精品解析：上海市行知中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

上海市行知中学 2024 学年高二第二学期第一次月考数学试卷 一、填空题（本题满分 54 分，共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分） 1. 函数的导数______. 2. 若事件E与F相互独立，且，则______． 3. 现有一组数据:3，4，6，8，9，10，12，13，其第 60 百分位数为_____. 4. 数列的前项和为，若，则_____. 5. 若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____. 6. 已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 _____. 7. 已知某商品的成本 和产量 满足关系 ，该商品的销售单价 和产量 满足关系式 ，则当产量 等于_____时，利润最大. 8. 设 ，若直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，且 与圆 相交所得弦长为 4， 为坐标原点，则 面积的最小值为_____. 9. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是_____. 10. 已知袋中有（为正整数）个大小相同的编号球，其中黄球7个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为_____. 11. 设 ，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是_____． 12. 函数 的表达式为 ，如果 且 ，则 的取值范围为_____. 二. 选择题（本题满分 18 分，共有 4 题，13-14 每题 4 分，15-16 每题 5 分） 13. 已知向量，满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 14. 已知数列 满足 ，且，则（ ） A B. C. D. 15. 甲乙两台机床同时生产一种零件，天中，两台机床每天产品的次品数的茎叶图如图所示，下列判断错误的是（ ） A. 甲的中位数大于乙的中位数 B. 甲的众数大于乙的众数 C. 甲的方差大于乙的方差 D. 甲的性能优于乙的性能 16. 已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）个. （1）函数 一定存在极大值和极小值； （2）函数 的图象是中心对称图形； （3）若函数 在 上是增函数，则 ； （4）函数的图象在点 处的切线与 的图象必有两个不同的公共点. A 1 B. 2 C. 3 D. 4 三. 解答题（本题满分 78 分，共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定 区域内写出必要的步骤） 17. 如图，在长方体 中，，， . （1）证明: 平面 ； （2）求直线与平面所成角的大小. 18. 已知数列 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 72 . 数列 是公比大于 0 的等比数列， . （1）求数列 和 的通项公式； （2）将 和 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 ，求数列 的前 200 项和 . 19. 某校近期举行了“新闻时事知识竞赛”，现在随机抽查参赛 200 名学生的得分 （满分 100 分）， 按照 制作成如图所示的频率分布直方图，已知 成等差数列. （1）求出 值，并计算参赛得分在 的学生人数； （2）学校为进一步了解学生对新闻时事获取的途径，准备从得分在与 的学生中按分层抽样的方法抽出6名学生，然后从中再选出3名学生交流新闻时事获取的途径，求这3人中恰有1人的得分在内的概率. 20. 已知 是以 为焦点的抛物线 是离心率为 ，以 为焦点的双曲线，且 与 在第一象限有两个公共点 . （1）求双曲线 的标准方程； （2）求 的最大值； （3）是否存在 ，使得此时 的重心 恰好在双曲线 的渐近线上? 若存在 ，求出 的值: 若不存在，请说明理由. 21 设函数 . （1）求函数 在 处的切线方程； （2）当 时，求函数 的单调区间和极大值； （3）证明: 不等式 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市行知中学 2024 学年高二第二学期第一次月考数学试卷 一、填空题（本题满分 54 分，共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分） 1. 函数的导数______. 【答案】 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数公式求解即可. 【详解】∵， ∴由基本初等函数的导数公式. 故答案为：. 2. 若事件E与F相互独立，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式进行求解即可. 【详解】因为事件E与F相互独立，且， 所以， 故答案为： 3. 现有一组数据:3，4，6，8，9，10，12，13，其第 60 百分位数为_____. 【答案】9 【解析】 【分析】根据百分位数的求法，即可求得答案. 【详解】数据:3，4，6，8，9，10，12，13，已按从小到大排列， 由于， 故第 60 百分位数为9， 故答案为：9 4. 数列的前项和为，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用裂项相消法即可求解. 【详解】因为， 所以． 故答案为：． 5. 若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____. 【答案】-5 【解析】 【分析】由题意可求得n的值，利用二项式展开式的通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意知二项式 的展开式共有 6 项，故， 则二项式的通项公式为， 令，故含的项的系数为， 故答案为：-5 6. 已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】因为点在平面上的射影分别为， 所以， 则，所以. 故答案为： 7. 已知某商品的成本 和产量 满足关系 ，该商品的销售单价 和产量 满足关系式 ，则当产量 等于_____时，利润最大. 【答案】 【解析】 【分析】先求得利润的表达式，然后利用导数求得正确答案. 【详解】依题意，即，解得. 依题意可知，利润， ，令，解得（负根舍去）， 所以在上，单调递增； 在区上，单调递减. 所以当时，利润最大. 故答案为： 8. 设 ，若直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，且 与圆 相交所得弦长为 4， 为坐标原点，则 面积的最小值为_____. 【答案】5 【解析】 【分析】先由几何法求出圆心到直线的距离，再结合基本不等式求解即可. 【详解】圆 ，圆心为，半径为， 设 与圆 相交所得弦长为 4， 由几何法求得圆心到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离为，即， 又， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：5 9. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】参变分离，构造新函数，求其最小值即可. 【详解】因为在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 因为， 因为，所以，而，即， 所以在上，单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 10. 已知袋中有（为正整数）个大小相同编号球，其中黄球7个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型得到，再令，利用导数法求其最小值即可. 【详解】， 令，则， 当时，；当时，， 当时，，当时，， 所以当或时，， 所以， 故答案为：. 11. 设 ，椭圆离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出椭圆与双曲线共焦点及，由得出，再根据，且得出，即可得出，进而得出的范围． 【详解】由题意知椭圆的，双曲线的， 所以椭圆与双曲线共焦点，设，则， 所以， 因为，所以， 设，则，解得，即， 又因为，且，所以， 所以，则， 故答案为：． 12. 函数 的表达式为 ，如果 且 ，则 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】令，求导通过极值求得的范围，再结合一元三次方程韦达定理即可求解. 【详解】，求导可得：， 令可得：或， 令，可得， 所以在单调递增；在单调递减； 所以极大值为，极小值为， 令 ，则， 令，则为方程的3个根， 所以， 展开可得： 所以， 所以， 故答案为： 二. 选择题（本题满分 18 分，共有 4 题，13-14 每题 4 分，15-16 每题 5 分） 13. 已知向量，满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以. 故选：D. 14. 已知数列 满足 ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得出是以为首项，公比为的等比数列，写出数列的通项公式即可求解． 【详解】由，得， 又，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 所以， 故选：A． 15. 甲乙两台机床同时生产一种零件，天中，两台机床每天产品的次品数的茎叶图如图所示，下列判断错误的是（ ） A. 甲的中位数大于乙的中位数 B. 甲的众数大于乙的众数 C. 甲的方差大于乙的方差 D. 甲的性能优于乙的性能 【答案】D 【解析】 【分析】将甲、乙两台机床产品的次品数由小到大分别进行排列，利用中位数的定义可判断A选项；利用众数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用平均数可判断D选项. 【详解】甲机床每天产品的次品数由小到大分别为：、、、、、、、、、， 乙机床每天产品的次品数由小到大分别为：、、、、、、、、、， 对于A选项，甲的中位数为，乙的中位数为， 所以，甲的中位数大于乙的中位数，A对； 对于B选项，甲的众数为，乙的众数为，所以，甲的众数大于乙的众数，B对； 对于CD选项，甲的平均数为， 乙的平均数为， 甲的方差为， 乙的方差为， 所以，甲的方差大于乙的方差，乙的性能优于甲的性能，C对D错. 故选：D. 16. 已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）个. （1）函数 一定存在极大值和极小值； （2）函数 的图象是中心对称图形； （3）若函数 在 上是增函数，则 ； （4）函数的图象在点 处的切线与 的图象必有两个不同的公共点. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先求函数的导数，再根据极值点与导数的关系，判断（1），（3）；证明，判断（2）；令，求切线与的交点个数，判断（4）. 【详解】对于（1），的恒成立，故必有两个不等实根，不妨设为，且， 令，得或，令，得， ∴函数在上单调递减，在和上单调递增， ∴当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，故（1）正确； 对于（2），易知两极值点的中点坐标为， 又， ∴， ∴函数的图象关于点成中心对称，故（2）正确； 对于（3），令，则，，易知， ∴，故（3）正确； 对于（4），令得，在处切线方程为， 且有唯一实数解，即在处切线与图象有唯一公共点，故（4）错误； 故选：C 三. 