7.1.1数系的扩充和复数的概念-2024-2025学年第二学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

7.1.1数系的扩充 和复数的概念 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.(重点) 3.掌握复数代数形式的表示方法及分类，理解复数相等的充要条件.(难点) 学习目标 1545年，意大利数学家兼物理学家卡尔丹在其著作《重要的艺术》中提出了一个数学问题：将10分成两部分，使得这两部分的乘积为40。换句话说，就是要求解方程 (x(10 - x) = 40) 的根。卡尔丹求得的根为5+和5-，计算其乘积为 (25 - (-15) = 40)。然而，这一结果仅是从形式上进行的推广，因为在当时，人们普遍认为负数开平方是没有意义的。那么，负数真的不能开平方吗？ 导 语 目 录 1 2 3 4 复数的有关概念 复数的分类 复数相等的条件 CONTENTS 书读百遍 其义自现 复数的有关概念 1 我们知道，方程x2+1=0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 思考 提示　为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x=i是方程x2+1=0的解，即使得i2=-1. 1.复数 (1)定义：我们把形如 的数叫做复数，其中i叫做________，满足i2= . (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的 ，b叫做复数z的 . 2.复数集 (1)定义：全体复数构成的集合C=｛a+bi|a，b∈R｝叫做 . (2)表示：通常用大写字母 表示. a+bi(a，b∈R) 虚数单位 -1 实部 虚部 复数集 C 知识梳理 注意： (1)i2=-1. (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算. 知识梳理 8 在复数集C=｛a+bi|a，b∈R｝中任取两个数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 .特殊地，a+bi=0⇔ . a=c且b=d a=b=0 知识梳理 题型一　对复数相关概念的理解 √ √ √ √ 探究1 √ 复数的分类 2 1.复数z=a+bi(a，b∈R)可以分类如下： 实数 虚数 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识梳理 题型二　复数的分类 √ 探究2 √ 复数相等的条件 3 在复数集C=｛a+bi|a，b∈R｝中任取两个数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 .特殊地，a+bi=0⇔ . a=c且b=d a=b=0 知识梳理 题型三　复数相等 探究3 书读百遍 其义自现 4 复数 虚数单位 复数集 －1 R 实部与虚部 实数 虚数 a＝0 a≠0 a＝c且b＝d a＝b＝0 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ √ √ 0或1 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　(1)【多选题】下列说法不正确的是(　　) A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等 B．ai是纯虚数 C．若复数x＋yi是实数，则x＝0，y＝0 D．复数a＋bi的实部是a，虚部是bi 【解析】　由复数相等的定义知，两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0. (2)下列命题中，正确的是(　　) A．1－ai(a∈R)是一个复数 B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若a>b，则a＋i>b＋i 【解析】　由复数的定义知A正确；当a∈R，b＝0时a＋bi(b∈R)表示实数，故B错误；如果两个复数同时是实数时，可以比较大小，故C错误；a＋i与b＋i不能比较大小，故D错误．故选A. (1)复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部． (2)复数a＋bi(a，b∈R)的虚部是实数b而非bi. (3)两个复数能够比较大小的前提条件是两个复数均为实数． 思考题1　下列命题中，正确的是(　　) A．复数由实数、虚数、纯虚数构成 B．若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数 【思路】　根据复数及其相关概念进行分析判断，注意列举反例． 【解析】　复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数，A错误； 只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m，2n，B错误； 复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数，C正确； 只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数，D错误．故选C. 例2　(1)当m为何实数时，复数z＝eq \f(m2－m－6,m＋3)＋(m2－2m－15)i， ①是实数；②是虚数；③是纯虚数． 【思路】　由复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数和纯虚数的条件，把问题归结为解方程或解不等式的问题．解题过程中应重视分母不为零这一条件的约束． 【解析】　①当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋3≠0，,m2－2m－15＝0，)) 即m＝5时，z是实数． ②当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋3≠0，,m2－2m－15≠0，)) 即m≠5且m≠－3时，z是虚数． ③当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m2－m－6,m＋3)＝0，,m2－2m－15≠0，)) 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． (2)复数z＝(a＋1)＋(a2－3)i，若z<0，则实数a的值是(　　) A.eq \r(3)　 　 B．－eq \r(3)　 C．－1　　 D．1 【解析】　能比较大小的两个数一定都是实数，故a2－3＝0，解得a＝±eq \r(3)，又z<0，即a＋1<0，所以a<－1，故a＝－eq \r(3). 复数分类的关键： (1)对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式． (2)注意分清复数分类中的条件： 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①若z为实数⇔b＝0，②若z为虚数⇔b≠0，③若z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，④若z＝0⇔a＝0，且b＝0. 思考题2　(1)已知复数z＝(a2－7a＋6)＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为①实数；②虚数；③纯虚数． 【解析】　①当a2－5a－6＝0时，z为实数． 由a2－5a－6＝0，解得a＝－1或a＝6. ∴当a＝－1或a＝6时，z为实数． ②当a2－5a－6≠0，即a≠－1且a≠6时，z为虚数．∴当a∈(－∞，－1)∪(－1，6)∪(6，＋∞)时，z为虚数． ③当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－5a－6≠0，,a2－7a＋6＝0，))即a＝1时，z为纯虚数． (2)已知z1＝k2－4＋(k2－5k＋6)i，z2＝3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)．若z1<z2，则k的值为(　　) A．2　　　　　　 B．3 C．2或3 D．不存在 【解析】　由z1<z2，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2－4<3k，,k2－5k＋6＝0，))解得k＝2或k＝3.故选C. 例3　已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x－1)＋(3－y)i＝y－i，求x，y. 【解析】　∵y是纯虚数，可设y＝bi(b∈R，且b≠0)，则(2x－1)＋3i＋b＝bi－i， 整理得(2x－1＋b)＋3i＝(b－1)i. 由复数相等的充要条件，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＋b＝0，,b－1＝3))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,x＝－\f(3,2).))∴x＝－eq \f(3,2)，y＝4i. (1)复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1＝z2⇔a＝c且b＝d. (2)复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是： ①等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式． ②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组． ③解方程组，求出相应的参数． 思考题3　求满足下列条件的实数x，y的值： (1)(x－3y)＋(2x＋3y)i＝5＋i； 【解析】　(1)由(x－3y)＋(2x＋3y)i＝5＋i可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＝5，,2x＋3y＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.)) (2)2x2－5x＋3＋(y2＋y－6)i＝0. 【解析】　(2)由2x2－5x＋3＋(y2＋y－6)i＝0可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2－5x＋3＝0，,y2＋y－6＝0，)) 解得x＝eq \f(3,2)或x＝1，y＝2或y＝－3. 要点1　复数的有关概念 (1)复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做______，其中i叫做_________，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做_______．规定i·i＝i2＝_____． (2)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈_____)，a与b分别叫做复数z的___________． 要点2　复数的分类 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(______（b＝0），, ______（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(纯虚数（______），,非纯虚数（______）.)))) (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 要点3　复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔____________，a＋bi＝0⇔_________． 1．数系是如何逐步扩充的？ 答：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关．由计数的需要，得自然数(正整数和零)，为表示和正整数具有相反意义的量，如解方程x＋3＝1，得负整数，负整数和自然数统称为整数；由测量、分配中的等分，如解方程3x＝5，得分数(由有限小数和循环小数组成)，分数和整数统称为有理数；为解决正方形对角线的度量，如解方程x2＝2，得无理数，即无限不循环小数，无理数和有理数统称为实数；为解决负实数不能开平方的问题，如解方程x2＝－1，得虚数，虚数和实数统称为复数． 2．虚数为什么不能比较大小？ 答：引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下： 若i>0，则2i>i，两边同乘i，得2i2>i2，即－2>－1，与实数系中数的大小规定相矛盾；若i<0，则－2<－1⇒－2i>－i⇒－2i·i<－i·i⇒2<1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的． 故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分． 若两个复数用“>”或“<”连接，则必为实数． 1．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，则下面结论正确的是(　　) A．A∩B＝C　　　　 B．∁UA＝B C．A∩(∁UB)＝∅ D．B∪(∁UB)＝C 解析　由复数的分类可知D正确． 2．“a＝－2”是“复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　a＝－2时，z＝－i是纯虚数；z为纯虚数时，a2－4＝0，且a＋1≠0，即a＝±2. ∴“a＝－2”可以推出“z为纯虚数”，反之不成立．故选A. 3．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　) A.eq \r(2)，1 B.eq \r(2)，5 C．±eq \r(2)，5 D．±eq \r(2)，1 解析　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,－（2－b）＝3))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝±\r(2)，,b＝5.))故选C. 4．已知x，y∈R，若2＋yi＝x－i(i为虚数单位)，则y－x的值为(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 解析　因为2＋yi＝x－i，x，y∈R，则x＝2，y＝－1，所以y－x＝－3.故选B. 5．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________． 解析　z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，因为z是实数，所以m2－m＝0，所以m＝0或1. $$