专题05 二元一次方程组的应用拔高训练（8种类型32道题）-【名校压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题精讲精练（浙教版2024）

专题05 二元一次方程组的应用培优训练（8种类型32道题） 考点导航 考点清单 二元一次方程组解决实际问题的步骤 理解问题 审题，搞清楚已知和未知，分析数量关系 制定计划 考虑如何根据等量关系设元，列出方程组； 执行计划 列出方程组并求解，得到答案 回顾 检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意。 题型01 方案设计问题 某通讯器材商场，计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求. 已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为：甲种型号手机每部1200元，乙种型号手机每部400元，丙种型号手机每部800元. （1）若该商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将40000元恰好用完. 请你帮助该商场研究一下进货方案； （2）商场每销售一部甲种型号手机可获利120元，每销售一部乙种型号手机可获利80元，每销售一部丙种型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？ 答案：(1) 共两种进货方案：方案1：甲种型号30部，乙种型号10部；方案2：甲种型号20部，丙种型号20部; (2) 购进甲种型号20部，丙种型号20部获利最多 【思路点拨】 解：（1）设购进甲种型号x部，乙种型号y部，丙种型号z部。 方案1：购进甲、乙： 根据题意，得，解得  ； 即甲种型号30部，乙种型号10部. 方案2：购进甲、丙：   根据题意，得，解得  , 即甲种型号20部，丙种型号20部. 方案3：购进乙、丙：   根据题意，得 ，解得舍去， ∴共两种进货方案： 方案1：甲种型号30部，乙种型号10部； 方案2：甲种型号20部，丙种型号20部. （2）方案1获利120×30+80×10=4400元； 方案2获利120×20+120×20=4800元， ∴第2种方案即购进甲种型号20部，丙种型号20部获利最多. 1．某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的、两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 型货车辆数 型货车辆数 累计运货量 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)该果园现有吨水果，计划同时租用型车辆，型车辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨． (2)有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆． (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【分析】（1）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意列出二元一次方程组即可得解； （2）结合两型号车的运量列出，再由，都是正整数进行方案设计即可； （3）根据（2）中的三个方案，分别计算，比较后即可得解． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，，解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨． （2）解：由（1）得，， ， ，都是正整数， 或或， 有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆． （3）解：型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， 方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ， 最省钱的租车方案是方案三，租车费用是元． 答：租型车辆，型车辆最省钱，最少租车费为元． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意正确列出二元一次方程组． 2．某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运11吨.该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满. (1)1辆A型车和1辆型车都装满资物，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费. 【答案】(1)1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆型车装满资物一次可运3吨． (2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆型车；方案2：租用4辆A型车，5辆型车；方案3：租用7辆A型车，1辆型车． (3)最省钱的租车方案为租用7辆A型车，1辆型车，最少租车费为990元． 【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满资物一次可运吨，1辆型车装满资物一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆型车装满资物一次可运3吨． （2）依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆型车；方案2：租用4辆A型车，5辆型车；方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． 所以最省钱的租车方案为租用7辆型车，1辆型车，最少租车费为990元． 3．请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张． 素材二 在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了_______张C型的消费券，此时的实际消费最少为_______元． 任务二 若小明一家用13张型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用付款最少，并求出此过消费券的搭配方案． 【答案】任务一：4；621；任务二：A型的消费券4张，B型的消费券6张，则C型的消费券3张；任务三：付款最少方案为：使用10张A型券，4张C型券 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程（组），准确解方程（组），求出正整数解． 任务一：根据小明一家用了张A型消费券，张型的消费券，消费金额减了元，可求出用了张型的消费券，即可求出实际消费最小值； 任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券张，根据题意列方程组计算即可； 任务三：分别计算三种搭配付款，比较即可． 【详解】解：任务一：用C型的消费券数量为：， ∴满减前至少消费（元）． ∴满减后实际消费（元）． 任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券张， 由题意可得：， 解得． ∴C型的消费券张． 答：A型的消费券4张，B型的消费券6张，则c型的消费券3张； 任务三： ①设小明一家共使用A型的消费券a张，B型的消费券b张，则a，b都是正整数，， ， A、B型：， ∴． ∵a，b都是正整数，， 无符合题意的整数解； ②设小明一家共使用A型的消费券a张，C型的消费券c张，则a，c都是正整数，， ， A、C型：， ∴． ∵a，c都是正整数， ， ∴或． ∴付款为：（元）或（元）． ③设小明一家共使用B型的消费券b张，C型的消费券c张，则b，c都是正整数，， ， B、C型：， ∴． ∵b，c都是正整数， ， ∴， ∴付款为：（元）， 综上：付款最少方案为：使用10张A型券，4张C型券． 4．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元 (2)共有两种购买方案： 方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车； 方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车 (3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价=单价×数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据“购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价=单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意可列方程组为，解得， 所以A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元． （2）解：设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车， 根据题意得：，且均为正整数， 或 共有两种购买方案： 方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车； 方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车． （3）解：方案一：获得的利润为：（万元）， 方案二：获得的利润为：（万元） 第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 题型02 配套与调配问题 现用张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做个盒身或做个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身，多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 答案：B 【思路点拨】设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，根据一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，盒身与盒底正好配套可知盒底是盒身的两倍，故可列出二元一次方程组． 设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底， 依题意可得 配套问题中的隐含等量关系：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，则 = ，即b×甲产品的件数=a×乙产品的件数。 5．根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面． (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 【答案】(1)A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子． (2)①购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元．②填表见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面，再建立方程组解题即可； （2）①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，可得，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，此时费用为，设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，再建立方程组可得答案． 【详解】（1）解：设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，则 ， 解得：， ∴A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子． （2）①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，则 ， ∴， ∴， ∵，为正整数， ∴或， ∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元， 当时，则费用为（元）， 当时，则费用为（元）， ∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元． ②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸． ∴尽可能多买A卡纸， 当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张， 此时费用为， 设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼， ∴， 解得：， ∴A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼， 制作分配方案如下： 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 6．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与 座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和座垫______张． 方法三：裁切靠背______张和座垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？ 【答案】任务一：8，3；0，6；任务二：购进110张该型号板材，制作成480张学生椅；任务三：159张 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可； 任务二：列式计算得能制作成240张学生椅； 任务三：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张，可得，解方程组可得答案． 【详解】解：任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张， ， m，n为非负整数， 或或 故答案为：8，3；0，6； 任务二：∵（张）， ∴购进110张该型号板材，制作成480张学生椅； 任务三：设用x张板材裁切靠背8张和座垫3张，用y张板材裁切靠背0张和座垫6张，， 解得： ∵（张）， ∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和座垫3张，用73张板材裁切靠背0张和座垫6张． 7．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    多面体 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 6 长方体 6 12 正八面体 8 (1)计算长方体棱数，可依据长方体有6个面，每个面均为四边形即有4条棱，得出总棱数为12；请你猜想多面体面数、形状、棱长之间的数量关系，完成以下计算： ①如图所示，正八面体的每一个面都是三角形，则正八面体有__________条棱； ②正十二面体的每一个面都是正五边形，则它共有__________条棱； (2)如下图，一种足球（可视作简单32面多面体）是由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长相等，已知图中足球有90条棱；某体育公司采购630张牛皮用于生产这种足球，已知一张牛皮可用于制作30个正五边形或者制作20个正六边形，要使裁剪后的五边形和六边形恰好配套，应怎样计划用料才能制作尽可能多的足球？      【答案】(1)12;30 (2)用于制作30个正五边形的牛皮共180张，用于制作20个正六边形的牛皮共450张． 【分析】本题考查了几何体中点、棱、面之间的关系以及二元一次方程组的应用与整除问题，解题的关键是审清题意． （1）根据每一个面有三条棱，每二个面共用一条棱即可求解，即：棱数面数． （2）设一个足球有黑皮x块，白皮y块，根据二个面共用一条棱，结合题意可列方程组，求得每个足球黑皮块数与白皮块数；然后再设用于制作正五边形的需要m张，用于制作正六边形的需要n张，依据题意建立方程组，求得m与n的最大整数值，并检验是否符合题意即可得到答案． 【详解】（1）解：①正八面体的每一个面都是三角形，则每一个面有三条棱，故八个面共有条棱，但每两个面共用一条棱，因此正八面体棱数是：（条）． ②根据①的思路可知，正十二面体共有棱数：（条）． 故答案为：12；30． （2）设一个足球有黑皮x块，白皮y块，根据题意得： ，解得： 设630张牛皮中，用于制作正五边形的需要m张，用于制作正六边形的需要n张，依据题意得：，解得：（m、n为整数） m、n取最大的整数并经过检验知，正好符合题意， ∴最多制作（个）足球，且正好将630张牛皮全部用完． 答：用于制作30个正五边形的牛皮共180张，用于制作20个正六边形的牛皮共450张． 8．亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有16人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位． (1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（用二元一次方程组解答） (2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则36座客车需要多少辆？22座客车需要多少辆？ 【答案】(1)计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有232名志愿者； (2)36座客车需要4辆，22座客车需要4辆． 【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，根据题中等量关系列出方程组即可；　 （2）设需调配36座客车辆，22座客车辆，根据题意列出二元一次方程， 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车辆，依题意，得：， 解得：； 答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有232名志愿者． （2）解：设需调配36座客车辆，22座客车辆， 依题意，得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴； 答：36座客车需要4辆，22座客车需要4辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与二元一次方程的实际应用，根据题意列出方程组与方程是解题的关键． 题型03 几何图形问题 9．综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 【答案】（1）；；20； （2） （3）边长 【分析】本题主要考查整式的运算与图形，一元一次方程，二元一次方程组的运用，理解图示中线段的关系，由数量关系正确列式求解是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为，根据周长计算方法列方程求解即可； （2）由题意可得，设图2中长方形的长为，宽为，由此列二元一次方程组求解即可； （3）设，，则，，根据 ，，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为， ∴列方程， 解得，， ∴正方形的边长为， 故答案为：，，； （2）由（1）可知，， ∴， 设图2中长方形的长为，宽为， ∴， 解得，， ∴ ∴图2中每块小长方形的面积； （3）“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙）， ∴设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∴小正方形的边长为． 10．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 【答案】(1) (2)①；；②24，27，30 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． （1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：、； （2）①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：， 所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生B型板材为，， 所以两种裁法共产生B型板材为张； 故答案为：；． 由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张． ∵所裁得的板材恰好用完， ∴，化简得． ∵n，m皆为整数， ∴m为4的整数倍， 又∵， ∴m可取32，36，40， 此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30． 答：做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个． 11．如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，若设小长方形的长为厘米、宽为厘米，请你求出图中阴影部分面积． 【答案】44平方厘米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．观察图形得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分总面积=长方形的面积倍的小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：依题意，得：， 解得：， ∴阴影部分的面积为：（平方厘米）． 12．综合与实践 小许是个爱动脑筋的学生，她在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：如图1，长方形中放置个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． (1)小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积． 解决问题： 请按照小许的思路完成上述问题： (2)动手实践：解决完上面的问题后，小许在家里找了张形状大小都相同的卡片，恰好拼成了一个大的长方形如图所示，打乱后又拼成如图那样的大正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，求每个小长方形的面积．请给出解答过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用， （1）设小长方形的长为、宽为，根据图示可以列出方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积即可； （2）设小长方形的长为，宽为，根据“长方形的对边相等及小正方形的边长为”列出方程组，求解后再根据长方形的面积公式即可得出答案； 根据图示找出数量关系并列出方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得， ∴ 答：阴影部分的面积为； （2）设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得：， ∴ 答：每个小长方形的面积为． 题型04 工程问题 一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问： (1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 【思路点拨】（1）设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，进行计算即可得； （2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得． （1）解：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元， 依题意得：， 解得， 答：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元． （2）解：甲单独完成：（元） 乙单独完成：（元） 甲、乙两队完成：（元） ， ∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营． 思路点拨：工程问题中往往通过总工程量不变列方程(组)，也可以灵活假设总工程量为“单位 1”. 13．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； (3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 【答案】(1)40，15 (2)6 (3)16 【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，依题意得，，解得，，则； （2）由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设还需要再合作天可完成此项工程的，依题意得，，计算求解即可； （3）设甲单独工作天，甲乙合作工作天，依题意得，，计算求出的值，然后根据，计算求解甲工程队参加工作的天数． 【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天； （2）解：由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设还需要再合作天可完成此项工程的， 依题意得，， 解得，， ∴还要再合作6天可完成此项工程； （3）解：设甲单独工作天，甲乙合作工作天， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴甲工程队参加工作16天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． 14．某建筑公司有甲、乙两个工程队，先后接力完成河以道路整治任务，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时25天． (1)若这段河边道路长为300米，求甲、乙两个工程队分别整治河道多少米？ (2)若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的别用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，甲工程队至少工作多少天？ 【答案】(1)甲、乙两个工程队分别整治河道150米和150米 (2)10天 【分析】（1）根据题意可设甲工程队整治河道x天，乙工程队整治河道y天，列出二元一次方程组求出即可； （2）设甲工程队工作m天，则乙工程队工作天，根据总费用不超过18万元，列出不等式求解即可. 【详解】（1）解：设甲工程队整治河道x天，乙工程队整治河道y天， 由题意得， ，得： ，得：，即， 把代入①中得：， ∴，， 答：甲、乙两个工程队分别整治河道150米和150米； （2）解：设甲工程队工作m天，则乙工程队工作天． 由题意可得：， 解得：， 答：甲工程队至少工作10天． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用及不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式. 15．现有一段长为180米的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲列出的方程组为分析甲所列的方程组，请指出未知数x，y表示的意义，x表示 ，y表示 ； (2)若设A工程队共整治河道m米，B工程队共整治河道n米，请根据题意列出二元一次方程组，并求出m，n的值． 【答案】(1)A工程队整治河道的天数；B工程队整治河道的天数 (2)；60，120 【分析】（1）根据所列的方程组，结合题意，作答即可； （2）根据有一段长为180米的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成，得到，根据共用时20天得到：，即可得出方程组，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意和所列方程组可知：x表示A工程队整治河道的天数，表示：B工程队整治河道的天数， 故答案为：A工程队整治河道的天数；B工程队整治河道的天数； （2）设A工程队共整治河道m米，B工程队共整治河道n米，由题意，得： ，解得：． 即m，n的值分别为60，120． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键． 16．北京丰台站是亚洲最大铁路枢纽客站．北京丰台站交通枢纽是北京丰台站的重要配套工程，设计施工中采用了绿色建筑设计及建造技术，通过设置空气源热泵、节能灯具、高性能建材等，节约能源及建筑材料．北京丰台站交通枢纽将在2023年年内实现主体结构封顶．施工单位租用两种车型为交通枢纽运送高性能建材，若用2辆A型车和1辆B型车载满高性能建材，一次可运送10吨：用1辆A型车和2辆B型车载满高性能建材，一次可运送11吨． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满高性能建材，一次分别可运送多少吨？ (2)现有高性能建材31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都载满高性能建材． ①请你帮施工单位列出所有可能的租车方案： ②若1辆A型车需租金300元/次，1辆B型车需租金320元/次，则最少的租车费是______元 【答案】(1)1辆A型车一次可运送3吨，1辆B型车一次可运送4吨； (2)①有三种租车方案： 方案一：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案二：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案三：租用1辆A型车，7辆B型车． ②2540． 【分析】（1）设1辆A型车一次可运送x吨，1辆B型车一次可运送y吨，根据“若用2辆A型车和1辆B型车载满高性能建材，一次可运送10吨：用1辆A型车和2辆B型车载满高性能建材，一次可运送11吨”的等量关系列出二元一次方程组，求解即可； （2）①根据题意可得，根据a、b均为非负整数可得a、b的值，从而得到租车方案； ②分别计算出各种方案的租车费，即可解答． 【详解】（1）解：设1辆A型车一次可运送x吨，1辆B型车一次可运送y吨．根据题意，得： ， 解得， 答：1辆A型车一次可运送3吨，1辆B型车一次可运送4吨． （2）①根据题意，得 ∵x、y均为非负整数 ∴或或 ∴有三种租车方案： 方案一：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案二：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案三：租用1辆A型车，7辆B型车． ②各方案的租车费为： 方案一：（元） 方案二：（元） 方案三：（元） ∴最少的租车费是2540元 故答案为：2540 【点睛】本题考查二元一次方程（组）解决实际问题，二元一次方程的特殊解，正确理解题意，列出二元一次方程（组）是解题的关键． 题型05 行程问题 小明步行从家到学校，其中有一段为上坡路，另一段为平路．如果保持走上坡路的速度为，走平路的速度为，走下坡路的速度为，从家到学校需要分钟，从学校到家需要分钟，那么小明家到学校的距离是多少？ 【思路点拨】考查由实际问题抽象出二元一次方程组，得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键．设从家到学校的上坡路为x千米，平路为y千米，由时间关系列出方程组，即可求解． 解：设从家到学校的上坡路为x千米，平路为y千米，由题意得；解得， 所以． 答：小明家到学校的距离是． 思路点拨：解决行程问题需要先找出题目中隐藏的不变量，再根据等量关系列方程(组)，另外要注意题目中同向，相向等字眼.（注意：同时、同地、运动方向等关键词） 路程=速度×时间 同向追击问题：相遇时路程差=初始相距距离 相向相遇问题：相遇是路程之和=初始相距距离 顺风顺水：实际速度=静水速度+水流速度；逆风逆水：实际速度=静水速度-水流速度； 17．一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 【答案】(1)水流速度是每小时5千米； (2)救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； (3)救生圈于上午12时掉入水中． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，然后根据题意可列方程组为，可进行求解； （2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，然后根据题意可列方程为，然后根据行船问题可进行求解； （3）设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时， 由题意得： ， 解得：， 答：水流速度是每小时5千米； （2）解：设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得： ， 解得：， ∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）； 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； （3）解：设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：救生圈于上午12时掉入水中． 18．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同． (1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟； (2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【答案】(1)相差19分钟 (2)小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为30分钟和11分钟 【分析】本题考查二元一次方程（组）的实际应用，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为x分钟和y分钟，根据“两人付给滴滴快车的乘车费相同”列方程求解即可； （2）根据题意小张乘车时间短，然后根据“他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟” 列方程组求解即可． 【详解】（1）解：设小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为x分钟和y分钟， 根据题意，得， 解得， ∵两人实际乘坐滴滴快车的时间即为这两辆滴滴快车的实际行车时间， ∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟； （2）解：由知小张乘车时间短， 根据题意，，解得， 答：小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为30分钟和11分钟． 19．甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 20．青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【答案】次列车的长度为，速度为． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案． 【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得： ， 解得： 答：次列车的长度为，速度为． 题型06 销售、利润问题 一套衣服的上衣和裤子共100元．因市场需求变化，商家决定分开销售．裤子降价，上衣提价，调价后，这套衣服的售价比原来提高了8元．问调价后上衣和裤子的售价各是多少元？ 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的应用；设调价前上衣的单价是元，裤子的单价是元，列出二元一次方程组，解方程组即可作答． 解：设调价前上衣的单价是元，裤子的单价是元，由题意得 解得， （元） （元） 答：调价后上衣的单价是72元，袘子的单价是36元．（方法不唯一） 21．根据以下素材，完成任务． 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的A型打印机与B型打印机的购买清单，如表所示： A型打印机数量（台） B型打印机数量（台） 购进所需总费用（元） 2022年 10 20 26000 2023年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又向学校申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家进行咨询，得知今年A型打印机单价不变，B型打印机打八折优惠． 素材三 打印机的耗材包含A4纸以及黑色墨水．校总务处根据统计前两年购买的A4纸以及黑色墨水的总费用，预估今年耗材费用为w元．若购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元． 问题解决 任务一 计算商品单价 若2022年与2023年购进的A型与B型打印机的单价不变，求购进A型打印机与B型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 任务三 确定耗材费用 在任务二的采购方案中，学校采用购入打印机总数最多的方案．在此基础上，为今年新购入的打印机配置耗材，每台打印机配置3本A4纸与1盒黑色墨水，求学校今年需为这几台新购入的打印机支出多少元的耗材费用？（结果用含w的代数式表示） 【答案】任务一：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元；任务二：有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台 任务三：学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 任务一：根据素材一的表格列方程组求解； 任务二：根据“总务处预计将3800元采购经费正好用完”列方程，再求正整数解； 任务三：先根据“购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元．”列方程组，再代入求解． 【详解】解：任务一：设2023年购进A型打印机的单价为x元，B型打印机的单价是y元， 则：， 解得：， 答：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元； 任务二：设购买A型打印机a台，B型打印机b台， 则：， ∴方程组的正整数解为：或， ∴有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台； 任务三：方案①共6台打印机，方案②共5台打印机， ∴买6台打印机共需要配置18本A4纸与6盒黑色墨水， 设购买1本A4纸需要m元和1盒黑色墨水需要n元， 则， 方程组可化为：， ∴， ∴学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用． 22．根据如下素材，探索完成任务． 背景 数学兴趣小组对某奶茶店中A、B两种款式的奶茶进行研究． 素材1 买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．                  素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 解决问题 任务1 求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的，B款加料的奶茶3杯．则一共买了多少杯奶茶？ 【答案】任务1：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元 任务2：共有3种购买方案 任务3：一共买了33杯奶茶 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （任务1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据“买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务2）设在不加料的情况下，购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，利用总价＝单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出共有3种购买方案； （任务3）设购买A款不加料的奶茶m杯，A款加料和B款不加料的奶茶共n杯，则购买B款加料的奶茶杯，利用总价＝单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，均为正整数，即可得出m，n的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：（任务1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； （任务2）设在不加料的情况下，购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶， 根据题意得：， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案； （任务3）∵（元）， ∴A款加料的奶茶的单价与B款不加料的奶茶的单价相同． 设购买A款不加料的奶茶m杯，A款加料和B款不加料的奶茶共n杯，则购买B款加料的奶茶杯， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n，均为正整数， ∴， ∴（杯）． 答：一共买了33杯奶茶． 23．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元 (2)共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆 (3)购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元 【分析】（）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解方程即可求解； （）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 由题意得，， 解得， 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 由题意得，， 解得， ，均为正整数， ，，， 共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆； （3）解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元； ， 购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元． 24．某公司准备去超市采购牛奶和面包若干箱，采购员设计了两种不同的购买方案，如表所示． 牛奶/箱 面包/箱 金额/元 方案一 方案二 (1)采购员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，请你计算被污渍盖住的地方对应的金额是多少元； (2)若公司购买牛奶箱，面包箱，需支付费用元． ①求牛奶和面包每箱分别为多少元； ②若超市中该款面包和牛奶有部分因包装破损进行打六折的促销活动，采购员根据需要选择原价或打折的面包和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是购买的牛奶与面包总箱数的，则此次按原价购买的面包有多少箱？ 【答案】(1) (2)①牛奶与面包每箱分别为30元、50元；②6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设牛奶一箱元，面包一箱元，由题意得：，再由，即可求解； （2）①设牛奶一箱元，面包一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与面包总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价面包为箱，则打折面包与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设牛奶一箱元，面包一箱元， 由题意得：， （元）， （2）解：①设牛奶一箱元，面包一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与面包每箱分别为30、元； ②设牛奶与面包总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱， 打折牛奶价格为：（元），打折面包价格为：（元）， 即打折面包价格与牛奶原价相同， 设原价面包为箱，则打折面包与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， ∴ 、均为正整数， ∴是正整数， ∴a必须是20的倍数， ，或， ， ，， 答：此次按原价采购的面包有6箱， 题型07 数字计算问题 一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.可列方程组求解． 解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．      依题意，得：      解得：                   答：这个两位数为． 25．一个四位正整数m的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“友好数”．则： (1)最小的“友好数”为______最大的“友好数”为______； (2)将友好数m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到，令，将友好数m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到，，若被5除余1，求满足条件的m的最大值． 【答案】(1)1243，9867； (2)m最大值为9537 【分析】本题主要考查了新定义运算，整式的加减的应用，理解新定义，准确进行计算是解题的关键． (1)根据“友好数”定义即可得出最小和最大的“友好数”； (2)设正整数的千位数是，百位数为，千位数与十位数的和与百位数与个位数的和为，则十位数为，个位数为，分别表示出，，，得出，要使最大，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“友好数”， 数位从高到低尽量小时，可得到最小的“友好数”为1243，数位从高到低尽量大时，可得到最大的“友好数”为9867， 故答案为：1243，9867； （2）设正整数的千位数是，百位数为，千位数与十位数的和与百位数与个位数的和为，则十位数为，个位数为， ， ， ， ， ， ， 一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0， ，，，， 要使最大， ， ， 被5除余1， 的取值为6或11或16， 当时，，解得， ，，此时为9537， 当时，，解得， ，，此时为9328， 当时，，解得， ，不符合题意， ， 满足条件的的最大值为9537． 26．列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 【答案】(1)；； (2)时小明看到的两位数是51 【分析】本题主要考查了列代数式及二元一次方程组的应用，正确找出各数量关系是解题的关键． （1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程碑上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； 故答案为；，，． （2）解： ， 解得：． ∴小明在时看到里程碑上的两位数． 答：小明在时看到里程碑上的两位数是51． 27．已知N为一个四位自然数：若N各个数位上的数字均不为0且满足千位数字等于个位数字，百位数字等于十位数字减去个位数字得到的差，则称N为“等差数”．对于一个“等差数”N，将N的十位数字记为b，个位数字记为a，，令． 例如：当时，∵且，∴1231是“等差数”； 此时，； 当时，∵但．∴不是“等差数” (1)判断，是否是“等差数”，并说明理由；若是，求出对应的F（N）的值； (2)对于“等差数”，将的各个数位上的数字之和记为，若为完全平方数，求的所有可能值． 【答案】(1)是“等差数”，；不是“等差数” (2)或或 【分析】（1）根据题中所给的等和数的定义及的求法进行判断求解即可； （2）根据等差数的定义，设，再求出，结合材料求出，进而求出，再根据等和数及平方数的定义即可求解． 【详解】（1）解：是“等差数”；不是“等差数”； 对于，，且， ∴是“等差数”； 此时， 对于，，且， ∴不是“等差数”； （2）依题意，设， ∴，． ， ∴， ，，，是整数且， ，是整数 若为完全平方数，则 时，此时没有满足条件的， 时，满足条件的有，，此时， 则， 当时，； 则， 时，此时没有满足条件的， 时，满足条件的只有，此时， 则， 综上所述，的所有可能值为或或． 【点睛】本题考查了新定义运算，解题关键是读懂题意根据等和数的定义正确表示出四位数，再结合完全平方数分类讨论． 28．阅读材料并完成题目 【材料一】我们可以将任意三位数记为（其中分别表示该数百位数字、十位数字和个位数字，且），显然． 【材料二】若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字4，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“明礼数”，如36的“明礼数”为346；若将一个两位正整数M加4后得到一个新数，我们称这个新数为M的“修身数”，如37的“修身数”为41． (1)30的“明礼数”是______，“修身数”是______； (2)求证：对任意一个两位正整数，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除； (3)若一个两位正整数的“修身数”的各位数字之和是的“明礼数”各位数字之和的一半，求的最大值． 【答案】(1)340，34 (2)见解析 (3)86 【分析】（1）根据“明礼数”和“修身数”的定义计算即可得到答案； （2）设的十位数字为，个位数字为，则其“明礼数”为：，“修身数”为：，作差进行计算即可得到答案； （3）设的十位数字为，个位数字为，则其“明礼数”为：，“修身数”为：，则 “明礼数”的各位数字之和为：，当时，“修身数”的各位数字之和为：，当时，“修身数”的各位数字之和为：，最后分情况进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： 30的“明礼数”是340，30的“修身数”是34， 故答案为：340，34； （2）证明：设的十位数字为，个位数字为， 则其“明礼数”为：，“修身数”为：， 它们的差为：， 对任意一个两位正整数，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除； （3）解：设的十位数字为，个位数字为， 则其“明礼数”为：，“修身数”为：， “明礼数”的各位数字之和为：， 当时，“修身数”的各位数字之和为：， 当时，“修身数”的各位数字之和为：， 一个两位正整数的“修身数”的各位数字之和是的“明礼数”各位数字之和的一半， 当时，， 解得：，不符合题意， 当时，， 解得：， 为两位正整数， 当时，最大，最大值为86． 【点睛】本题主要考查了新定义在数字问题中的应用，正确理解“明礼数”和“修身数”的定义是解题的关键． 题型08 幻方问题 29．如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 【答案】填写的数字分别为2，9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y，根据：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y． 根据题意，得：， 整理，得， 解得：， 故题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为2，9． 30．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t，分别用含有t的式子表示每一空格的数，再根据第三行的和等于第二行的和列方程求解即可； （2）由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组求得m、n的值，即可求解； （3）根据第一行的和等于第三列的和可得关于x的一元二次方程，求得x的值，再根据第二行的和与对角线的和相等即可求解． 【详解】（1）解：设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t， 则每一空格如图所示， 0 2 3 a ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， ∴最右下角的数为：或， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4； （3）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 整理得，， ∵， 整理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． 31．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)一共有3种填法；填写见解析 【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可； （3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：根据题意得：， 即， ∵m，n为正整数， ∴，，， ∴共有3种填法；    【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组． 32．[阅读] 将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”也称幻方，m为幻方值下面的图1是满足条件的“和15幻方”    [探究] (1)若图2为“和m幻方”，则． (2)小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；；；……你能运用这个规律解决以下问题吗？ 问题解决：图3为幻方，，且，求出图3的幻方值． 【答案】(1)8，0 (2)39 【分析】（1）根据幻方的特点即可求出和的值； （2）由幻方的特点得出和，再结合条件建立方程组求出，，，的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， 故答案为：8，0； （2）由幻方的特征得，， ， ， ，， 由幻方的特征得，， ， ， ， ，， 图3的幻方值为． 【点睛】此题主要考查了幻方的特征，解二元一次方程组，掌握幻方的特点建立方程和方程组是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二元一次方程组的应用培优训练（8种类型32道题） 考点导航 考点清单 二元一次方程组解决实际问题的步骤 理解问题 审题，搞清楚已知和未知，分析数量关系 制定计划 考虑如何根据等量关系设元，列出方程组； 执行计划 列出方程组并求解，得到答案 回顾 检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意。 题型01 方案设计问题 某通讯器材商场，计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求. 已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为：甲种型号手机每部1200元，乙种型号手机每部400元，丙种型号手机每部800元. （1）若该商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将40000元恰好用完. 请你帮助该商场研究一下进货方案； （2）商场每销售一部甲种型号手机可获利120元，每销售一部乙种型号手机可获利80元，每销售一部丙种型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？ 答案：(1) 共两种进货方案：方案1：甲种型号30部，乙种型号10部；方案2：甲种型号20部，丙种型号20部; (2) 购进甲种型号20部，丙种型号20部获利最多 【思路点拨】 解：（1）设购进甲种型号x部，乙种型号y部，丙种型号z部。 方案1：购进甲、乙： 根据题意，得，解得  ； 即甲种型号30部，乙种型号10部. 方案2：购进甲、丙：   根据题意，得，解得  , 即甲种型号20部，丙种型号20部. 方案3：购进乙、丙：   根据题意，得 ，解得舍去， ∴共两种进货方案： 方案1：甲种型号30部，乙种型号10部； 方案2：甲种型号20部，丙种型号20部. （2）方案1获利120×30+80×10=4400元； 方案2获利120×20+120×20=4800元， ∴第2种方案即购进甲种型号20部，丙种型号20部获利最多. 1．某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的、两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 型货车辆数 型货车辆数 累计运货量 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)该果园现有吨水果，计划同时租用型车辆，型车辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 2．某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运11吨.该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满. (1)1辆A型车和1辆型车都装满资物，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费. 3．请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张． 素材二 在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了_______张C型的消费券，此时的实际消费最少为_______元． 任务二 若小明一家用13张型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用付款最少，并求出此过消费券的搭配方案． 4．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 题型02 配套与调配问题 现用张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做个盒身或做个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身，多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 答案：B 【思路点拨】设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，根据一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，盒身与盒底正好配套可知盒底是盒身的两倍，故可列出二元一次方程组． 设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底， 依题意可得 配套问题中的隐含等量关系：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，则 = ，即b×甲产品的件数=a×乙产品的件数。 5．根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面． (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 6．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与 座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和座垫______张． 方法三：裁切靠背______张和座垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？ 7．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    多面体 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 6 长方体 6 12 正八面体 8 (1)计算长方体棱数，可依据长方体有6个面，每个面均为四边形即有4条棱，得出总棱数为12；请你猜想多面体面数、形状、棱长之间的数量关系，完成以下计算： ①如图所示，正八面体的每一个面都是三角形，则正八面体有__________条棱； ②正十二面体的每一个面都是正五边形，则它共有__________条棱； (2)如下图，一种足球（可视作简单32面多面体）是由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长相等，已知图中足球有90条棱；某体育公司采购630张牛皮用于生产这种足球，已知一张牛皮可用于制作30个正五边形或者制作20个正六边形，要使裁剪后的五边形和六边形恰好配套，应怎样计划用料才能制作尽可能多的足球？      8．亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有16人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位． (1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（用二元一次方程组解答） (2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则36座客车需要多少辆？22座客车需要多少辆？ 题型03 几何图形问题 9．综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】（1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】（2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】（3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 10．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 11．如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，若设小长方形的长为厘米、宽为厘米，请你求出图中阴影部分面积． 12．综合与实践 小许是个爱动脑筋的学生，她在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：如图1，长方形中放置个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． (1)小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积． 解决问题： 请按照小许的思路完成上述问题： (2)动手实践：解决完上面的问题后，小许在家里找了张形状大小都相同的卡片，恰好拼成了一个大的长方形如图所示，打乱后又拼成如图那样的大正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，求每个小长方形的面积．请给出解答过程． 题型04 工程问题 一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问： (1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 【思路点拨】（1）设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，进行计算即可得； （2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得． （1）解：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元， 依题意得：，解得， 答：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元． （2）解：甲单独完成：（元） 乙单独完成：（元） 甲、乙两队完成：（元） ，∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营． 思路点拨：工程问题中往往通过总工程量不变列方程(组)，也可以灵活假设总工程量为“单位 1”. 13．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； (3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 14．某建筑公司有甲、乙两个工程队，先后接力完成河以道路整治任务，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时25天． (1)若这段河边道路长为300米，求甲、乙两个工程队分别整治河道多少米？ (2)若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的别用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，甲工程队至少工作多少天？ 15．现有一段长为180米的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲列出的方程组为分析甲所列的方程组，请指出未知数x，y表示的意义，x表示 ，y表示 ； (2)若设A工程队共整治河道m米，B工程队共整治河道n米，请根据题意列出二元一次方程组，并求出m，n的值． 16．北京丰台站是亚洲最大铁路枢纽客站．北京丰台站交通枢纽是北京丰台站的重要配套工程，设计施工中采用了绿色建筑设计及建造技术，通过设置空气源热泵、节能灯具、高性能建材等，节约能源及建筑材料．北京丰台站交通枢纽将在2023年年内实现主体结构封顶．施工单位租用两种车型为交通枢纽运送高性能建材，若用2辆A型车和1辆B型车载满高性能建材，一次可运送10吨：用1辆A型车和2辆B型车载满高性能建材，一次可运送11吨． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满高性能建材，一次分别可运送多少吨？ (2)现有高性能建材31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都载满高性能建材． ①请你帮施工单位列出所有可能的租车方案： ②若1辆A型车需租金300元/次，1辆B型车需租金320元/次，则最少的租车费是______元 题型05 行程问题 小明步行从家到学校，其中有一段为上坡路，另一段为平路．如果保持走上坡路的速度为，走平路的速度为，走下坡路的速度为，从家到学校需要分钟，从学校到家需要分钟，那么小明家到学校的距离是多少？ 【思路点拨】考查由实际问题抽象出二元一次方程组，得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键．设从家到学校的上坡路为x千米，平路为y千米，由时间关系列出方程组，即可求解． 解：设从家到学校的上坡路为x千米，平路为y千米，由题意得；解得， 所以． 答：小明家到学校的距离是． 思路点拨：解决行程问题需要先找出题目中隐藏的不变量，再根据等量关系列方程(组)，另外要注意题目中同向，相向等字眼.（注意：同时、同地、运动方向等关键词） 路程=速度×时间 同向追击问题：相遇时路程差=初始相距距离 相向相遇问题：相遇是路程之和=初始相距距离 顺风顺水：实际速度=静水速度+水流速度；逆风逆水：实际速度=静水速度-水流速度； 17．一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 18．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同． (1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟； (2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 19．甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 20．青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 题型06 销售、利润问题 一套衣服的上衣和裤子共100元．因市场需求变化，商家决定分开销售．裤子降价，上衣提价，调价后，这套衣服的售价比原来提高了8元．问调价后上衣和裤子的售价各是多少元？ 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的应用；设调价前上衣的单价是元，裤子的单价是元，列出二元一次方程组，解方程组即可作答． 解：设调价前上衣的单价是元，裤子的单价是元，由题意得 ，解得， （元） （元） 答：调价后上衣的单价是72元，袘子的单价是36元．（方法不唯一） 21．根据以下素材，完成任务． 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的A型打印机与B型打印机的购买清单，如表所示： A型打印机数量（台） B型打印机数量（台） 购进所需总费用（元） 2022年 10 20 26000 2023年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又向学校申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家进行咨询，得知今年A型打印机单价不变，B型打印机打八折优惠． 素材三 打印机的耗材包含A4纸以及黑色墨水．校总务处根据统计前两年购买的A4纸以及黑色墨水的总费用，预估今年耗材费用为w元．若购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元． 问题解决 任务一 计算商品单价 若2022年与2023年购进的A型与B型打印机的单价不变，求购进A型打印机与B型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 任务三 确定耗材费用 在任务二的采购方案中，学校采用购入打印机总数最多的方案．在此基础上，为今年新购入的打印机配置耗材，每台打印机配置3本A4纸与1盒黑色墨水，求学校今年需为这几台新购入的打印机支出多少元的耗材费用？（结果用含w的代数式表示） 22．根据如下素材，探索完成任务． 背景 数学兴趣小组对某奶茶店中A、B两种款式的奶茶进行研究． 素材1 买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．                  素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 解决问题 任务1 求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的，B款加料的奶茶3杯．则一共买了多少杯奶茶？ 23．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 24．某公司准备去超市采购牛奶和面包若干箱，采购员设计了两种不同的购买方案，如表所示． 牛奶/箱 面包/箱 金额/元 方案一 方案二 (1)采购员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，请你计算被污渍盖住的地方对应的金额是多少元； (2)若公司购买牛奶箱，面包箱，需支付费用元． ①求牛奶和面包每箱分别为多少元； ②若超市中该款面包和牛奶有部分因包装破损进行打六折的促销活动，采购员根据需要选择原价或打折的面包和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是购买的牛奶与面包总箱数的，则此次按原价购买的面包有多少箱？ 题型07 数字计算问题 一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.可列方程组求解． 解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．      依题意，得：      解得：                   答：这个两位数为． 25．一个四位正整数m的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“友好数”．则： (1)最小的“友好数”为______最大的“友好数”为______； (2)将友好数m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到，令，将友好数m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到，，若被5除余1，求满足条件的m的最大值． 26．列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 27．已知N为一个四位自然数：若N各个数位上的数字均不为0且满足千位数字等于个位数字，百位数字等于十位数字减去个位数字得到的差，则称N为“等差数”．对于一个“等差数”N，将N的十位数字记为b，个位数字记为a，，令． 例如：当时，∵且，∴1231是“等差数”； 此时，； 当时，∵但．∴不是“等差数” (1)判断，是否是“等差数”，并说明理由；若是，求出对应的F（N）的值； (2)对于“等差数”，将的各个数位上的数字之和记为，若为完全平方数，求的所有可能值． 28．阅读材料并完成题目 【材料一】我们可以将任意三位数记为（其中分别表示该数百位数字、十位数字和个位数字，且），显然． 【材料二】若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字4，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“明礼数”，如36的“明礼数”为346；若将一个两位正整数M加4后得到一个新数，我们称这个新数为M的“修身数”，如37的“修身数”为41． (1)30的“明礼数”是______，“修身数”是______； (2)求证：对任意一个两位正整数，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除； (3)若一个两位正整数的“修身数”的各位数字之和是的“明礼数”各位数字之和的一半，求的最大值． 题型08 幻方问题 29．如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 30．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 31．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 32．[阅读] 将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”也称幻方，m为幻方值下面的图1是满足条件的“和15幻方”    [探究] (1)若图2为“和m幻方”，则． (2)小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；；；……你能运用这个规律解决以下问题吗？ 问题解决：图3为幻方，，且，求出图3的幻方值． 学科网（北京）股份有限公司 $$