精品解析：河北省廊坊市三河市2024-2025学年 上学期期末考试八年级数学试题

2024－2025学年度第一学期期末考试 八年级数学试题 注意事项：1．本次考试试卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．用蓝、黑色钢笔或圆珠笔答卷，答卷前，务必将密封线内的各项填写清楚． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此即可逐项分析判断即可． 【详解】解：A． 是轴对称图形，本选项符合题意； B． 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C． 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D． 不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（　　） A. x•x＝2x B. x+x＝2x C. （x3）3＝x6 D. （2x）2＝2x2 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可. 【详解】解：A．x•x＝x2，故本选项不合题意； B．x+x＝2x，故本选项符合题意； C．（x3）3＝x9，故本选项不合题意； D．（2x）2＝4x2，故本选项不合题意. 故选：B. 【点睛】此题考查整式的计算法则：同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则，掌握各计算公式是解题的关键. 3. 小芳有两根长度为6cm和10cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（ ）的木条 A. 2cm B. 3cm C. 8cm D. 17cm 【答案】C 【解析】 【分析】设木条的长度为xcm，由三角形的三边关系得出x的取值范围，进而求解． 【详解】设木条的长度为xcm，则10-6＜x＜10+6，即4＜x＜16． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 4. 已知（a＋b）2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝（ ） A. 24 B. 48 C. 12 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键． 5. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 6. 下列分式从左到右变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C符合题意； D．，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 7. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将图1中的阴影部分沿虚线剪开，拼成图2的长方形，根据图形的变化过程写出一个正确的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易求出图（1）阴影部分的面积＝a2−b2，图（2）中阴影部分进行拼接后，长为a＋b，宽为a−b，面积等于（a＋b）（a−b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】图（1）中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2−b2； 图（2）中阴影部分为矩形，其长为a＋b，宽为a−b，则其面积为（a＋b）（a−b）， ∵前后两个图形中阴影部分的面积， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系． 8. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：．，等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，是用完全平方公式进行的因式分解，故该选项符合题意； 故选：D. 9. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．分别求出，的大小，可得结论． 【详解】解：，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， ， 故选：C 10. 某中学有名学生进行消防疏散演习，通过对比发现：经消防专家指导后，平均每分钟撤离的人数是指导前的倍，这名同学全部撤离的时间比指导前快分钟．设指导前平均每分钟撤离人，由此可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设指导前平均每分钟撤离人，由题意列出方程即可，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 【详解】解：设指导前平均每分钟撤离人， 由题意得：， 故选：． 11. 如图，中，，，、分别平分、，过点作直线平行于，交、于、，则的周长为（ ） A. 9 B. 11 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定，通过等量代换证明，，进而得出，，即可求解． 【详解】解： ， ，， 中，和的平分线相交于点， ，， ，， ，， ，， 的周长为：． 故选：C． 12. 如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于M，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴，故①错误； 过O点作于P， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N，于M， ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质定理，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点关于坐标轴对称，根据点关于x对称的特征，横坐标不变，纵坐标变成相反数，即可得到答案； 【详解】解：∵点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数； ∴点关于轴对称的点的坐标是． 14. 把多项式分解因式的结果是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先提取公因式2，再利用完全平方公式分解． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键． 15. 若分式的值为零，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 16. 如图，在中，，，平分交于点，如果，为上一动点，那么的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质和垂线段最短，根据垂线段最短找到点P，进而即可得到答案； 【详解】解：根据垂线段最短作如图； ∵，， ∴， ∵平分， ∴, 在中，， ∴, 故答案为：5 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据整数的化简和简便运算，一步步计算即可； （2）根据分式方程的解法步骤，先找到最简公分母，再一步步计算即可，主要要检验； 【详解】解：（1） ， ， ； （2）， 两边同时乘以， ， ， ， ， 检验：时，， ∴原分式方程的解为． 【点睛】本题主要考查了整式的化简，完全平方公式和分式方程的解法，解决此题的关键是要注意分式方程要检验． 18. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ． （2）3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据证明即可； （2）利用全等三角形的性质即可解决问题； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ． 19. 先化简， ，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值． 【答案】原式=x－2；当x=3时，原式=1． 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=3代入计算即可求出值． 【详解】解：原式=•=•=x﹣2， 当x=3时，原式=3﹣2=1． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件． 20. 如图，在平面直角坐标系中，按下列要求作图． （1）画出关于x轴对称的图形（点A、B、C分别对应、、）； （2）的面积 ； （3）请在y轴上找出一点P，满足线段的值最小，画出点P并写出P点坐标． 【答案】（1） 如图所示： （2）2 （3）点P位置如图所示；． 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称变换和平移变换以及利用轴对称求最短路径，根据题意得出对应点位置是解题关键． （1）利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）根据矩形的面积减去三个直角三角形的面积解答即可； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出点位置并写出其坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积， 故答案为：2； 【小问3详解】 略 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M． （1）若∠A=40°，求∠NMB的度数． （2）如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠NMB的度数． （3）由（1）（2）你发现了什么规律？并说明理由． 【答案】（1）20°；（2）35°；（3）规律∶∠NMB=∠A． