7.2.1复数加、减运算及其几何意义-2024-2025学年第二学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

7.2.1复数加、减 运算及其几何意义 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.(重点) 2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.(难点) 3.掌握复平面上两点间的距离公式.(重点) 学习目标 实数可以进行加、减、乘、除四则运算，而且运算结果仍然是一个实数。那么，复数是否也能进行类似的运算呢？如果可以，它们的运算规则又是什么样的呢？此外，多项式的加法和减法运算法则要求我们合并同类项，即将具有相同变量和指数的项相加或相减。例如，对于多项式 (3x2 + 2x - 5) 和 (4x2 - x + 1)，它们的和为 (7x2 + x - 4)，而差为 (-x2 + 3x - 6)。这些规则在复数的运算中是否同样适用呢？今天，我们就来探讨这些问题，了解复数的四则运算规则以及多项式运算中的合并同类项法则。 导 语 目 录 1 2 3 4 复数的加减运算 加减运算的几何意义 复数的模的综合问题 CONTENTS 书读百遍 其义自现 复数的加减运算 1 1.复数加、减法的运算法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数， 则z1+z2=(a+c)+(b+d)i， z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有： (1)(交换律)z1+z2= ； (2)(结合律)(z1+z2)+z3= . z2+z1 z1+(z2+z3) 知识梳理 题型一　复数的加、减法运算 1＋i 探究1 加减运算的几何意义 2 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 思考1 提示　设=(a，b)，=(c，d)，则+=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d). 几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线. 如图，设复数z1，z2对应的向量分别为 ，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数 对应，向量与复数 对应. z1+z2 知识梳理 题型二　复数加、减法的几何意义 探究2 复数的模的综合问题 3 根据复数及其运算的几何意义，你能求出复平面内的两点Z1(x1，y1)， Z2(x2，y2)之间的距离吗？ 思考2 提示　因为复平面内的点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)对应的复数分别为z1=x1+y1i，z2=x2+y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|=||=|z2-z1| =|(x2+y2i)-(x1+y1i)|=|(x2-x1)+(y2-y1)i|=. 由复数减法的几何意义，可得复平面上两点间的距离公式d=|z1-z2|，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2所对应的复数，d表示点Z1和Z2之间的距离. 知识梳理 题型三　综合问题 √ 探究3 √ √ 书读百遍 其义自现 4 (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i 向量的加法 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ √ 4－3i －6i 2－i 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　(1)计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(3,2)i))＝________． 【解析】　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(3,2)i))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋2－\f(4,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1＋\f(3,2)))i＝1＋i. (2)设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m等于________． eq \f(1,2) 【解析】　z＝(2m2＋m－1)＋(3－m2＋2m)i. 依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－1＝0，,3－m2＋2m≠0，))解得m＝eq \f(1,2). 复数的加法与减法运算法则： (1)类比实数运算，若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行运算． (2)算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部、虚部分别相加． 思考题1　(1)已知复数z1＝1＋2i，z2＝3－4i，计算： ①eq \o(z,\s\up12(－))1＋eq \o(z,\s\up12(－))2；②eq \o(z1＋z2,\s\up12(－－－)). 【解析】　①eq \o(z,\s\up12(－))1＋eq \o(z,\s\up12(－))2＝(1－2i)＋(3＋4i)＝4＋2i. ②z1＋z2＝1＋2i＋3－4i＝4－2i，eq \o(z1＋z2,\s\up12(－－－))＝4＋2i. (2)已知复数z1＝a＋(7－a)i，z2＝5＋(3a＋1)i(a∈R，i是虚数单位)．若复数z1＋z2在复平面上的对应点在第四象限，求实数a的取值范围． 【解析】　因为z1＋z2＝(a＋5)＋(2a＋8)i，而z1＋z2在复平面上对应点在第四象限， 于是得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋5>0，,2a＋8<0，))解得－5<a<－4，所以实数a的取值范围是(－5，－4)． 例2　已知复平面上的平行四边形ABCD，eq \o(AC,\s\up12(→))对应的复数为6＋8i，eq \o(BD,\s\up12(→))对应的复数为－4＋6i，求向量eq \o(DA,\s\up12(→))对应的复数． 【解析】　方法一：如图，在平行四边形ABCD中， 设对角线AC，BD的交点为E，则点E为AC，BD的中点，eq \o(DA,\s\up12(→))＝eq \o(EA,\s\up12(→))－eq \o(ED,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up12(→))－eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up12(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up12(→))＝－eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→)))． 所以eq \o(DA,\s\up12(→))对应的复数为－eq \f(1,2)(6＋8i－4＋6i)＝－1－7i. 