第18章 勾股定理 章末复习 课件2024-2025学年沪科版数学八年级下册

第18章　勾股定理 章末复习 沪科版八年级下册 斜边的平方 正整数 a2+b2=c2 考点1　勾股定理 1. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，则AB2＋BC2＋AC2＝ （　B　） A. 9 B. 18 C. 20 D. 24 B 2. （2024·安庆四中期中）如图，在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（0，2），以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的横坐标为（　C　） A. －1 B. 2 C. －1 D. 1－ C 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a， b，c. （1）已知c＝25，b＝15，则a＝ ⁠； （2）已知a＝ ，∠B＝60°，则b＝ 　3 　，c＝ 　2 　. 20　 3 　 2 　 4. （教材P66 B组复习题T2变式）如图，将长方形纸片沿过点A的直线 AE折叠，使点D落在边BC上的点F处.已知AB＝8 cm，BC＝10 cm， 则EC的长为 cm. 3　 5. 如图，已知在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，以 Rt△ABC的斜边AC为腰向外作第2个等腰直角三角形ACD，依次作下 去，则第4个等腰直角三角形的面积S4＝ ；第10个等腰直角三角形 的面积S10＝ ；第n（n≥2）个等腰直角三角形的面积Sn＝ ⁠ ⁠. 4　 256　 2n －2 6. （2024·安徽改编）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB 的延长线上，且CD＝AB，求BD的长. 解：如图，过点C作CH⊥AB于点H. ∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CH⊥AB， ∴AB＝2 ，∴AH＝BH＝CH＝ ， ∴CD＝AB＝2 ， ∴DH＝ ＝ ＝ ， ∴BD＝DH－BH＝ － . 考点2　勾股定理的逆定理 7. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件不 能判定△ABC为直角三角形的是（　D　） A. ∠C＝∠A＋∠B B. a∶b∶c＝5∶12∶13 C. （c－a）（c＋a）＝b2 D. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D 8. （2024·合肥蜀山区期末）在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且 b＋c＝2a，c－b＝ a，则△ABC是（　A　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 A 9. 如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的垂直平分线分别 交边BC于点D，E. 如果DE2＝BD2＋EC2，那么∠A的度数是 ⁠. 135°　 10. （教材P66 B组复习题T6变式）如图，P是等边三角形ABC内一 点，连接PA，PB，PC，使得PA∶PB∶PC＝3∶4∶5.以AC为边作 △AP'C≌△APB，连接PP'，有以下结论：①△APP'是等边三角形； ②△PCP'是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝105°.其中一定 正确的是 .（填序号） ①②③　 11. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝60°，AD＝ 2 ，CD＝4.求： （1）∠BCD的度数； 解：（1）如图，连接AC. ∵AB＝BC＝2，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝2，∠ACB＝60°. ∵AD＝2 ，CD＝4， ∴AC2＋CD2＝22＋42＝20，AD2＝ ＝20，∴AC2＋CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝150°. （2）四边形ABCD的面积. 解：（2）如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E. ∵△ABC是等边三角形，AE⊥BC， ∴BE＝CE＝1.在Rt△ACE中，AE＝ ＝ ， ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ BC·AE＋ AC·CD＝ ×2× ＋ ×2×4＝4＋ . 考点3　勾股定理的实际应用 12. （2024·合肥包河区期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，其 中“勾股”章有一题，大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺，门的 对角线长10尺，那么长方形门的高和宽各是多少？如果设长方形门的宽 为x尺，那么根据题意可列方程为 ⁠. x2＋（x＋6）2＝102　 13. 拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响.如图，有一台拖 拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，点C与直线 AB上A，B两点的距离分别为150 m和200 m，且AB＝250 m，拖拉机周 围130 m以内为受噪声影响区域. （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ 解：（1）学校C会受噪声影响.理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于点D. ∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴S△ABC＝ AC·BC＝ CD·AB， ∴CD＝ ＝ ＝120（m）. ∵拖拉机周围130 m以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响. （2）若拖拉机的行驶速度为50 m/min，则该学校受到拖拉机噪声影响 的时间为多少分钟？ 解：（2）如图，当EC＝FC＝130 m时，拖拉机在EF之间行驶会影响 学校C， ∴ED＝ ＝ ＝50（m）， ∴EF＝2ED＝100 m. ∵拖拉机的行驶速度为50 m/min，∴100÷50＝2（min）. 答：该学校受到拖拉机噪声影响的时间为2 min. 14. （2023·安庆大观区期末）下列各组数中，是勾股数的为（　D　） A. 13，14，15 B. ， ， C. 1，2， D. 8，15，17 D 15. （2023·安庆大观区期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝2 ，边 BC上的高AD＝6，则BC的长为 ⁠. 10或6　 章末综合提升 1. 如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，D，E为边BC上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF. 有下列结论：①△AFB≌△ADC；②△ABD为等腰三角形；③∠ADC＝120°；④BE2＋DC2＝DE2.其中正确的有（　C　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 C 2. （2024·阜阳阜南期末改编）如图，在单位长度为1的正方形网格中， A，B，C，D都在小正方形的顶点上，连接AB，CD交于点P. （1）AB的长为 ；　（2）∠APC的度数为 ⁠. 　 45°　 3. 如图，它是由弦图变化得到的，由八个全等的直角三角形拼接而成，将图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别记为S1，S2，S3. （1）若S1＝25，S3＝1，则S2＝ ⁠； 13　 （2）若S1＋S2＋S3＝24，则S2＝ ⁠. 【解析】（2）设每一个直角三角形的面积为m， 则S1＝S2＋4m，S3＝S2－4m. ∵S1＋S2＋S3＝24， ∴S2＋4m＋S2＋S2－4m＝3S2＝24，解得S2＝8.故答案为8. 8　 4. 在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示. （1）将点A向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B； 解：（1）如图1，点B即为所求. （2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出PA＋PB的最小值为 ⁠； 解：（2）如图1，点P即为所求，PA＋PB的最小值为 ＝6 .故答案为6 . 6 　 （3）结合（2）的画图过程并思考，直接写出 ＋ 的最小值为 　7 　. 7 　 解：（3）如图2，AP＝ ，BP＝ ， ∴PA＋PB的最小值即为A'B＝ ＝7 ， ∴ ＋ 的最小值为7 .故答案为7 . 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，M，N分别在边 AC，BC上，OM⊥ON，连接MN，AC＝4，BC＝8.设AM＝a，BN ＝b，MN＝c. （1）求证：a2＋b2＝c2. 解：（1）证明：如图，延长MO到点D，使OD＝OM，连接BD，DN. ∵O是AB的中点，∴OB＝OA. 在△BOD和△AOM中， ∴△BOD≌△AOM（SAS），∴BD＝AM＝a，∠OBD＝∠A. ∵∠C＝90°，∴∠DBN＝∠OBD＋∠ABC＝∠A＋∠ABC＝90°. ∵OM⊥ON，∴ON垂直平分DM，∴DN＝MN＝c. ∵在Rt△DBN中，BD2＋BN2＝DN2， ∴a2＋b2＝c2. （2）①若a＝1，求b的值；②探究a与b之间的函数表达式. 解：（2）①∵CM2＋CN2＝MN2，AC＝4，BC＝8， ∴（4－a）2＋（8－b）2＝c2. ∵a2＋b2＝c2，∴（4－a）2＋（8－b）2＝a2＋b2. ∵a＝1，∴32＋（8－b）2＝12＋b2，解得b＝ . ②由①，得（4－a）2＋（8－b）2＝a2＋b2，整理，得a＝－2b＋10. 当点M与点A重合时，a＝0，则0＝－2b＋10，此时b最大＝5； 当点M与点C重合时，a＝4，则4＝－2b＋10，此时b最小＝3. ∴a与b之间的函数表达式为a＝－2b＋10（3≤b≤5）. （3）若△CMN的面积等于△ABC的面积的 ，求b的值. 解：（3）∵S△CMN＝ S△ABC， ∴ （8－b）[4－（－2b＋10）]＝ × ×4×8， 整理，得b2－11b＋30＝0，解得b＝5或b＝6（不符合题意，舍去）， ∴b＝5. 6. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图，其由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理.思路是大正方形的面积有两种求法：一种是等于c2；另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ab×4＋（b－a）2，从而得到等式c2＝ ab×4＋（b－a）2，化简便得结论a2＋b2＝c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”. 【方法运用】向常春在2010年构造发现了勾股定理的一个新的证法：把 两个全等的Rt△ABC和Rt△DEA按如图2所示的方式放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，连接DC，BD，显然BC⊥AD. （1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC、梯形AEDC、△EBD的面积，再探究这三个图形的面积之间的关系，并证明勾股定理a2＋b2＝c2. 解：（1）S四边形ABDC＝ c2，S梯形AEDC＝ b（b＋a）， S△BED＝ a（a－b），S四边形ABDC＝S梯形AEDC＋S△BED. 证明：∵S四边形ABDC＝S梯形AEDC＋S△BED， ∴ c2＝ b（b＋a）＋ a（a－b）， ∴ c2＝ b2＋ ab＋ a2－ ab，∴a2＋b2＝c2. 【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： （2）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得 △ABC，则边AB上的高为 ⁠. 　 解：（2）∵S△ABC＝4×4－ ×2×4－ ×2×4－ ×2×2＝6，AB＝ ＝2 ， ∴S△ABC＝ AB×h＝ ×2 h＝6， ∴h＝ ，即边AB上的高为 . （3）如图4，在△ABC中，AD是边BC上的高，AB＝4，AC＝5，BC ＝6，设BD＝x，求x的值. 解：（3）在Rt△ABD中，由勾股定理， 得AD2＝AB2－BD2＝42－x2＝16－x2. ∵BD＋CD＝BC＝6，∴CD＝6－x. 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得AD2＝AC2－CD2＝52－（6－x）2＝－11＋12x－x2， ∴16－x2＝－11＋12x－x2，∴x＝ . $$