精品解析：河南省鹤壁市2024-2025学年九年级下学期第一次联考数学试题

2024-2025学年九年级第一次联考试题 数 学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. π C. D. 0 2. 中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 3. 下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ） A. 面① B. 面② C. 面⑤ D. 面⑥ 4. 若要使代数式有意义，则x 的值可以是（ ） A. 3 B. C. D. 5. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 8. 对于实数a，b，定义运算“★”：，已知关于x方程恰好有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：n2﹣100=_____． 12. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为的形式，则的值是________（备注：1亿＝100000000）． 13. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 乙 丙 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是___________． 14. 如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是______． 15. 如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为___________ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组： 17. 为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻 炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）参与本次调查的学生共有 人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有 人； （2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数； （3）请写出一条你对同学体育锻炼建议． 18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求线段的长． 19. 徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点处，用测角仪测得塔顶的仰角，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处，测得塔顶的仰角．若测角仪距地面的高度，求电视塔的高度（精确到．（参考数据：） 20. 某草莓采摘园有如下消费场景：顾客采摘甲种草莓和乙种草莓，共花费230元，采摘甲种草莓和乙种草莓，共花费240元． （1）求甲、乙两种草莓的售价分别是每千克多少元． （2）为吸引顾客，该采摘园推出以下优惠方案：采摘甲种草莓按原价八折销售； 采摘乙种草莓超过，超出部分按原价的六折销售．设采摘甲种草莓、乙种草莓的费用分别为元、元，请写出，关于x的函数表达式． （3）某公司为准备团建活动，准备采摘同一品种草莓不少于，请通过计算说明采摘哪种草莓更划算 21. 如图，某小区物业对一块长、宽的矩形区域进行改造，欲在它的西南角种植一块矩形草坪，草坪围栏总长度为．点P 是区域内一棵大树所在的位置，大树与区域边界的距离如图中数据所示，要求大树周围内（不含边界）不种植草坪．设草坪的边的长为，草坪面积为． （1）求x 的取值范围． （2）如何种植才能使草坪的面积最小？最小面积是多少？ 22. 物理实验课上，在做过单摆实验后，小明想到“数学来源于生活”，于是从中抽象出了一个数学平面图形：如图（1），直线为水平桌面，线段为支架，虚线为铅锤P的运动轨迹．现根据图形设计出了以下两个问题． （1）若点到和的距离相等，则称此时点P的位置为“黄金位置”．过点P作的切线交于点D，如图（2），若，证明此时点P处于“黄金位置”． （2）已知，，在射线上有一点E，且，连接，如图（3），在点P运动的过程中，当与相切时，求点P到的距离． 23. 在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且． （1）如图1，求边上的高的长． （2）是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级第一次联考试题 数 学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. π C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．π是无限不循环小数是无理数，故本选项符合题意； C．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 2. 中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题． 【详解】解：由题意得：A、B、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有C选项； 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 3. 下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ） A. 面① B. 面② C. 面⑤ D. 面⑥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据底面与多面体上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求解． 【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键． 4. 若要使代数式有意义，则x 的值可以是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，由题意可得，，计算即可得解，熟练掌握分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：，， ∴x 的值可以是， 故选：B． 5. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 7. 根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 8. 对于实数a，b，定义运算“★”：，已知关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先求得，根据题意得出关于x的一元二次方程，然后根据根的判别式得出，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程恰好有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：B． 9. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为a， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点P的坐标为， ∴， 即； ∴，， ∴点M的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 10. 如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大． 【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发， 设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是， ∵两个人机器人速度相同， ∴分别同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C， 故选：D． 【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：n2﹣100=_____． 【答案】（n-10）（n+10） 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：n2-100=n2-102=（n-10）（n+10）． 故答案为：（n-10）（n+10）． 【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 12. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为的形式，则的值是________（备注：1亿＝100000000）． 【答案】9 【解析】 【分析】将13.6亿=写成（，n为整数）的形式即可． 【详解】解：13.6亿==． 故答案为9． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键． 13. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 乙 丙 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是___________． 【答案】乙 【解析】 【分析】分别计算甲、乙、丙三名应聘者成绩的加权平均数，比较大小即可求解． 【详解】解：， ， ， ∵ ∴被录用的是乙， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 14. 如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质根据阴影部分面积为2个直径分别为的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵矩形内接于， ∴ ∴阴影部分的面积= = ， 故答案：20． 15. 如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质．设，则，由折叠的性质得，分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：设，则，由折叠的性质得， 分两种情况讨论， 当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 综上，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据平方差公式以及单项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为． 17. 为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻 炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）参与本次调查的学生共有 人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有 人； （2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数； （3）请写出一条你对同学体育锻炼的建议． 【答案】（1）， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将条形统计图中的数据相加即可得出总人数，用总人数乘以选择“自己主动”体育锻炼的学生所占比例即可得解； （2）用乘以每周体育锻炼8小时以上（含8小时）所占的比例即可得解； （3）根据题意提出合理建议即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：参与本次调查的学生共有人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有人； 【小问2详解】 解：（人）， 故全校可评为“运动之星”的人数为人 【小问3详解】 解：由题意可得：建议学生适当主动加强每周的体育锻炼． 18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求线段的长． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为，再分别求得的坐标，据此即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴直线的表达式为， ∵时，， 解得，则， ∵时，， 解得，则， ∴． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法． 19. 徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点处，用测角仪测得塔顶的仰角，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处，测得塔顶的仰角．若测角仪距地面的高度，求电视塔的高度（精确到．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】先证四边形是矩形，四边形是平行四边形，得，然后在和中，解直角三角形以及由构造方程求解即可得解． 【详解】解：∵，，，， ∴四边形是矩形，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴电视塔的高度． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是熟练解直角三角形，属于中考常考题型． 20. 某草莓采摘园有如下消费场景：顾客采摘甲种草莓和乙种草莓，共花费230元，采摘甲种草莓和乙种草莓，共花费240元． （1）求甲、乙两种草莓的售价分别是每千克多少元． （2）为吸引顾客，该采摘园推出以下优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售； 采摘乙种草莓超过，超出部分按原价的六折销售．设采摘甲种草莓、乙种草莓的费用分别为元、元，请写出，关于x的函数表达式． （3）某公司为准备团建活动，准备采摘同一品种草莓不少于，请通过计算说明采摘哪种草莓更划算 【答案】（1）甲种草莓的售价为每千克元，乙种草莓的售价为每千克元 （2）， （3）当采摘量为时，甲、乙两种草莓所需费用相同；当采摘量超过时，采摘乙种草莓更划算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设甲种草莓的售价为每千克元，乙种草莓的售价为每千克元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）根据题意求出函数表达式即可； （3）根据当时，，即可得解． 【小问1详解】 解：设甲种草莓的售价为每千克元，乙种草莓的售价为每千克元， 由题意可得：， 解得：， ∴甲种草莓的售价为每千克元，乙种草莓的售价为每千克元； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 当时，， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， ∴， 故当采摘量为时，甲、乙两种草莓所需费用相同；当采摘量超过时，采摘乙种草莓更划算． 21. 如图，某小区物业对一块长、宽的矩形区域进行改造，欲在它的西南角种植一块矩形草坪，草坪围栏总长度为．点P 是区域内一棵大树所在的位置，大树与区域边界的距离如图中数据所示，要求大树周围内（不含边界）不种植草坪．设草坪的边的长为，草坪面积为． （1）求x 的取值范围． （2）如何种植才能使草坪的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1） （2）草坪的边时，草坪的面积最小，为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，则，再根据，大树周围内（不含边界）不种植草坪，列出不等式组，解不等式组即可得解； （2）先求出关于的函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，则， ∵，大树周围内（不含边界）不种植草坪， ∴， 解得：， ∴x 的取值范围为； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，的值最小，为， 故草坪的边时，草坪的面积最小，为． 22. 物理实验课上，在做过单摆实验后，小明想到“数学来源于生活”，于是从中抽象出了一个数学平面图形：如图（1），直线为水平桌面，线段为支架，虚线为铅锤P的运动轨迹．现根据图形设计出了以下两个问题． （1）若点到和的距离相等，则称此时点P的位置为“黄金位置”．过点P作的切线交于点D，如图（2），若，证明此时点P处于“黄金位置”． （2）已知，，在射线上有一点E，且，连接，如图（3），在点P运动的过程中，当与相切时，求点P到的距离． 【答案】（1）见解析 （2）点P到的距离为或． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，于点，利用证明，推出，即可得解； （2）分当P点运动到左侧和右侧，两种情况讨论，利用勾股定理求得，，求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，过点作于点，于点， 则， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即此时点P处于“黄金位置”； 【小问2详解】 解：当P点运动到左侧，且与相切时， 如图，过点作于点，于点，连接， ∵，， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 解得（负值已舍去）， ∴点P到的距离为． 当P点运动到右侧，且与相切时， 如图，过点作于点，于点，连接， ∵，， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 解得（负值已舍去）， ∴点P到的距离为． 综上，点P到的距离为或． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且． （1）如图1，求边上的高的长． （2）是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1）8 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案； （2）①先证明，再证明，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可； ②分三种情况讨论完成，第一种：为直角顶点；第二种：为直角顶点；第三种，为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案． 【小问1详解】 在中，， 在中，． 【小问2详解】 ①如图1，作于点，由（1）得，，则， 作交延长线于点，则， ∴． ∵ ∴． 由旋转知， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ②由旋转得，， 又因为，所以． 情况一：当以为直角顶点时，如图2． ∵， ∴落在线段延长线上． ∵， ∴， 由（1）知，， ∴． 情况二：当以为直角顶点时，如图3． 设与射线的交点为， 作于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得， 解得， ∴． 情况三：当以为直角顶点时， 点落在的延长线上，不符合题意． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$