方法二：设eq \o(AB,\s\up12(→))对应复数为z1，eq \o(AD,\s\up12(→))对应复数为z2，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z1＋z2＝6＋8i，,z2－z1＝－4＋6i，)) ∴2z2＝(6＋8i)＋(－4＋6i)＝2＋14i， ∴z2＝1＋7i，即eq \o(AD,\s\up12(→))对应复数为1＋7i，所以eq \o(DA,\s\up12(→))对应复数为－1－7i. 求解与复数对应的坐标或向量问题的方法： 由于复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．因此求解与复数对应的坐标或向量问题时可以根据题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则即可求解． 思考题2　已知平行四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(AC,\s\up12(→))对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O.求： (1)eq \o(AD,\s\up12(→))对应的复数； 【解析】　(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))，于是eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))， 而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即eq \o(AD,\s\up12(→))对应的复数是－2＋2i. (2)eq \o(DB,\s\up12(→))对应的复数； 【解析】　(2)因为eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即eq \o(DB,\s\up12(→))对应的复数是5. (3)△AOB的面积． 【解析】　(3)因为eq \o(OA,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up12(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))，eq \o(OB,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，所以eq \o(OA,\s\up12(→))·eq \o(OB,\s\up12(→))＝－eq \f(5,4)，而|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝eq \f(\r(17),2)，|eq \o(OB,\s\up12(→))|＝eq \f(5,2)，所以eq \f(\r(17),2)×eq \f(5,2)·cos∠AOB＝－eq \f(5,4)， 因此cos∠AOB＝－eq \f(\r(17),17)，故sin∠AOB＝eq \f(4\r(17),17)，故S△AOB＝eq \f(1,2)·|eq \o(OA,\s\up12(→))|·|eq \o(OB,\s\up12(→))|sin∠AOB＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(17),2)×eq \f(5,2)×eq \f(4\r(17),17)＝eq \f(5,2)，即△AOB的面积为eq \f(5,2). 例3　(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A．1　　　　　　　 B.eq \f(1,2) C．2 D.eq \r(5) 【解析】　设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3， 因为|z＋i|＋|z－i|＝2，且|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 所以|ZZ3|min＝1，所以|z＋i＋1|min＝1. (2)在复平面内，满足|z－1－i|＝|z＋2＋i|的复数形式方程的动点Z的集合表示的图形是什么？ 【解析】　|z－1－i|＝|z＋2＋i|表示动点Z到点A(1，1)，B(－2，－1)距离相等的点的集合，所以动点Z的集合表示的图形是线段AB的垂直平分线． (3)已知复数z1＝3＋4i，复数z满足|z－z1|＝2，求|z|的最值． 【解析】　设复数z在复平面内对应的点为Z， ∵|z－z1|＝2，∴|z－(3＋4i)|＝2， ∴动点Z的集合表示的图形是以(3，4)为圆心，2为半径的圆． ∵|z|表示动点Z到原点(0，0)的距离， ∴|z|min＝5－2＝3，|z|max＝5＋2＝7. 两个复数差的模的几何意义： (1)|z－z0|表示复数z，z0在复平面内对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值符号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0在复平面内对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 思考题3　(1)在复平面内，△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心． (2)若复数z满足|z|＝2，则|1＋eq \r(3)i＋z|的取值范围是(　　) A．[1，3] B．[1，4] C．[0，3] D．[0，4] 【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内所对应的点为Z.可知点Z(a，b)的集合是以坐标原点为圆心，2为半径的圆． |1＋eq \r(3)i＋z|表示点Z(a，b)到点M(－1，－eq \r(3))的距离． ∵(－1，－eq \r(3))在|z|＝2表示的圆上， ∴所求距离最小是0，最大是直径4.故选D. (3)设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq \r(2)，求|z1－z2|. 【解析】　方法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． 由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2. 又由(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0. ∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝eq \r(2). 方法二：∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)，∴将已知数值代入，可得|z1－z2|2＝2，∴|z1－z2|＝eq \r(2). 方法三：作出z1，z2对应的向量eq \o(OZ1,\s\up12(→))，eq \o(OZ2,\s\up12(→))，使eq \o(OZ1,\s\up12(→))＋eq \o(OZ2,\s\up12(→))＝eq \o(OZ,\s\up12(→)).∵|z1|＝|z2|＝1，eq \o(OZ1,\s\up12(→))，eq \o(OZ2,\s\up12(→))不共线(若eq \o(OZ1,\s\up12(→))，eq \o(OZ2,\s\up12(→))共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)，∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形． 又|z1＋z2|＝eq \r(2)，∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1－z2|＝eq \r(2). 要点1　复数的加、减运算 设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则有 z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________； z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝______________． 要点2　复数加法的运算律 设z1，z2，z3∈C，则有 交换律：z1＋z2＝z2＋z1； 结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 要点3　复数加、减法的几何意义 (1)若复数z1，z2对应的向量eq \o(OZ1,\s\up12(→))，eq \o(OZ2,\s\up12(→))不共线，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为两条邻边的平行四边形的对角线对应的向量eq \o(OZ,\s\up12(→))所对应的复数,即复数的加法可以按照___________来进行,亦即eq \o(OZ,\s\up12(→))＝_________，如图1. (2)若复数z1，z2对应的向量eq \o(OZ1,\s\up12(→))，eq \o(OZ2,\s\up12(→))不共线，则复数z1－z2是连接向量eq \o(OZ1,\s\up12(→))，eq \o(OZ2,\s\up12(→))的终点，并指向____________的向量eq \o(Z2Z1,\s\up12(→))所对应的复数，即复数的减法可以按照向量的减法来进行，如图2. eq \o(OZ1,\s\up12(→))＋eq \o(OZ2,\s\up12(→)) 向量eq \o(OZ1,\s\up12(→))终点 要点4　复平面内两点间的距离 设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a，b)，Z2(c，d)，则|Z1Z2|＝eq \r(（a－c）2＋（b－d）2)，又复数z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，则|z1－z2|＝eq \r(（a－c）2＋（b－d）2)，故|Z1Z2|＝|z1－z2|.即|z1－z2|表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离． 1．利用复数的几何意义与复数的减法运算法则，怎样理解平面上两点间的距离公式？ 答：设复数z1，z2分别对应平面上的两个点A(a，b)，B(c，d)(a，b，c，d∈R)， 则z1＝a＋bi，z2＝c＋di，由于z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i， 因此|z1－z2|＝eq \r(（a－c）2＋（b－d）2)，根据复数的几何意义可知eq \o(BA,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))即|BA|＝|AB|＝eq \r(（a－c）2＋（b－d）2). 2．在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则：(1)四边形OACB为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形；(5)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)． 1．化简：(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝(　　) A．8＋2i　　　　　　 B．4＋2i C．－4＋2i D．4－i 解析　原式＝(6＋3－3＋2)＋(－3＋2＋4－1)i＝8＋2i.故选A. 2．已知在复平面内，向量eq \o(BA,\s\up12(→))对应的复数是2＋i，向量eq \o(CB,\s\up12(→))对应的复数为－1－3i，则向量eq \o(CA,\s\up12(→))对应的复数是(　　) A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 解析　因为eq \o(CA,\s\up12(→))＝eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(BA,\s\up12(→))，所以eq \o(CA,\s\up12(→))对应的复数为－1－3i＋(2＋i)＝1－2i.故选A. 3．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z1－z2对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　∵z1＝1＋3i，z2＝3＋i，∴z1－z2＝－2＋2i， 故z1－z2在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限． 4．若复数z满足|z|－1－3i＝z，则z＝________，z－eq \o(z,\s\up12(－))＝________． 解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，依题意有eq \r(x2＋y2)－1－3i＝x＋yi，于是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)－1＝x，,－3＝y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－3.)) 于是z＝4－3i，eq \o(z,\s\up12(－))＝4＋3i.∴z－eq \o(z,\s\up12(－))＝(4－3i)－(4＋3i)＝－6i. 5．复平面内正方形的三个顶点分别对应复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，则另一个顶点对应的复数为________． 解析　方法一：如图，设复数z1，z2，z3对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)， 则eq \o(AD,\s\up12(→))对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，eq \o(BC,\s\up12(→))对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. ∵eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝1，,y－2＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))故点D对应的复数为2－i. 方法二：利用正方形的性质求解．正方形的对角线相等且互相垂直平分，即正方形的两条对角线的交点是其对称中心．设复数z1，z2，z3对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．∵点A与点C关于原点对称，∴原点O为正方形的中心．∴点O也是点B与点D连线的中点，于是(－2＋i)＋(x＋yi)＝0，∴x＝2，y＝－1.故点D对应的复数为2－i. $$