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，由AB=AC可得到∠ABM=∠ACB，再结合已知∠A的度数，即可求出∠NMB的度数； （2）仿照第（1）问的求解过程即可得到∠NMB的度数； （3）结合上述两问的解答，即可发现∠NMB和∠A之间的大小关系，然后仿照上述解答过程进行验证即可． 【详解】解：（1）∵AB=AC， ∴∠ABM=∠ACB． ∵∠BAC=40°，∠ABM=∠ACB， ∴∠ABM=×(180°-∠BAC)=70°． ∵MN是AB的垂直平分线，∠ABM=70°， ∴∠NMB=90°-∠ABM=90°-70°=20°． （2）与（1）同理可得∠B=×(180°-∠BAC)=55°， ∴∠NMB=90°-55°=35°． （3）规律：在等腰△ABC中，当AB=AC时，∠NMB的度数恰好为顶角∠A度数的一半，即∠NMB=∠A． 理由如下： ∵AB=AC， ∴∠ABM=∠ACB． ∴∠ABM=(180°-∠A)=90°-∠A． ∵∠ABM=90°-∠A，∠BNM=90°， ∴∠BMN=90°-∠ABM=∠A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义，三角形内角和定理的推论等知识．利用等腰三角形顶角与底角的关系及直角三角形两锐角互余并进行等量代换是解题的关键． 22. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，点E在BC上．过点D作DF∥BC，连接DB． 求证：（1）△ABD≌△ACE； （2）DF=CE． 【答案】 （1）证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE， ∴∠BAD=∠EAC．在△BAD和△CAE中， ∵， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）证明：∵△BAD≌△CAE， ∴∠DBA=∠C． ∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC． ∵DF∥BC， ∴∠DFB=∠ABC=∠C=∠DBA， 即∠DFB=∠DBF， ∴DF=CE． 【解析】 【详解】分析：（1）求出∠BAD=∠BAC，根据SAS证出△BAD≌△CAE即可； （2）根据全等推出∠DBA=∠C，根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC，根据平行线性质得出∠ABC=∠DFB，推出∠DFB=∠DBF，根据等腰三角形的判定推出即可． 详解：（1）略 （2）略 点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目． 23. 阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． （1）块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ （2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 【答案】（1）普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． （2）至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 【解析】 【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量； （2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克， 依题意得：， 解得：； 经检验，x=600是原方程的解，且符合题意， ∴2x=2×600=1200． 答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． 【小问2详解】 解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻， 依题意得：9600+600（）+1200y≥17700， 解得：． 答：至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24. 如图1，，过点的直线l不经过三角形的内部，过点、作，垂足为． （1）请你在图1中，写出一对全等三角形：______； （2）请证明你所写的结论； （3）尝试探究：若，，求图1中四边形的面积；图2中过点的直线经过三角形内部，其他条件不变，求四边形面积；（用含的代数式表示） （4）拓展应用：如图3，，，，，则点坐标为______．若点（不与重合），在坐标平面内，与全等，则点的坐标为______． 【答案】（1） （2） 证明：，， ∴， ，， ， 在和中， ， ； （3）①，② （4），或或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型． （1）由图可知； （2）利用可证； （3）①图1中，利用梯形面积公式可解；②图2中，同（2）可证，四边形的面积为和面积之和； （4）在坐标系内构造一线三垂直模型证明全等三角形，即可求解，注意分情况讨论． 【小问1详解】 解：和是一对全等三角形， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图1，由（2）知， ，， ∴， 四边形的面积为：； ②如图2，同（2）可证， ，， ， 四边形的面积为：； 【小问4详解】 解：如图所示，作轴于点D， ，， ，， ，轴， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示： 当点P在第二象限时，作轴于点H， ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 同理可得，， 综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或． 故答案为：，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期末考试 八年级数学试题 注意事项：1．本次考试试卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．用蓝、黑色钢笔或圆珠笔答卷，答卷前，务必将密封线内的各项填写清楚． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. x•x＝2x B. x+x＝2x C. （x3）3＝x6 D. （2x）2＝2x2 3. 小芳有两根长度为6cm和10cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（ ）的木条 A. 2cm B. 3cm C. 8cm D. 17cm 4. 已知（a＋b）2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝（ ） A. 24 B. 48 C. 12 D. 2 5. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 6. 下列分式从左到右变形正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将图1中的阴影部分沿虚线剪开，拼成图2的长方形，根据图形的变化过程写出一个正确的等式是（ ） A. B. C. D. 8. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 某中学有名学生进行消防疏散演习，通过对比发现：经消防专家指导后，平均每分钟撤离的人数是指导前的倍，这名同学全部撤离的时间比指导前快分钟．设指导前平均每分钟撤离人，由此可列出方程（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，，、分别平分、，过点作直线平行于，交、于、，则的周长为（ ） A. 9 B. 11 C. 15 D. 18 12. 如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点关于轴对称的点的坐标是______． 14. 把多项式分解因式的结果是_____． 15. 若分式的值为零，则______． 16. 如图，在中，，，平分交于点，如果，为上一动点，那么的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程：． 18. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 先化简， ，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，按下列要求作图． （1）画出关于x轴对称的图形（点A、B、C分别对应、、）； （2）的面积 ； （3）请在y轴上找出一点P，满足线段的值最小，画出点P并写出P点坐标． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M． （1）若∠A=40°，求∠NMB的度数． （2）如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠NMB的度数． （3）由（1）（2）你发现了什么规律？并说明理由． 22. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，点E在BC上．过点D作DF∥BC，连接DB． 求证：（1）△ABD≌△ACE； （2）DF=CE． 23. 阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． （1）块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ （2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 24. 如图1，，过点的直线l不经过三角形的内部，过点、作，垂足为． （1）请你在图1中，写出一对全等三角形：______； （2）请证明你所写的结论； （3）尝试探究：若，，求图1中四边形的面积；图2中过点的直线经过三角形内部，其他条件不变，求四边形面积；（用含的代数式表示） （4）拓展应用：如图3，，，，，则点坐标为______．若点（不与重合），在坐标平面内，与全等，则点的坐标为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $