当时，，，故符合题意. 故选：C. 5. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性与单调性判断． 【详解】选项A中，选项B中，选项C中，选项D中，排除AB， 时，，递减，则递增， 时，，递增，则递减， 故选：C． 6. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】， 由余弦定理得， 解得，舍去， 则的面积为. 故选：A. 7. 某同学掷一枚正方体骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为2，方差为0.4，可判断这组数据的众数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设五个点数为，由平均数，方差计算公式可分析出，5个点数不可能全为2，然后通过列举可得答案. 【详解】不妨设五个点数为，由题意平均数为2，方差为0.4， 知. 可知五次的点数中最大点数不可能为4，5，6. 五个点也不可能都是2，则五个点数情况可能是3，3，2，1，1，其方差为 ，不合题意. 若五个点数情况为3，2，2，2，1，其方差为 ，符合题意，其众数为2. 故选：B. 8. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的图象可得是函数的极小值点，求出值，再解不等式. 【详解】观察图象知，是函数的极小值点，求导得， 则，解得，当时，；当时，， 则是函数的极小值点，，， 不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是实数 B. 若为虚数，则是虚数 C. 对于任意的复数都是实数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，，代入进行验证． 【详解】设， 选项A，若，则，不一定是实数，A错； 选项B，是虚数，则，，但，是虚数，B正确； 选项C，是实数，C正确； 选项D，设，则 ，D正确； 故选：BCD． 10. 已知直线，圆和抛物线，则（ ） A. 直线过抛物线的焦点 B. 直线与圆相交 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 圆与抛物线的公共弦长为 【答案】B 【解析】 【分析】对于A将抛物线的焦点代入直线方程即可判断，对于B求出直线的定点代入圆的方程即可判断，对于C圆心到直线的距离公式有即可得弦长即可分析，对于D将圆的方程与抛物线方程联立即可求得交点，由两点间的距离公式即可求解. 【详解】对于A：抛物线的焦点为代入直线得，所以直线过抛物线的焦点，当时，直线不过抛物线线的焦点，故A错误； 对于B：直线，令得，将代入圆有， 所以点在圆的内部，所以直线与圆相交，故B正确； 对于C：直线的定点为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交弦长为，当时，，故C错误； 对于D：由或（舍去）当时，， 所以圆与抛物线的公共弦长为，故D错误， 故选：B. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､下列说法正确的是（ ） A. 曲线有4条对称轴 B. 曲线内有9个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 若是曲线上的任意一点，则的最大值为5 D. 设直线与曲线交于两点，则的最大值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出曲线对称轴判断A；求出曲线的范围并求出整点判断B；令，与曲线的方程联立，利用判别式求出最大值判断C；联立直线与曲线方程，利用弦长公式，结合基本不等式求出最大值判断D. 【详解】对于A，点是曲线上任意点，显然都满足曲线的方程， 因此曲线关于轴、轴、直线、直线都对称，A正确； 对于B，由，得， 解得，同理，因此曲线在两组平行直线所围成的正方形及内部， 而点中，任意一点坐标都使， 因此曲线内有9个整点，B正确； 对于C，由曲线的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值， 此时方程为，令，将代入， 得，故，解得， 因此的最大值为，C错误； 对于D，由消去得，解得， 则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的余弦公式及正切二倍角公式即可求解； 【详解】由， 可得：， 所以， 所以， 故答案为： 13. 已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】取正三棱锥的底面中心为，设外接球的球心为，先由三棱锥的体积求出正三棱锥的高，再由勾股定理求出球的半径，最后求出表面积即可. 【详解】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上. 设正三棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正三角形的面积为， 所以，解得， 球心到底面的距离为，， 由，得，得， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 14. 如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态.假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为__________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据相邻原则把9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区，然后由题意分别按各类中的两个保持灯区最终仍处于“点亮”状态，由此求得方法数，再求得总的方法数，最后由概率公式计算概率． 【详解】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有种按法， 与相邻的灯区为，与相邻的灯区为，将9个灯区分为三类： 第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区， 若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区． ①若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ②若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ③若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法， 所以灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：把9个灯区分成、、三类是求解问题的关键. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求出导函数后计算，再求得，可得切线方程； （2）由确定增区间，由确定减区间后得极值点，计算出极值与端点处函数值比较后得最值． 【小问1详解】 ， ， ， 所求切线方程为. 【小问2详解】 由（1）知， 令，得或； 令，得. 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又， 函数在上的最小值为，最大值为. 16. 甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. （1）若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； （2）求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由独立事件乘法公式即可求解； （2）由条件概率求解即可； 【小问1详解】 若混双比赛抽签排到最后，则甲学校在前3场比赛中获胜的概率均是. 所求概率为. 【小问2详解】 设事件表示“混双比赛在前3场进行”，事件表示“甲学校前3场比赛结束就获胜”， 则， ， . 17. 如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，为的中点，，侧面底面. （1）证明：； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直求证平面即可； （2）求证即可建立坐标系，再分别求两个平面的法向量. 【小问1详解】 证明：等边三角形中，为中点，， 侧面底面，侧面底面， 又平面平面， 又平面. 【小问2详解】 在中，， ， . 由（1）知，平面， 又平面， 两两垂直， 以分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则不妨取，则， 平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则不妨取，则， 平面的一个法向量为. 记平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的上顶点为，离心率为是椭圆上不与点重合的两点，且. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到的方程组，求解即得； （2）设直线的方程为：，联立椭圆方程，由韦达定理，结合，即可求得的值，从而得解； （3）由弦长公式，结合三角形面积公式及函数单调性即可求解. 【小问1详解】 依题意有解得， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图，当直线的倾斜角为时，显然不合题意； 设直线的方程为：. 联立消去得. ，即. . ， 又， ， ， 即， ，解得或（舍）. 直线的方程为：，即直线过定点. 【小问3详解】 点到直线的距离， ， 的面积 令，则， ， 因函数在上单调递减；在上单调递增， 所以当时，取得最小值为，即， 故， 即面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：（2）题的关键在于根据，利用向量点乘和韦达定理配合，推理得到，有一定的运算量；（3）题的关键在于利用弦长公式和面积公式求得的表达式后，需要换元，将问题转化成利用对勾函数单调性求解的最值问题. 19. 若是递增数列，数列满足对任意的，存在，使得，则称是的“分割数列”. （1）设，证明：数列是数列的“分割数列”； （2）设是数列的前项和，，判断数列是否是数列的“分割数列”，并说明理由； （3）设且，数列的前项和为，若数列是的“分割数列”，求实数的取值范围. （附：当时，若，则） 【答案】（1）证明见解析 （2）不是，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由新定义，可得，求得，即可得证； （2）运用等差数列的求和公式，结合新定义，即可判断； （3）由题意，可得，结合新定义，加以恒成立思想，解不等式即可得到范围． 【小问1详解】 若是递增数列，且， 则， ，且，即. ， ，即， 对任意的，存在，使得. 是的“分割数列”. 【小问2详解】 . 假设是的“分割数列”，则对任意的，存在，使得， ，即， 当时，， 易知在上单调递增， ， 满足条件的正整数不存在， 不是的“分割数列”. 【小问3详解】 是的“分割数列”，， 是递增数列， . ，即， 即， 即， ， 记，则. 下面分析的取值范围. 因为，单调递减，单调递增， 所以为减函数，且时，， . （i）当时，， ， 总存在满足条件，符合题意. （ii）当时，，根据函数零点存在定理， 并结合的单调性可知，存在唯一正整数，使得， 此时有，则， 即，显然不存在满足条件的正整数. 综上，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是对新定义“分割数列”的理解和运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $