精品解析： 广东省潮州市饶平县第二中学2024-2025学年高一下学期阶段性考试（一）数学试题

高一阶段性（一）数学学科试题 一、单选题（每小题4分，共32分） 1. 已知函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数大于等于零及分母不为零可得函数的定义域. 【详解】由题意得，，解得或， ∴函数的定义域为. 故选：C. 2. 设函数，则函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由零点存在性定理判断即可. 【详解】和均为增函数，函数在区间上单调递增. 又，， 由零点存在性定理得，函数存在唯一零点在区间上. 故选：C. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用奇偶性定义判断的奇偶性，结合对应函数值符号及排除法，即可得答案. 【详解】由题意，函数定义域为R，且， 所以为偶函数，排除A、B； 当，则恒成立，排除D. 故选：C 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量的坐标的线性运算求，再根据垂直关系的坐标表示列方程求参数. 【详解】由，又， 所以， 则. 故选：B 5. .已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，先求，再由求出答案. 【详解】由， 得， ∴． 故选：A． 6. 已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的性质得到，然后求投影向量即可. 【详解】由，得，由， 得，则， 因此，在上的投影向量为. 故选：D. 8. 幂函数过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，代入点解出，再由单调性和偶函数的性质解不等式即可. 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C 二、多选题（每小题4分，共8分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最大值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据的性质逐一判断即可. 【详解】，故A正确； ，所以不是对称轴，故B错误； ，所以是的一个零点，故C正确； 因为振幅，所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 10. 已知向量，则下列结论正确是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D. 的最大值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用向量垂直计算判断A，应用向量平行得出正切进而得出角判断B，根据投影向量公式计算得出夹角判断C，应用向量坐标模长公式计算结合正弦值域判断D. 【详解】对于A，由，得，因此，故A正确； 对于B，若，则，所以，所以，故B错误； 对于C，因，， 由在上的投影向量为，解得， 又，，故C正确； 对于D，因， 故， 当，即时， 也即时，取得最大值9，即的最大值为3，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（每小题4分，共16分） 11. 已知函数，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数解析式，由内向外求解即可； 【详解】， 所以， 故答案为： 12. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式以及弦化切化简可得所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故答案为：. 13. 已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 14. 如图，已知平面内有三个向量，其中与夹角为与的夹角为，且．若，则_________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用向量加法的平行四边形法则即可计算. 【详解】如图，作平行四边形，则， 因为与的夹角为，与的夹角为， 所以． 在中，， 所以， 所以， 所以，所以， 所以． 故答案为：6. 四、解答题 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，． （1）若点，，，试用基底表示； （2）若，且点P在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设求出的坐标，根据平面向量的基本定理有求出，即可得结果. （2）设，由已知得求出关于的表达式，结合所在象限列不等式求的范围. 【小问1详解】 ，，，，， 所以． 由题意，知存在实数m，n，使得， 即， 可得解得 所以． 【小问2详解】 设，则． 又， 则即 又点P在第四象限，所以解得， 故的取值范围是． 16. 已知函数． （1）已知在上单调递增，求的取值范围； （2）求在上的最小值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图象特点，可得； （2）讨论二次函数的对称轴和区间的三种位置关系，再根据函数的单调性即可求得. 【小问1详解】 由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为． 【小问2详解】 由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数在上单调递增，所以的最小值为； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为； 当时，函数在上单调递减，所以的最小值为， 综上可得，在上的最小值为 17. 已知锐角的终边与单位圆相交于点. （1）求实数及的值； （2）求的值； （3）若，且，求的值. 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意列式即可求解m，再由正切函数定义即可得解； （2）由锐角的终边上点的坐标求得，结合余弦两角和公式和倍角公式即可计算得解； （3）由和角的范围，求得，再巧妙地把所求转化为，然后借助正弦两角差公式即可计算得解. 【小问1详解】 由于点在单位圆上，且是锐角，可得，， 则，； 【小问2详解】 因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，， 可得，， 所以 【小问3详解】 因为为锐角，所以，又，所以， 因为，所以， 所以. 18. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得，所以. 【小问2详解】 在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 19. 已知定义在上的函数是奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断并证明函数在定义域中的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质列方程，解方程即可； （2）根据单调性的定义判断和证明； （3）根据奇函数的性质将不等式转化为，然后根据单调性列不等式，得到，最后求最值即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， ，所以. 【小问2详解】 在定义域中单调递减，证明如下： 设，， 则 ， 因为，所以，，即， 所以在定义域中单调递减. 【小问3详解】 不等式可整理为， 即， 因为单调递减，所以，即对于恒成立， 则， 当时，取得最小值， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一阶段性（一）数学学科试题 一、单选题（每小题4分，共32分） 1. 已知函数定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则函数的零点所在的区间为（ ） A B. C. D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. .已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 8. 幂函数过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题4分，共8分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最大值为1 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D. 的最大值为3 三、填空题（每小题4分，共16分） 11. 已知函数，则____________． 12. 已知，则______. 13. 已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 14. 如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为与的夹角为，且．若，则_________． 四、解答题 15. 平面直角坐标系xOy中，已知点，，． （1）若点，，，试用基底表示； （2）若，且点P在第四象限，求的取值范围． 16 已知函数． （1）已知在上单调递增，求的取值范围； （2）求在上的最小值． 17. 已知锐角的终边与单位圆相交于点. （1）求实数及的值； （2）求的值； （3）若，且，求的值. 18. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 19. 已知定义在上的函数是奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断并证明函数在定义域中的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$