6.4.3余弦定理、正弦定理(二)（第2课时）正弦定理-2024-2025学年第二学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

6.4.3　余弦定理、 正弦定理(二) （第2课时）正弦定理 1.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.(重点) 2.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.(重点) 学习目标 目 录 1 2 3 判断三角形的形状 三角形的面积公式 CONTENTS 书读百遍 其义自现 判断三角形的形状 1 1.利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状. 2.通过变形得到边(或角)的关系后，如果等式两侧或同侧有公因式，注意不要轻易约分，应先移项再提取公因式，以免漏解. 3.常见的特殊三角形有正三角形、等腰三角形、直角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 知识梳理 5 题型一　判断三角形的形状 探究1 三角形的面积公式 2 已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？ 思考 提示　边b上的高h为asin C，故面积为S=bh=absin C. 1.三角形的面积公式：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，则△ABC的面积公式为S=_________=__________=__________.  2.△ABC中的常用结论 (1)A+B+C= ， sin(A+B)= ，cos(A+B)= .  (2)大边对大角，即a>b⇔A>B ⇔sin A>sin B. (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.  absin C bcsin A casin B 180° sin C -cos C 知识梳理 题型二　三角形的面积公式 2 探究2 书读百遍 其义自现 3 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ √ √ 1 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状． 【思路】　观察条件等式的特点，为边角关系，首先应用正弦定理将边化为角，再利用三角公式求解，亦可应用正弦定理将角化为边的关系进行求解． 【解析】　由已知，得eq \f(a2sin B,cos B)＝eq \f(b2sin A,cos A). 由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆的半径)，得eq \f(4R2sin2Asin B,cos B)＝eq \f(4R2sin2Bsin A,cos A). ∴sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B. ∵2A∈(0，2π)，2B∈(0，2π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2). ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 已知三角形中的边和角的“混合”关系等式，判断三角形的形状时，有两种方法： (1)化边的关系为角的关系，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式； (2)化角的关系为边的关系，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式． 思考题1　根据下列条件，判断三角形的形状． (1)在△ABC中，sin A＝2sin Bcos C，sin2A＝sin2B＋sin2C； 【解析】　(1)由已知易得a2＝b2＋c2.∴A＝90°，C＝90°－B. 由sin A＝2sin Bcos C，得1＝2sin Bcos(90°－B)． ∴sin B＝eq \f(\r(2),2)(负值舍去)． ∴B＝C＝45°.∴△ABC为等腰直角三角形． (2)在△ABC中，eq \f(cos A,a)＝eq \f(cos B,b)＝eq \f(cos C,c). 【解析】　(2)由已知，得eq \f(cos A,sin A)＝eq \f(cos B,sin B). ∴cos Asin B＝cos Bsin A．∴tan A＝tan B. ∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B. 同理可证B＝C. ∴△ABC为等边三角形． 例2　(1)在△ABC中，A＝30°，c＝4，a＝3，求△ABC的面积． 【思路】　需求出a，c两边的夹角B的大小． 【解析】　由正弦定理，得sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(4sin 30°,3)＝eq \f(2,3). ∵c>a，A为锐角，∴角C有两解． ①当角C为锐角时，cos C＝eq \r(1－sin2C)＝eq \f(\r(5),3)，sin B＝sin(180°－30°－C)＝sin(150°－C)＝sin 150°cos C－cos 150°sin C＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(5),3)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,6)(eq \r(5)＋2eq \r(3))，∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×3×4×eq \f(1,6)(eq \r(5)＋2eq \r(3))＝eq \r(5)＋2eq \r(3)； ②当角C为钝角时，cos C＝－eq \f(\r(5),3)， sin B＝sin(150°－C)＝eq \f(1,6)(2eq \r(3)－eq \r(5))， ∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝2eq \r(3)－eq \r(5). 综上可知，△ABC的面积为2eq \r(3)＋eq \r(5)或2eq \r(3)－eq \r(5). (2)若△ABC的面积为eq \r(3)，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度为________． 【解析】　在△ABC中，由面积公式，得S＝eq \f(1,2)BC·AC·sin C＝eq \f(1,2)×2·AC·sin 60°＝eq \f(\r(3),2)AC＝eq \r(3)，∴AC＝2. ∴△ABC为等边三角形，∴AB＝2. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的面积，解题的一般方法是利用正弦定理求出另一条边的对角，然后再用面积公式求解． 思考题2　在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝eq \f(π,4)，cos eq \f(B,2)＝eq \f(2\r(5),5)，求△ABC的面积S. 【解析】　因为cos B＝2cos2eq \f(B,2)－1＝eq \f(3,5)，故B为锐角，sin B＝eq \f(4,5). 所以sin A＝sin(π－B－C)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－B))＝eq \f(7\r(2),10). 由正弦定理得c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(10,7)，所以S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×2×eq \f(10,7)×eq \f(4,5)＝eq \f(8,7). 要点1　正弦定理的常见变形 (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (2)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R； (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R). (式中R为△ABC外接圆的半径) 要点2　三角形的面积公式 对于任意△ABC，若a，b，c为内角A，B，C的对边，则△ABC的面积S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A. 1.如图所示，在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径2R，故有eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，这一关系对锐角三角形也成立吗？ 答：如图，△ABC为锐角三角形，圆O为△ABC的外接圆，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD. 因为∠A＝∠D，则在△BCD中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(a,sin D)＝2R. 同理，eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，所以eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R成立． 2．在钝角三角形ABC中，等式eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R还成立吗？ 答：如图，△ABC为钝角三角形，圆O为△ABC的外接圆，连接AO并延长交圆O于点B′，连接CB′，则∠B＝∠B′. 则eq \f(b,sin B)＝eq \f(b,sin B′)＝2R.同理eq \f(a,sin A)＝2R，eq \f(c,sin C)＝2R. 所以eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R仍成立． 1．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析　∵a＝bsin A，∴eq \f(a,b)＝sin A＝eq \f(sin A,sin B)，又sin A≠0，∴sin B＝1，又∵B∈(0，π)，∴B＝eq \f(π,2)，即△ABC为直角三角形． 2．【多选题】已知△ABC的面积为eq \f(3,2)，且b＝2，c＝eq \r(3)，则A可能等于(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 解析　因为S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(3,2)，所以eq \f(1,2)×2×eq \r(3)sin A＝eq \f(3,2)，所以sin A＝eq \f(\r(3),2)，因为0°＜A＜180°，所以A＝60°或120°.故选BD. 3．在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，并且所对的边分别为a，b，c，其中a∶b∶c＝2∶3∶4，则sin A∶sin B∶sin C＝(　　) A．2∶3∶4 B．4∶9∶16 C．4∶3∶2 D．16∶9∶4 解析　由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为三角形外接圆半径，所以a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4. 4．在△ABC中，若b＝1，c＝eq \r(3)，C＝eq \f(2π,3)，则△ABC的面积S＝________． eq \f(\r(3),4) 解析　由正弦定理得sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(1×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(1,2)，又b<c，∴B＝eq \f(π,6)，则A＝eq \f(π,6)，∴S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),4). 5．在△ABC中，A＝eq \f(2π,3)，a＝eq \r(3)c，则eq \f(b,c)＝________． 解析　∵a＝eq \r(3)c，∴sin A＝eq \r(3)sin C，∵A＝eq \f(2π,3)，∴sin A＝eq \f(\r(3),2)，∴sin C＝eq \f(1,2)，又C必为锐角，∴C＝eq \f(π,6)，∵A＋B＋C＝π，∴B＝eq \f(π,6)，∴B＝C，∴b＝c，∴eq \f(b,c)＝1. $$