7.1.2复数的几何意义-2024-2025学年第二学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

7.1.2复数的 几何意义 1.理解并可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.(重点) 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.(难点) 学习目标 在19世纪末到20世纪初，德国著名数学家高斯在证明代数基本定理的过程中，首次引入了“复数”这一概念。他将复数与平面内的点建立了一一对应关系，从而创立了复平面。通过将复数与平面内的点或有向线段（向量）联系起来，高斯为复数奠定了几何基础。这种几何意义从“形”的角度直观地证明了复数的“存在性”，为后续对复数的深入研究提供了坚实的基础。 导 语 目 录 1 2 3 4 复数与复平面内的点的关系 复数与向量的关系 复数的模与共轭复数 CONTENTS 书读百遍 其义自现 复数与复平面内的点的关系 1 有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 思考1 提示　复数a+bi(a，b∈R)实质上是实数的有序实数对(a，b)，复数可以和坐标平面上的点一一对应. 1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做 ，y轴叫做 ，实轴上的点都表示 ；除了 外，虚轴上的点都表示 . 2.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是 的，即复数z=a+bi 复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 实轴 虚轴 实数 原点 纯虚数 一一对应 知识梳理 复数与向量的关系 2 平面向量可以用有序数对来表示，借助有序数对能建立复数与平面向量的联系吗？ 思考2 提示　在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数. 1.复数与平面向量：如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量_____由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量 确定. 知识梳理 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了_________ 关系(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi 平面向量.这是复数的另一种几何意义. 为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示 复数. 同一个 知识梳理 复数的模与共轭复数 3 1.复数的模 (1)定义：向量的模叫做复数z=a+bi(a，b∈R)的模或绝对值. (2)记法：复数z=a+bi的模记作 . (3)公式：|z|=|a+bi|=___________. 知识梳理 2.定义：一般地，当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做___________. 3.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi(a，b∈R)，那么=_____. a-bi 知识梳理 题型一　复数与复平面内的点的关系 探究1 题型二　复数与复平面内的向量的关系 √ √ 探究2 √ √ 题型三　复数的模与共轭复数 探究3 1＋2i或－1－2i 探究 √ √ 书读百遍 其义自现 4 复数 x y 纯虚数 一一对应 一一对应 相等 互为相反数 共轭虚数 a－bi 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ √ √ 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　求实数m取何值时，复数z＝(2m2－3m－2)＋(m2－m)i在复平面内对应的点Z： (1)位于第二象限； 【解析】　复数z＝(2m2－3m－2)＋(m2－m)i在复平面内对应的点Z的坐标为(2m2－3m－2，m2－m)． (1)若点Z位于第二象限，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m2－3m－2<0，,m2－m>0，))解得－eq \f(1,2)<m<0或1<m<2. (2)位于第一或第三象限； 【解析】　(2)若点Z位于第一或第三象限，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m2－3m－2>0，,m2－m>0)) 或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m2－3m－2<0，,m2－m<0，)) 解得m<－eq \f(1,2)或0<m<1或m>2. (3)在直线x－y－1＝0上． 【解析】　(3)若点Z在直线x－y－1＝0上，则2m2－3m－2－m2＋m－1＝0， 解得m＝－1或3. 求解复数与复平面上点的对应关系的方法： (1)首先将复数表示为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式后，确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系． 思考题1　当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：(1)位于第四象限； 【解析】　(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15>0，,m2＋3m－28<0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>5或m<3，,－7<m<4.))∴－7<m<3. (2)位于x轴的负半轴上． 【解析】　(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15<0，,m2＋3m－28＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3<m<5，,m＝－7或m＝4.)) ∴m＝4. 例2　(1)在复平面内，O为原点，向量eq \o(OZ1,\s\up12(→))对应的复数是5－4i，向量eq \o(OZ2,\s\up12(→))对应的复数是－5＋4i，则eq \o(OZ1,\s\up12(→))＋eq \o(OZ2,\s\up12(→))对应的复数是(　　) A．－10＋8i　　 B．10－8i C．0 D．10＋8i 【解析】　由复数的几何意义，可得eq \o(OZ1,\s\up12(→))＝(5，－4)，eq \o(OZ2,\s\up12(→))＝(－5，4)，所以eq \o(OZ1,\s\up12(→))＋eq \o(OZ2,\s\up12(→))＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以eq \o(OZ1,\s\up12(→))＋eq \o(OZ2,\s\up12(→))对应的复数为0. (2)在复平面内，O为坐标原点，向量eq \o(OA,\s\up12(→))对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量eq \o(OB,\s\up12(→))对应的复数为(　　) A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i 【解析】　因为复数－1＋2i对应的点为A(－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以eq \o(OB,\s\up12(→))对应的复数为－2＋i. 复数与平面向量的对应关系： (1)当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 思考题2　(1)已知在复平面中，O是原点，向量eq \o(OA,\s\up12(→))，eq \o(OB,\s\up12(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq \o(BA,\s\up12(→))对应的复数是(　　) A．－5＋5i B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i 【解析】　向量eq \o(OA,\s\up12(→))，eq \o(OB,\s\up12(→))对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量eq \o(OA,\s\up12(→))＝(2，－3)，eq \o(OB,\s\up12(→))＝(－3，2)． 由向量减法的坐标运算可得向量eq \o(BA,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量eq \o(BA,\s\up12(→))对应的复数是5－5i. (2)在复平面内，O为原点，向量eq \o(OA,\s\up12(→))对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量eq \o(OB,\s\up12(→))对应的复数为(　　) A．－2－i B．2＋i C．1＋2i D．－1＋2i 【解析】　∵eq \o(OA,\s\up12(→))＝－1－2i，∴A(－1，－2)． ∴B(－1，2)，∴eq \o(OB,\s\up12(→))＝－1＋2i.故选D. 例3　(1)已知复数eq \o(z,\s\up12(－))的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是________． ±eq \r(3) 【解析】　∵eq \o(z,\s\up12(－))的实部为1，∴z的实部为1，又|z|＝2，∴可设z＝1＋bi(b∈R)．则b2＝3，b＝±eq \r(3)，即复数z的虚部是±eq \r(3). (2)已知x，y∈R，i为虚数单位，若1＋xi＝(2－y)－3i，则|x＋yi|＝________． eq \r(10) 【解析】　因为1＋xi＝(2－y)－3i， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－y＝1，,x＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1，)) 则|x＋yi|＝|－3＋i|＝eq \r(（－3）2＋12)＝eq \r(10). (1)求复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，只需代入定义式|z|＝eq \r(a2＋b2)即可，注意复数的模往往和其他章节的内容相联系． (2)|z|＝|eq \o(z,\s\up12(－))|＝eq \r(a2＋b2). (3)两个复数相等，其模必相等，反之，两个复数的模相等，这两个复数不一定相等． 思考题3　(1)若复数z＝(a＋2)－2ai的模等于eq \r(5)，则实数a的值为________． eq \f(1,5)或－1 【解析】　根据题意得eq \r(（a＋2）2＋（－2a）2)＝eq \r(5)， 两边平方得5a2＋4a＋4＝5， ∴(5a－1)(a＋1)＝0，∴a＝eq \f(1,5)或a＝－1. (2)若复数z在复平面内对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝eq \r(5)，则复数z＝________________． 【解析】　设复数z在复平面内对应点Z，则Z(t，2t)．∵|z|＝eq \r(5)，∴eq \r(t2＋4t2)＝eq \r(5).∴t2＝1，t＝±1.∴点Z(1，2)或Z(－1，－2)．∴复数z＝1＋2i或z＝－1－2i. 复数模的几何意义 例　(1)设z∈C，且满足|z－i|＝1，则在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ 【解析】　根据模的几何意义，|z－i|＝1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0，1)的距离为1. ∴满足|z－i|＝1的点Z的集合为以(0，1)为圆心，以1为半径的圆． (2)若复数z满足|z＋eq \r(3)＋i|＝1，求|z|的最大值和最小值． 【解析】　由于|z＋eq \r(3)＋i|＝1，即|z－(－eq \r(3)－i)|＝1，因此在复平面内，复数z对应的点Z到点(－eq \r(3)，－1)的距离等于1，故点Z的轨迹是以M(－eq \r(3)，－1)为圆心，半径r＝1的一个圆(如图)，而|z|表示点Z到原点的距离，又圆心到原点的距离d＝2，故|z|的最大值为d＋r＝2＋1＝3，|z|的最小值为d－r＝2－1＝1. (1)复数模的几何意义可以延伸为|z－z1|表示复数z在复平面内对应的点Z与复数z1在复平面内对应的点Z1间的距离，从而可以数形结合解决有关问题． (2)判断复数在复平面内对应的点的轨迹时，要充分利用复平面内两点间的距离公式以及相关曲线的定义进行分析判断． 思考题　(1)在复平面内，O为原点，若点P对应的复数z满足|z|≤1，则点P的集合构成的图形是(　　) A．直线 B．线段 C．圆 D．单位圆以及圆内部 【解析】　由|z|≤1，得|eq \o(OP,\s\up12(→))|≤1，所以满足条件的点P的集合是以原点O为圆心，1为半径的圆及其内部． (2)已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是(　　) A．1个圆　　　　　 B．线段 C．2个点 D．2个圆 【解析】　由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝3.∴复数z在复平面内对应的点的轨迹是1个圆． (3)已知复数z1＝eq \r(3)－i，z2＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i.设z∈C，试问满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点的集合是什么图形？该图形的面积是多少？ 【解析】　|z1|＝|eq \r(3)－i|＝2，|z2|＝eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)ieq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝1. ∵|z2|≤|z|≤|z1|，∴1≤|z|≤2，满足条件的点的集合是以原点O为圆心，1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界)，如图所示． 该图形面积为π·22－π·12＝3π. 要点1　复平面 (1)复平面:建立了平面直角坐标系来表示______的平面叫复平面． (2)实轴:坐标系中的__轴叫实轴,在它上面的点都表示实数． (3)虚轴:坐标系中的__轴叫虚轴,除去原点外，在它上面的点都表示______. 要点2　复数的几何意义 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是_________关系． 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与平面向量eq \o(OZ,\s\up12(→))是_________关系(O为原点)． 要点3　复数的模 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝________． 要点4　共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部_____，虚部___________时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做________． (2)表示：复数z的共轭复数用eq \o(z,\s\up12(－))表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么eq \o(z,\s\up12(－))＝______． eq \r(a2＋b2) 1．理解复数与复平面内的点的一一对应关系时应注意哪些问题？ 答：(1)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i. (2)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数． (3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中的z书写时应小写；复平面内点Z(a，b)中的Z书写时应大写． 4．若复数z满足z＋eq \o(z,\s\up12(－))＝0，则复数z是纯虚数吗？ 答：不一定，z＋eq \o(z,\s\up12(－))＝0时，z是纯虚数或z＝0. 2．复数与平面向量建立一一对应关系的前提条件是什么？ 答：向量的起点是原点．若起点不是原点，则复数与平面向量就不能建立一一对应关系． 3．若复数z的模满足|z|＝0，则复数z有何特征？ 答：z＝0. 1．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则(　　) A．a≠2或a≠1　　　　 B．a≠2且a≠1 C．a＝0 D．a＝2或a＝0 解析　由题意得a2－2a＝0，∴a＝2或a＝0.故选D. 2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 解析　两个复数对应的点分别为A(6，5)，B(－2，3)，则C(2，4)，故其对应的复数为2＋4i. 3．已知x∈R，则复数(x2＋1)＋xi在复平面内对应的点在(　　) A．实轴的下侧 B．实轴的上侧 C．虚轴的左侧 D．虚轴的右侧 解析　∵复数(x2＋1)＋xi的实部为正数， ∴它在复平面内对应的点在虚轴的右侧． 4．在复平面内，已知平行四边形OABC，O，A，C三点对应的复数分别为0，1＋2i，3－2i，则向量eq \o(AB,\s\up12(→))的模等于(　　) A.eq \r(5) B．2eq \r(5) C．4 D.eq \r(13) 解析　∵四边形OABC是平行四边形，∴eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))＝3－2i. ∴|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝|3－2i|＝eq \r(32＋（－2）2)＝eq \r(13).故选D. 5．在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数． 解析　记O为复平面的原点， 由题意得eq \o(OA,\s\up12(→))＝(2，3)，eq \o(OB,\s\up12(→))＝(3，2)，eq \o(OC,\s\up12(→))＝(－2，－3)． 设eq \o(OD,\s\up12(→))＝(x，y)，则eq \o(AD,\s\up12(→))＝(x－2，y－3)，eq \o(BC,\s\up12(→))＝(－5，－5)． 由题意知，eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝－5，,y－3＝－5，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2，)) 故点D对应的复数为－3－2i. $$