解答题（本题满分 78 分，共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定 区域内写出必要的步骤） 17. 如图，在长方体 中，，， . （1）证明: 平面 ； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【小问1详解】 由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 由，，有， 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 则， 所以直线与平面所成的角为． 18. 已知数列 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 72 . 数列 是公比大于 0 的等比数列， . （1）求数列 和 的通项公式； （2）将 和 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 ，求数列 的前 200 项和 . 【答案】（1）； （2）38583 【解析】 【分析】（1）由等差数列的求和公式和基本量法求出数列 的通项公式，由等比数列下标的性质和基本量法求出； （2）先求出数列 的组成，再由等比和等差数列的求和公式计算即可. 【小问1详解】 因为数列 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 72， 所以，即， 所以； 因为数列 是公比大于 0 的等比数列， ， 所以，解得（舍去）， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以前200项中中有5项，其和为， 中有前有195项，和为， 所以 19. 某校近期举行了“新闻时事知识竞赛”，现在随机抽查参赛的 200 名学生的得分 （满分 100 分）， 按照 制作成如图所示的频率分布直方图，已知 成等差数列. （1）求出 的值，并计算参赛得分在 的学生人数； （2）学校为进一步了解学生对新闻时事获取的途径，准备从得分在与 的学生中按分层抽样的方法抽出6名学生，然后从中再选出3名学生交流新闻时事获取的途径，求这3人中恰有1人的得分在内的概率. 【答案】（1）；人； （2） 【解析】 【分析】（1）利用矩形面积之和为1和 成等差数列可得的值，再利用频数等于频率乘以总数来求参赛得分在的学生人数； （2）由古典概型的概率公式结合组合的知识即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，且， 解得，则参赛得分在 的学生人数为人. 【小问2详解】 由题意可知，得分在与 的人数之比为， 故从得分在的学生中抽取人， 在得分 的人中抽取人， 从中再选出3名学生交流新闻时事获取的途径的情况有种基本情况， 其中恰有1人的得分在内的有种基本情况， 则这3人中恰有1人的得分在内的概率为. 20. 已知 是以 为焦点的抛物线 是离心率为 ，以 为焦点的双曲线，且 与 在第一象限有两个公共点 . （1）求双曲线 标准方程； （2）求 的最大值； （3）是否存在 ，使得此时 的重心 恰好在双曲线 的渐近线上? 若存在 ，求出 的值: 若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）10 （3）不存在；理由见解析 【解析】 【分析】（1）设双曲线的方程，利用双曲线的焦点坐标和离心率建立方程组，即可求得双曲线的方程； （2）设点、，其中，，将抛物线与双曲线的方程，由求出正数的取值范围，列出韦达定理，将表示的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得的最大值； （3）求出重心的坐标，将点的坐标代入直线的方程，求出正数的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为双曲线焦点是， 故双曲线焦点在轴上， 于是可设双曲线的方程为， 且该双曲线的离心率为， 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为. 【小问2详解】 抛物线的焦点为， 设点、，其中， 联立， 可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，因为，解得， 由韦达定理可得，，， 所以， ，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为10. 【小问3详解】 由（2）可知，的重心为， 且， ， 故点， 因为点为第一象限内的点， 故点在直线上， 所以， 因为，解得， 又，所以不存在. 因此，不存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上． 21. 设函数 . （1）求函数 在 处的切线方程； （2）当 时，求函数 的单调区间和极大值； （3）证明: 不等式 . 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导可得，根据导数的几何意义分析求解； （2）利用导数分析单调性和极值即可； （3）对函数，利用导数可证，结合（2）可得，令，，结合累加法分析证明. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，， 则， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 当 时，求函数 ，定义域， ，令， 所以当时，，为单调递增函数；当时，，为单调递减函数， 极大值为. 【小问3详解】 由（1）可知：的定义域为，， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减； 则，即， 可得， 由（2）可得，即， 所以， 取得：， 令， 则， 可得， 又因为， 则 ， 可得，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $