第三单元专项练习08：六种综合性问题之等积变形问题-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元专项练习08：六种综合性问题之等积变形问题 一、填空题。 1．将一个棱长总和是60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是10厘米，宽是2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是( )厘米。 【答案】6.25 【分析】已知正方体实心铁块的棱长总和是60厘米，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出正方体铁块的棱长；再根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积。 已知把这块正方体实心铁块锻造成一个长方体实心铁块，铁块的体积不变；根据长方体的高＝体积÷长÷宽，求出长方体铁块的高。 【详解】60÷12＝5（厘米） 5×5×5＝125（立方厘米） 125÷10÷2 ＝12.5÷2 ＝6.25（厘米） 这个长方体铁块的高是6.25厘米。 2．把一个棱长12cm的正方体铁块锻造成一个长18cm，宽12cm的长方体，锻造成的长方体的高是( )cm，长方体的棱长和是( )cm。 【答案】 8 152 【分析】由题意可知，正方体铁块锻造成长方体，其体积不变，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积即长方体的体积，然后根据长方体的体积公式：V＝abh求出长方体的高，进而根据长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求解即可。 【详解】12×12×12÷（18×12） ＝144×12÷216 ＝1728÷216 ＝8（cm） （18＋12＋8）×4 ＝38×4 ＝152（cm） 即，把一个棱长12cm的正方体铁块锻造成一个长18cm，宽12cm的长方体，锻造成的长方体的高是8cm，长方体的棱长和是152cm。 3．把一个长方体的铁块熔铸成一个正方体，它的棱长为a分米，原长方体的体积是( )立方分米。如果把这个正方体再切一刀，变成2个同样的长方体，表面积增加了( )平方分米。 【答案】 a3 2a2 【分析】长方体熔铸成正方体，体积不变。求原长方体体积就是求正方体体积，根据公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。把正方体切一刀增加的表面积增加的表面积为两个正方形切面的面积。据此解答。 【详解】（立方分米） （平方分米） 即原长方体的体积是a3立方分米，表面积增加了2a2分米。 4．如图一个水箱，中间用玻璃板隔开，左边装上水，右边空着。当把玻璃板取出后这个水箱水面高度是( )dm。 【答案】1.8 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出左边装水的体积，当把玻璃板取出后，由于体积不变，用左边装水的体积除以这个长是（6＋4）dm，宽是5dm，高是5dm的水箱的底面积，即可求出水的高度，据此解答。 【详解】6×5×3÷[（6＋4）×5] ＝30×3÷[10×5] ＝90÷50 ＝1.8（dm） 如图一个水箱，中间用玻璃板隔开，左边装上水，右边空着。当把玻璃板取出后这个个水箱水面高度是1.8dm。 5．一段铁块可以铸成一个长8cm、宽4cm、高6cm的长方体，如果用它铸成一个正方体，这个正方体的体积( )cm3。 【答案】192 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据求出长方体的体积，铸成正方体后，体积不变，所以正方体的体积等于长方体的体积，即可得解。 【详解】8×4×6＝192（cm3） 即这个正方体的体积是192cm3。 【点睛】此题主要考查等积变形，虽然形状改变，但体积不变。 6．有一个长是50厘米，宽是10厘米，高是10厘米的全封闭的容器，里面装有8厘米高的水，如果将这容器竖放，水面的高是( )厘米。 【答案】40 【分析】由题意可知，无论容器横放还是竖放，容器内水的体积不变。首先根据长方体的体积公式：V＝abh求出水的体积，这里需要注意，求水的体积时高的数据应该代入水面的真实高度，而不是容器的高，然后用水的体积除以竖着放置时容器的底面积即可。 【详解】水的体积为： 50×10×8 ＝500×8 ＝4000（立方厘米） 竖着放时底面积为： 10×10＝100（平方厘米） 竖着放时，水面高度为： 4000÷100＝40（厘米） 【点睛】本题主要考查了长方体的容积（体积）公式的灵活运用，理解无论容器怎么放置，里面水的体积不变是解题的关键。 7．玉华镇挖了一个长60m，宽40m，深2m的鱼池，如果将挖出的土在一条宽5m的路上铺2dm厚，最多可以铺路( )m。 【答案】4800 【分析】挖出的土实际上就是鱼池的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，铺在路上，体积并没有改变，用体积连续除以路面的宽和路面的高，即可得到需要铺的路面的长度。 【详解】60×40×2＝4800（m3） 2dm＝0.2m 4800÷5÷0.2 ＝960÷0.2 ＝4800（m） 【点睛】解决此题的关键是抓住体积不变的原则，灵活运用长方体的体积公式求解。 8．密封的玻璃缸中水深是2dm（如图①），水的体积是( )dm3，如果把这个玻璃缸按图②样式放置，那么水深是( )dm。 【答案】 24 4 【分析】水的形状可以看成长方体，底面积就是长方体的底面积，高是水深，结合长方体体积公式计算即可；水的体积不变，底面变成长是3dm，宽是2dm的长方形。用体积除以底面积得到水深。 【详解】2×6×2 ＝12×2 ＝24（dm3） 水的体积是24dm3 24÷（2×3） ＝24÷6 ＝4（dm） 水深是4dm 【点睛】本题考查长方体体积计算以及等体积转化，抓住水体积不变来解决问题。 二、解答题。 9．一个正方体铁块，棱长是4分米。把它锻造成长和宽分别是5分米、4分米的长方体，锻造成的长方体铁块的高是多少分米？（消耗的部分忽略不计） 【答案】3.2分米 【分析】由题意得，正方体变成长方体体积不变，可用正方体棱长求出正方体体积，正方体体积即是长方体体积。再用长乘宽求出长方体底面积，最后用体积除以底面积即可求出高。据此解答。 【详解】43÷（5×4） ＝64÷（5×4） ＝64÷20 ＝3.2（分米） 答：锻造成的长方体铁块的高是3.2分米。 10．一个容器由一个内空棱长10厘米的正方体和一个内空长20厘米，宽20厘米，高15厘米的长方体组合形成（如图）。正放时（长方体在下面）水深10厘米，倒放时（正方体在下面，放平）水最深处多少厘米？ 【答案】17.5厘米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝长×宽×高计算出水的容积，根据倒置后水的容积不变计算水深即可。先判断出水的容积大于正方体的体积，则水深超过正方体的棱长，在长方体还有一部分水深。用水的容积减去正方体的体积，求出在长方体里面的水的容积，再除以长方体的底面积，即可求出此时长方体中的水深。用正方体的棱长加上此时长方体中的水深，求出水的总深度。 【详解】20×20×10 ＝400×10 ＝4000（立方厘米） 10×10×10 ＝100×10 ＝1000（立方厘米） 4000－1000＝3000（立方厘米） 3000÷（20×20） ＝3000÷400 ＝7.5（厘米） 10＋7.5＝17.5（厘米） 答：倒放时（正方体在下面，放平）水最深处17.5厘米。 11．有空的长方体容器甲和装有24厘米深的长方体容器乙。将容器乙中水倒一部分到容器甲，使两个容器里的水的高度相同，这时水深是多少厘米？（容器壁厚度忽略不计） 【答案】8厘米 【分析】水的体积＝容器的底面积×水深，可以列方程求解，设水深是x厘米，等量关系为：容器甲的底面积×水深＋容器乙的底面积×水深＝容器乙的底面积×24厘米。 【详解】解：设这时水深是x厘米。 40×30×x＋20×30×x＝20×30×24 1200x＋600x＝14400 1800x＝14400 1800x÷1800＝14400÷1800 x＝8 答：这时水深是8厘米。 12．有一个棱长是20厘米的正方体容器里装满水，现在要把这些水倒入长25厘米，宽10厘米，高40厘米的长方体玻璃缸里，水面有多高？ 【答案】32厘米 【分析】根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体容器内水的体积。将水倒入长方体玻璃缸后，水的体积不变，并且水形成了一个长方体。根据“长方体高＝体积÷底面积”求出水面的高度即可。 【详解】20×20×20÷（25×10） ＝8000÷250 ＝32（厘米） 答：水面有32厘米高。 13．跳远沙坑建设的标准深度为50厘米。学校把10.5立方米的沙子铺在一个长6米、宽3.5米的沙坑里，问：这些沙子铺的厚度是否符合标准？ 【答案】符合 【分析】根据题意，把10.5立方米的沙子铺在一个长6米、宽3.5米的沙坑里，沙子的体积不变，根据长方体的高＝体积÷（长×宽），求出沙子铺的厚度，再与标准深度相比，得出结论。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】10.5÷（6×3.5） ＝10.5÷21 ＝0.5（米） 0.5米＝50厘米 答：这些沙子铺的厚度符合标准。 14．美术课上王老师准备教同学们捏橡皮泥。他们把一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥捏成了一个底面积是32平方厘米的长方体。这个长方体的高是多少？ 【答案】16厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求出正方体的体积；再根据长方体的体积＝底面积×高，用橡皮泥的体积除以底面积，即可求出长方体的高。 【详解】8×8×8÷32 ＝512÷32 ＝16（厘米） 答：这个长方体的高是16厘米。 15．中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。齐国工匠将一块棱长是5分米的正方体铁块，锻造成了一个横截面面积是10平方分米的长方体，这个长方体的长是多少分米？ 【答案】12.5分米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用5×5×5即可求出正方体铁块的体积，把正方体铁块锻造成了一个横截面积是10平方分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高＝长×横截面积，用正方体铁块的体积除以4平方分米，即可求出这个长方体的长。 【详解】5×5×5÷10 ＝25×5÷10 ＝125÷10 ＝12.5（分米） 答：这个长方体的长是12.5分米。 16．泥塑艺术是我国一种古老常见的民间艺术，它以泥土为原料，以手工捏制成形。小聪在泥塑课上把一个棱长为4厘米的正方体彩泥捏成了一个长是5厘米、宽是4厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 【答案】3.2厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入相应数值计算出正方体彩泥的体积；把它捏成一个长方体，体积不变，利用长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数值计算，据此解答。 【详解】4×4×4＝64（立方厘米） 64÷（5×4） ＝64÷20 ＝3.2（厘米） 答：捏成的长方体的高是3.2厘米。 17．有两个水池，甲水池长8分米、宽5分米、水深4分米，乙水池空着，它长5分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？ 【答案】分米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用8×5×4即可求出水的体积，现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高，且水的总体积不变，根据长方体的体积＝底面积×高，可得水的体积＝（甲水池的底面积＋乙水池的底面积）×现在的高度，先根据底面积＝长×宽，分别求出两个水池的底面积，进而用除法求出现在的高度。 【详解】8×5×4＝160（立方分米） 8×5＝40（平方分米） 5×4＝20（平方分米） 160÷（40＋20） ＝160÷60 ＝（分米） 答：水面高分米。 【点睛】本题考查了长方体体积公式的灵活应用，明确水的体积不变是解答本题的关键。 18．一个玻璃槽（1图）中水面高度是1.5厘米，如果把这个玻璃槽重新摆放（2图）后，水面高度变为多少？ 【答案】7.5厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用15×2×1.5即可求出水的体积，把这个玻璃槽重新摆放（2图）后，体积不变，底面变为（2×3）平方厘米，用水的体积除以（2×3）即可求出现在水的高度。 【详解】15×2×1.5＝45（立方厘米） 45÷（2×3） ＝45÷6 ＝7.5（厘米） 答：如果把这个玻璃槽重新摆放后，水面高度变为7.5厘米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 4 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元专项练习 08：六种综合性问题之等积变形问题 一、填空题。 1．将一个棱长总和是 60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是 10厘米，宽是 2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是( )厘米。 2．把一个棱长 12cm的正方体铁块锻造成一个长 18cm，宽 12cm的长方体，锻 造成的长方体的高是( )cm，长方体的棱长和是( )cm。 3．把一个长方体的铁块熔铸成一个正方体，它的棱长为 a分米，原长方体的体 积是( )立方分米。如果把这个正方体再切一刀，变成 2个同样的长方体， 表面积增加了( )平方分米。 4．如图一个水箱，中间用玻璃板隔开，左边装上水，右边空着。当把玻璃板取 出后这个水箱水面高度是( )dm。 5．一段铁块可以铸成一个长 8cm、宽 4cm、高 6cm的长方体，如果用它铸成一 个正方体，这个正方体的体积( )cm3。 6．有一个长是 50厘米，宽是 10厘米，高是 10厘米的全封闭的容器，里面装有 8厘米高的水，如果将这容器竖放，水面的高是( )厘米。 7．玉华镇挖了一个长 60m，宽 40m，深 2m的鱼池，如果将挖出的土在一条宽 5m的路上铺 2dm厚，最多可以铺路( )m。 8．密封的玻璃缸中水深是 2dm（如图①），水的体积是( )dm3，如果把 这个玻璃缸按图②样式放置，那么水深是( )dm。 二、解答题。 第 2 页 共 4 页 9．一个正方体铁块，棱长是 4分米。把它锻造成长和宽分别是 5分米、4分米 的长方体，锻造成的长方体铁块的高是多少分米？（消耗的部分忽略不计） 10．一个容器由一个内空棱长 10厘米的正方体和一个内空长 20厘米，宽 20厘 米，高 15厘米的长方体组合形成（如图）。正放时（长方体在下面）水深 10 厘米，倒放时（正方体在下面，放平）水最深处多少厘米？ 11．有空的长方体容器甲和装有 24厘米深的长方体容器乙。将容器乙中水倒一 部分到容器甲，使两个容器里的水的高度相同，这时水深是多少厘米？（容器壁 厚度忽略不计） 12．有一个棱长是 20厘米的正方体容器里装满水，现在要把这些水倒入长 25 厘米，宽 10厘米，高 40厘米的长方体玻璃缸里，水面有多高？ 第 3 页 共 4 页 13．跳远沙坑建设的标准深度为 50厘米。学校把 10.5立方米的沙子铺在一个长 6米、宽 3.5米的沙坑里，问：这些沙子铺的厚度是否符合标准？ 14．美术课上王老师准备教同学们捏橡皮泥。他们把一个棱长是 8厘米的正方体 橡皮泥捏成了一个底面积是 32平方厘米的长方体。这个长方体的高是多少？ 15．中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。 齐国工匠将一块棱长是 5分米的正方体铁块，锻造成了一个横截面面积是 10平 方分米的长方体，这个长方体的长是多少分米？ 16．泥塑艺术是我国一种古老常见的民间艺术，它以泥土为原料，以手工捏制成 形。小聪在泥塑课上把一个棱长为 4厘米的正方体彩泥捏成了一个长是 5厘米、 宽是 4厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 17．有两个水池，甲水池长 8分米、宽 5分米、水深 4分米，乙水池空着，它长 5分米、宽和高都是 4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水 池中水面同样高。问水面高多少？ 第 4 页 共 4 页 18．一个玻璃槽（1图）中水面高度是 1.5厘米，如果把这个玻璃槽重新摆放（2 图）后，水面高度变为多少？ 第 1 页 共 6 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元专项练习 08：六种综合性问题之等积变形问题 一、填空题。 1．将一个棱长总和是 60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是 10厘米，宽是 2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是( )厘米。 【答案】6.25 2．把一个棱长 12cm的正方体铁块锻造成一个长 18cm，宽 12cm的长方体，锻 造成的长方体的高是( )cm，长方体的棱长和是( )cm。 【答案】 8 152 3．把一个长方体的铁块熔铸成一个正方体，它的棱长为 a分米，原长方体的体 积是( )立方分米。如果把这个正方体再切一刀，变成 2个同样的长方体， 表面积增加了( )平方分米。 【答案】 a3 2a2 4．如图一个水箱，中间用玻璃板隔开，左边装上水，右边空着。当把玻璃板取 出后这个水箱水面高度是( )dm。 【答案】1.8 5．一段铁块可以铸成一个长 8cm、宽 4cm、高 6cm的长方体，如果用它铸成一 个正方体，这个正方体的体积( )cm3。 【答案】192 6．有一个长是 50厘米，宽是 10厘米，高是 10厘米的全封闭的容器，里面装有 8厘米高的水，如果将这容器竖放，水面的高是( )厘米。 【答案】40 7．玉华镇挖了一个长 60m，宽 40m，深 2m的鱼池，如果将挖出的土在一条宽 5m的路上铺 2dm厚，最多可以铺路( )m。 第 2 页 共 6 页 【答案】4800 8．密封的玻璃缸中水深是 2dm（如图①），水的体积是( )dm3，如果把 这个玻璃缸按图②样式放置，那么水深是( )dm。 【答案】 24 4 二、解答题。 9．一个正方体铁块，棱长是 4分米。把它锻造成长和宽分别是 5分米、4分米 的长方体，锻造成的长方体铁块的高是多少分米？（消耗的部分忽略不计） 【答案】 43÷（5×4） ＝64÷（5×4） ＝64÷20 ＝3.2（分米） 答：锻造成的长方体铁块的高是 3.2分米。 10．一个容器由一个内空棱长 10厘米的正方体和一个内空长 20厘米，宽 20厘 米，高 15厘米的长方体组合形成（如图）。正放时（长方体在下面）水深 10 厘米，倒放时（正方体在下面，放平）水最深处多少厘米？ 【答案】 20×20×10 ＝400×10 ＝4000（立方厘米） 10×10×10 第 3 页 共 6 页 ＝100×10 ＝1000（立方厘米） 4000－1000＝3000（立方厘米） 3000÷（20×20） ＝3000÷400 ＝7.5（厘米） 10＋7.5＝17.5（厘米） 答：倒放时（正方体在下面，放平）水最深处 17.5厘米。 11．有空的长方体容器甲和装有 24厘米深的长方体容器乙。将容器乙中水倒一 部分到容器甲，使两个容器里的水的高度相同，这时水深是多少厘米？（容器壁 厚度忽略不计） 【答案】 解：设这时水深是 x厘米。 40×30×x＋20×30×x＝20×30×24 1200x＋600x＝14400 1800x＝14400 1800x÷1800＝14400÷1800 x＝8 答：这时水深是 8厘米。 12．有一个棱长是 20厘米的正方体容器里装满水，现在要把这些水倒入长 25 厘米，宽 10厘米，高 40厘米的长方体玻璃缸里，水面有多高？ 【答案】 20×20×20÷（25×10） ＝8000÷250 ＝32（厘米） 第 4 页 共 6 页 答：水面有 32厘米高。 13．跳远沙坑建设的标准深度为 50厘米。学校把 10.5立方米的沙子铺在一个长 6米、宽 3.5米的沙坑里，问：这些沙子铺的厚度是否符合标准？ 【答案】 10.5÷（6×3.5） ＝10.5÷21 ＝0.5（米） 0.5米＝50厘米 答：这些沙子铺的厚度符合标准。 14．美术课上王老师准备教同学们捏橡皮泥。他们把一个棱长是 8厘米的正方体 橡皮泥捏成了一个底面积是 32平方厘米的长方体。这个长方体的高是多少？ 【答案】 8×8×8÷32 ＝512÷32 ＝16（厘米） 答：这个长方体的高是 16厘米。 15．中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。 齐国工匠将一块棱长是 5分米的正方体铁块，锻造成了一个横截面面积是 10平 方分米的长方体，这个长方体的长是多少分米？ 【答案】 5×5×5÷10 ＝25×5÷10 ＝125÷10 ＝12.5（分米） 答：这个长方体的长是 12.5分米。 16．泥塑艺术是我国一种古老常见的民间艺术，它以泥土为原料，以手工捏制成 形。小聪在泥塑课上把一个棱长为 4厘米的正方体彩泥捏成了一个长是 5厘米、 宽是 4厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 【答案】 第 5 页 共 6 页 4×4×4＝64（立方厘米） 64÷（5×4） ＝64÷20 ＝3.2（厘米） 答：捏成的长方体的高是 3.2厘米。 17．有两个水池，甲水池长 8分米、宽 5分米、水深 4分米，乙水池空着，它长 5分米、宽和高都是 4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水 池中水面同样高。问水面高多少？ 【答案】 8×5×4＝160（立方分米） 8×5＝40（平方分米） 5×4＝20（平方分米） 160÷（40＋20） ＝160÷60 ＝ 22 3 （分米） 答：水面高 22 3 分米。 18．一个玻璃槽（1图）中水面高度是 1.5厘米，如果把这个玻璃槽重新摆放（2 图）后，水面高度变为多少？ 【答案】 15×2×1.5＝45（立方厘米） 45÷（2×3） ＝45÷6 ＝7.5（厘米） 第 6 页 共 6 页 答：如果把这个玻璃槽重新摆放后，水面高度变为 7.5厘米。 第 1 页 共 10 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元专项练习 08：六种综合性问题之等积变形问题 一、填空题。 1．将一个棱长总和是 60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是 10厘米，宽是 2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是( )厘米。 【答案】6.25 【分析】已知正方体实心铁块的棱长总和是 60厘米，根据正方体的棱长＝棱长 总和÷12，求出正方体铁块的棱长；再根据正方体的体积公式 V＝a3，求出铁块 的体积。 已知把这块正方体实心铁块锻造成一个长方体实心铁块，铁块的体积不变；根据 长方体的高＝体积÷长÷宽，求出长方体铁块的高。 【详解】60÷12＝5（厘米） 5×5×5＝125（立方厘米） 125÷10÷2 ＝12.5÷2 ＝6.25（厘米） 这个长方体铁块的高是 6.25厘米。 2．把一个棱长 12cm的正方体铁块锻造成一个长 18cm，宽 12cm的长方体，锻 造成的长方体的高是( )cm，长方体的棱长和是( )cm。 【答案】 8 152 【分析】由题意可知，正方体铁块锻造成长方体，其体积不变，根据正方体的体 积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积即长方体的体积，然后根据长方体的 体积公式：V＝abh求出长方体的高，进而根据长方体的棱长之和＝（长＋宽＋ 高）×4，代入数据求解即可。 【详解】12×12×12÷（18×12） ＝144×12÷216 ＝1728÷216 ＝8（cm） 第 2 页 共 10 页 （18＋12＋8）×4 ＝38×4 ＝152（cm） 即，把一个棱长 12cm的正方体铁块锻造成一个长 18cm，宽 12cm的长方体，锻 造成的长方体的高是 8cm，长方体的棱长和是 152cm。 3．把一个长方体的铁块熔铸成一个正方体，它的棱长为 a分米，原长方体的体 积是( )立方分米。如果把这个正方体再切一刀，变成 2个同样的长方体， 表面积增加了( )平方分米。 【答案】 a3 2a2 【分析】长方体熔铸成正方体，体积不变。求原长方体体积就是求正方体体积， 根据公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。把正方体切一 刀增加的表面积增加的表面积为两个正方形切面的面积。据此解答。 【详解】 3a a a a   （立方分米） 2a a 2 2a   （平方分米） 即原长方体的体积是 a3立方分米，表面积增加了 2a2分米。 4．如图一个水箱，中间用玻璃板隔开，左边装上水，右边空着。当把玻璃板取 出后这个水箱水面高度是( )dm。 【答案】1.8 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出左边装水的 体积，当把玻璃板取出后，由于体积不变，用左边装水的体积除以这个长是（6 ＋4）dm，宽是 5dm，高是 5dm的水箱的底面积，即可求出水的高度，据此解答。 【详解】6×5×3÷[（6＋4）×5] ＝30×3÷[10×5] ＝90÷50 ＝1.8（dm） 如图一个水箱，中间用玻璃板隔开，左边装上水，右边空着。当把玻璃板取出后 第 3 页 共 10 页 这个个水箱水面高度是 1.8dm。 5．一段铁块可以铸成一个长 8cm、宽 4cm、高 6cm的长方体，如果用它铸成一 个正方体，这个正方体的体积( )cm3。 【答案】192 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据求出长方体的体积，铸成 正方体后，体积不变，所以正方体的体积等于长方体的体积，即可得解。 【详解】8×4×6＝192（cm3） 即这个正方体的体积是 192cm3。 【点睛】此题主要考查等积变形，虽然形状改变，但体积不变。 6．有一个长是 50厘米，宽是 10厘米，高是 10厘米的全封闭的容器，里面装有 8厘米高的水，如果将这容器竖放，水面的高是( )厘米。 【答案】40 【分析】由题意可知，无论容器横放还是竖放，容器内水的体积不变。首先根据 长方体的体积公式：V＝abh求出水的体积，这里需要注意，求水的体积时高的 数据应该代入水面的真实高度，而不是容器的高，然后用水的体积除以竖着放置 时容器的底面积即可。 【详解】水的体积为： 50×10×8 ＝500×8 ＝4000（立方厘米） 竖着放时底面积为： 10×10＝100（平方厘米） 竖着放时，水面高度为： 4000÷100＝40（厘米） 【点睛】本题主要考查了长方体的容积（体积）公式的灵活运用，理解无论容器 怎么放置，里面水的体积不变是解题的关键。 第 4 页 共 10 页 7．玉华镇挖了一个长 60m，宽 40m，深 2m的鱼池，如果将挖出的土在一条宽 5m的路上铺 2dm厚，最多可以铺路( )m。 【答案】4800 【分析】挖出的土实际上就是鱼池的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh， 铺在路上，体积并没有改变，用体积连续除以路面的宽和路面的高，即可得到需 要铺的路面的长度。 【详解】60×40×2＝4800（m3） 2dm＝0.2m 4800÷5÷0.2 ＝960÷0.2 ＝4800（m） 【点睛】解决此题的关键是抓住体积不变的原则，灵活运用长方体的体积公式求 解。 8．密封的玻璃缸中水深是 2dm（如图①），水的体积是( )dm3，如果把 这个玻璃缸按图②样式放置，那么水深是( )dm。 【答案】 24 4 【分析】水的形状可以看成长方体，底面积就是长方体的底面积，高是水深，结 合长方体体积公式计算即可；水的体积不变，底面变成长是 3dm，宽是 2dm的 长方形。用体积除以底面积得到水深。 【详解】2×6×2 ＝12×2 ＝24（dm3） 水的体积是 24dm3 24÷（2×3） ＝24÷6 ＝4（dm） 第 5 页 共 10 页 水深是 4dm 【点睛】本题考查长方体体积计算以及等体积转化，抓住水体积不变来解决问题。 二、解答题。 9．一个正方体铁块，棱长是 4分米。把它锻造成长和宽分别是 5分米、4分米 的长方体，锻造成的长方体铁块的高是多少分米？（消耗的部分忽略不计） 【答案】3.2分米 【分析】由题意得，正方体变成长方体体积不变，可用正方体棱长求出正方体体 积，正方体体积即是长方体体积。再用长乘宽求出长方体底面积，最后用体积除 以底面积即可求出高。据此解答。 【详解】43÷（5×4） ＝64÷（5×4） ＝64÷20 ＝3.2（分米） 答：锻造成的长方体铁块的高是 3.2分米。 10．一个容器由一个内空棱长 10厘米的正方体和一个内空长 20厘米，宽 20厘 米，高 15厘米的长方体组合形成（如图）。正放时（长方体在下面）水深 10 厘米，倒放时（正方体在下面，放平）水最深处多少厘米？ 【答案】17.5厘米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝长×宽×高计算出水的容积，根据倒置后水 的容积不变计算水深即可。先判断出水的容积大于正方体的体积，则水深超过正 方体的棱长，在长方体还有一部分水深。用水的容积减去正方体的体积，求出在 长方体里面的水的容积，再除以长方体的底面积，即可求出此时长方体中的水深。 用正方体的棱长加上此时长方体中的水深，求出水的总深度。 【详解】20×20×10 ＝400×10 第 6 页 共 10 页 ＝4000（立方厘米） 10×10×10 ＝100×10 ＝1000（立方厘米） 4000－1000＝3000（立方厘米） 3000÷（20×20） ＝3000÷400 ＝7.5（厘米） 10＋7.5＝17.5（厘米） 答：倒放时（正方体在下面，放平）水最深处 17.5厘米。 11．有空的长方体容器甲和装有 24厘米深的长方体容器乙。将容器乙中水倒一 部分到容器甲，使两个容器里的水的高度相同，这时水深是多少厘米？（容器壁 厚度忽略不计） 【答案】8厘米 【分析】水的体积＝容器的底面积×水深，可以列方程求解，设水深是 x厘米， 等量关系为：容器甲的底面积×水深＋容器乙的底面积×水深＝容器乙的底面积 ×24厘米。 【详解】解：设这时水深是 x厘米。 40×30×x＋20×30×x＝20×30×24 1200x＋600x＝14400 1800x＝14400 1800x÷1800＝14400÷1800 x＝8 答：这时水深是 8厘米。 12．有一个棱长是 20厘米的正方体容器里装满水，现在要把这些水倒入长 25 第 7 页 共 10 页 厘米，宽 10厘米，高 40厘米的长方体玻璃缸里，水面有多高？ 【答案】32厘米 【分析】根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体容器内水的体积。将水 倒入长方体玻璃缸后，水的体积不变，并且水形成了一个长方体。根据“长方体 高＝体积÷底面积”求出水面的高度即可。 【详解】20×20×20÷（25×10） ＝8000÷250 ＝32（厘米） 答：水面有 32厘米高。 13．跳远沙坑建设的标准深度为 50厘米。学校把 10.5立方米的沙子铺在一个长 6米、宽 3.5米的沙坑里，问：这些沙子铺的厚度是否符合标准？ 【答案】符合 【分析】根据题意，把 10.5立方米的沙子铺在一个长 6米、宽 3.5米的沙坑里， 沙子的体积不变，根据长方体的高＝体积÷（长×宽），求出沙子铺的厚度，再 与标准深度相比，得出结论。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】10.5÷（6×3.5） ＝10.5÷21 ＝0.5（米） 0.5米＝50厘米 答：这些沙子铺的厚度符合标准。 14．美术课上王老师准备教同学们捏橡皮泥。他们把一个棱长是 8厘米的正方体 橡皮泥捏成了一个底面积是 32平方厘米的长方体。这个长方体的高是多少？ 【答案】16厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求出正方体的体积； 再根据长方体的体积＝底面积×高，用橡皮泥的体积除以底面积，即可求出长方 体的高。 【详解】8×8×8÷32 ＝512÷32 ＝16（厘米） 第 8 页 共 10 页 答：这个长方体的高是 16厘米。 15．中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。 齐国工匠将一块棱长是 5分米的正方体铁块，锻造成了一个横截面面积是 10平 方分米的长方体，这个长方体的长是多少分米？ 【答案】12.5分米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用 5×5×5即可求出正方体铁块 的体积，把正方体铁块锻造成了一个横截面积是 10平方分米的长方体，根据长 方体的体积＝长×宽×高＝长×横截面积，用正方体铁块的体积除以 4平方分米， 即可求出这个长方体的长。 【详解】5×5×5÷10 ＝25×5÷10 ＝125÷10 ＝12.5（分米） 答：这个长方体的长是 12.5分米。 16．泥塑艺术是我国一种古老常见的民间艺术，它以泥土为原料，以手工捏制成 形。小聪在泥塑课上把一个棱长为 4厘米的正方体彩泥捏成了一个长是 5厘米、 宽是 4厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 【答案】3.2厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入相应数值计算出正方体彩 泥的体积；把它捏成一个长方体，体积不变，利用长方体的高＝体积÷（长×宽）， 代入数值计算，据此解答。 【详解】4×4×4＝64（立方厘米） 64÷（5×4） ＝64÷20 ＝3.2（厘米） 答：捏成的长方体的高是 3.2厘米。 17．有两个水池，甲水池长 8分米、宽 5分米、水深 4分米，乙水池空着，它长 5分米、宽和高都是 4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水 池中水面同样高。问水面高多少？ 第 9 页 共 10 页 【答案】 22 3 分米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用 8×5×4即可求出水的体积，现在要 从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高，且水的总体积不变， 根据长方体的体积＝底面积×高，可得水的体积＝（甲水池的底面积＋乙水池的 底面积）×现在的高度，先根据底面积＝长×宽，分别求出两个水池的底面积， 进而用除法求出现在的高度。 【详解】8×5×4＝160（立方分米） 8×5＝40（平方分米） 5×4＝20（平方分米） 160÷（40＋20） ＝160÷60 ＝ 22 3 （分米） 答：水面高 22 3 分米。 【点睛】本题考查了长方体体积公式的灵活应用，明确水的体积不变是解答本题 的关键。 18．一个玻璃槽（1图）中水面高度是 1.5厘米，如果把这个玻璃槽重新摆放（2 图）后，水面高度变为多少？ 【答案】7.5厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用 15×2×1.5即可求出水的体积，把这 个玻璃槽重新摆放（2图）后，体积不变，底面变为（2×3）平方厘米，用水的 体积除以（2×3）即可求出现在水的高度。 【详解】15×2×1.5＝45（立方厘米） 第 10 页 共 10 页 45÷（2×3） ＝45÷6 ＝7.5（厘米） 答：如果把这个玻璃槽重新摆放后，水面高度变为 7.5厘米。 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元专项练习08：六种综合性问题之等积变形问题 一、填空题。 1．将一个棱长总和是60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是10厘米，宽是2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是( )厘米。 2．把一个棱长12cm的正方体铁块锻造成一个长18cm，宽12cm的长方体，锻造成的长方体的高是( )cm，长方体的棱长和是( )cm。 3．把一个长方体的铁块熔铸成一个正方体，它的棱长为a分米，原长方体的体积是( )立方分米。如果把这个正方体再切一刀，变成2个同样的长方体，表面积增加了( )平方分米。 4．如图一个水箱，中间用玻璃板隔开，左边装上水，右边空着。当把玻璃板取出后这个水箱水面高度是( )dm。 5．一段铁块可以铸成一个长8cm、宽4cm、高6cm的长方体，如果用它铸成一个正方体，这个正方体的体积( )cm3。 6．有一个长是50厘米，宽是10厘米，高是10厘米的全封闭的容器，里面装有8厘米高的水，如果将这容器竖放，水面的高是( )厘米。 7．玉华镇挖了一个长60m，宽40m，深2m的鱼池，如果将挖出的土在一条宽5m的路上铺2dm厚，最多可以铺路( )m。 8．密封的玻璃缸中水深是2dm（如图①），水的体积是( )dm3，如果把这个玻璃缸按图②样式放置，那么水深是( )dm。 二、解答题。 9．一个正方体铁块，棱长是4分米。把它锻造成长和宽分别是5分米、4分米的长方体，锻造成的长方体铁块的高是多少分米？（消耗的部分忽略不计） 10．一个容器由一个内空棱长10厘米的正方体和一个内空长20厘米，宽20厘米，高15厘米的长方体组合形成（如图）。正放时（长方体在下面）水深10厘米，倒放时（正方体在下面，放平）水最深处多少厘米？ 11．有空的长方体容器甲和装有24厘米深的长方体容器乙。将容器乙中水倒一部分到容器甲，使两个容器里的水的高度相同，这时水深是多少厘米？（容器壁厚度忽略不计） 12．有一个棱长是20厘米的正方体容器里装满水，现在要把这些水倒入长25厘米，宽10厘米，高40厘米的长方体玻璃缸里，水面有多高？ 13．跳远沙坑建设的标准深度为50厘米。学校把10.5立方米的沙子铺在一个长6米、宽3.5米的沙坑里，问：这些沙子铺的厚度是否符合标准？ 14．美术课上王老师准备教同学们捏橡皮泥。他们把一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥捏成了一个底面积是32平方厘米的长方体。这个长方体的高是多少？ 15．中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。齐国工匠将一块棱长是5分米的正方体铁块，锻造成了一个横截面面积是10平方分米的长方体，这个长方体的长是多少分米？ 16．泥塑艺术是我国一种古老常见的民间艺术，它以泥土为原料，以手工捏制成形。小聪在泥塑课上把一个棱长为4厘米的正方体彩泥捏成了一个长是5厘米、宽是4厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 17．有两个水池，甲水池长8分米、宽5分米、水深4分米，乙水池空着，它长5分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？ 18．一个玻璃槽（1图）中水面高度是1.5厘米，如果把这个玻璃槽重新摆放（2图）后，水面高度变为多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元专项练习08：六种综合性问题之等积变形问题 一、填空题。 1．将一个棱长总和是60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是10厘米，宽是2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是( )厘米。 【答案】6.25 2．把一个棱长12cm的正方体铁块锻造成一个长18cm，宽12cm的长方体，锻造成的长方体的高是( )cm，长方体的棱长和是( )cm。 【答案】 8 152 3．把一个长方体的铁块熔铸成一个正方体，它的棱长为a分米，原长方体的体积是( )立方分米。如果把这个正方体再切一刀，变成2个同样的长方体，表面积增加了( )平方分米。 【答案】 a3 2a2 4．如图一个水箱，中间用玻璃板隔开，左边装上水，右边空着。当把玻璃板取出后这个水箱水面高度是( )dm。 【答案】1.8 5．一段铁块可以铸成一个长8cm、宽4cm、高6cm的长方体，如果用它铸成一个正方体，这个正方体的体积( )cm3。 【答案】192 6．有一个长是50厘米，宽是10厘米，高是10厘米的全封闭的容器，里面装有8厘米高的水，如果将这容器竖放，水面的高是( )厘米。 【答案】40 7．玉华镇挖了一个长60m，宽40m，深2m的鱼池，如果将挖出的土在一条宽5m的路上铺2dm厚，最多可以铺路( )m。 【答案】4800 8．密封的玻璃缸中水深是2dm（如图①），水的体积是( )dm3，如果把这个玻璃缸按图②样式放置，那么水深是( )dm。 【答案】 24 4 二、解答题。 9．一个正方体铁块，棱长是4分米。把它锻造成长和宽分别是5分米、4分米的长方体，锻造成的长方体铁块的高是多少分米？（消耗的部分忽略不计） 【答案】 43÷（5×4） ＝64÷（5×4） ＝64÷20 ＝3.2（分米） 答：锻造成的长方体铁块的高是3.2分米。 10．一个容器由一个内空棱长10厘米的正方体和一个内空长20厘米，宽20厘米，高15厘米的长方体组合形成（如图）。正放时（长方体在下面）水深10厘米，倒放时（正方体在下面，放平）水最深处多少厘米？ 【答案】 20×20×10 ＝400×10 ＝4000（立方厘米） 10×10×10 ＝100×10 ＝1000（立方厘米） 4000－1000＝3000（立方厘米） 3000÷（20×20） ＝3000÷400 ＝7.5（厘米） 10＋7.5＝17.5（厘米） 答：倒放时（正方体在下面，放平）水最深处17.5厘米。 11．有空的长方体容器甲和装有24厘米深的长方体容器乙。将容器乙中水倒一部分到容器甲，使两个容器里的水的高度相同，这时水深是多少厘米？（容器壁厚度忽略不计） 【答案】 解：设这时水深是x厘米。 40×30×x＋20×30×x＝20×30×24 1200x＋600x＝14400 1800x＝14400 1800x÷1800＝14400÷1800 x＝8 答：这时水深是8厘米。 12．有一个棱长是20厘米的正方体容器里装满水，现在要把这些水倒入长25厘米，宽10厘米，高40厘米的长方体玻璃缸里，水面有多高？ 【答案】 20×20×20÷（25×10） ＝8000÷250 ＝32（厘米） 答：水面有32厘米高。 13．跳远沙坑建设的标准深度为50厘米。学校把10.5立方米的沙子铺在一个长6米、宽3.5米的沙坑里，问：这些沙子铺的厚度是否符合标准？ 【答案】 10.5÷（6×3.5） ＝10.5÷21 ＝0.5（米） 0.5米＝50厘米 答：这些沙子铺的厚度符合标准。 14．美术课上王老师准备教同学们捏橡皮泥。他们把一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥捏成了一个底面积是32平方厘米的长方体。这个长方体的高是多少？ 【答案】 8×8×8÷32 ＝512÷32 ＝16（厘米） 答：这个长方体的高是16厘米。 15．中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。齐国工匠将一块棱长是5分米的正方体铁块，锻造成了一个横截面面积是10平方分米的长方体，这个长方体的长是多少分米？ 【答案】 5×5×5÷10 ＝25×5÷10 ＝125÷10 ＝12.5（分米） 答：这个长方体的长是12.5分米。 16．泥塑艺术是我国一种古老常见的民间艺术，它以泥土为原料，以手工捏制成形。小聪在泥塑课上把一个棱长为4厘米的正方体彩泥捏成了一个长是5厘米、宽是4厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 【答案】 4×4×4＝64（立方厘米） 64÷（5×4） ＝64÷20 ＝3.2（厘米） 答：捏成的长方体的高是3.2厘米。 17．有两个水池，甲水池长8分米、宽5分米、水深4分米，乙水池空着，它长5分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？ 【答案】 8×5×4＝160（立方分米） 8×5＝40（平方分米） 5×4＝20（平方分米） 160÷（40＋20） ＝160÷60 ＝（分米） 答：水面高分米。 18．一个玻璃槽（1图）中水面高度是1.5厘米，如果把这个玻璃槽重新摆放（2图）后，水面高度变为多少？ 【答案】 15×2×1.5＝45（立方厘米） 45÷（2×3） ＝45÷6 ＝7.5（厘米） 答：如果把这个玻璃槽重新摆放后，水面高度变为7.5厘米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$