第三单元专项练习06：六种综合性问题之长方体和正方体的切拼问题-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

第 1 页 共 5 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元专项练习 06： 六种综合性问题之长方体和正方体的切拼问题 一、填空题。 1．把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，它的体积( )；若将它切 割成两个长方体，体积( )，表面积( )了。（选填“增加”“减少” 或“不变”） 2．把一个棱长为 6cm的正方体分成两个大小、形状完全相同的长方体，每个长 方体的表面积是( )cm2，这两个长方体的表面积之和与原正方体的表面 积相比，增加了( )cm2。 3．把一个棱长 3分米的正方体，切成两个相等的长方体，表面积增加了( ) 平方分米。 4．将一根长为 3m的圆柱形木料锯成 3段，表面积增加 20dm2，这根木料的体 积是( )dm3。 5．把 3个棱长是 5厘米的正方体木块粘合成一个长方体，表面积比原来的 3个 小正方体表面积的和减少( )平方厘米。 6．把 4个棱长是 2厘米的正方体拼在一起（如图所示）。大长方体的表面积是 ( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 7．由 15个棱长为1cm 的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为 ( ) 2cm 。 第 2 页 共 5 页 8．把一个表面积是 55.5平方厘米的长方体，沿着长、宽、高垂直各切一刀后分 成了 8个小长方体（如图），表面积比原来增加了( )平方厘米。 9．一个长方体，如果高增加 3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增 加了 96平方厘米。原来长方体的高是( )厘米。 10．从一个长 9分米、宽 6分米、高 4分米的长方体上切下一个最大的正方体， 这个正方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 二、解答题 11．把 2个棱长是 3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多 少？ 12．把一块长和宽都是 1.5米的长方体木料平均锯成三段（如下图），表面积比 原来增加了 2.4平方米。原来这根木料的体积是多少立方米？ 13．把一个长是 40厘米、宽是 30厘米、高是 20厘米的木块分割成长是 4厘米、 宽是 3厘米、高是 2厘米的小长方体。最多能分割成多少块？ 第 3 页 共 5 页 14．用 4个棱长是 2厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积可 能是多少平方厘米？ 15．一根 2.5米长的方钢，把它沿横截面截成 3段，表面积增加了 60平方厘米， 原来这根方钢的体积是多少立方厘米？ 16．如图，一个长方体，高截去 3厘米，表面积就减少了 60平方厘米，剩下的 部分正好成为一个正方体。原来长方体的体积是多少？ 17．（如下图）一块长方体木块，从上部和下部分别截去高 3厘米和 2厘米的小 长方体后，成为一个正方体。表面积减少 120平方厘米，原来长方体体积是多少 立方厘米？ 第 4 页 共 5 页 18．芳芳准备把两个长是 40厘米、宽为 20厘米、高是 25厘米的长方体礼品盒 （如图）叠在一起，再用彩纸包装好。 （1）包装后的大长方体礼物体积是多少立方分米？（厚度忽略不计） （2）怎样叠放最节省包装纸？此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比 减少了多少平方分米？ 19．切割长 12厘米，宽 6厘米，高 8厘米的长方体木块。 （1）将这个木块切掉一个长方体（如图），切掉的长方体体积是多少？ （2）两个完全相同的切割后剩余木块，可以拼成一个长方体（如下图），拼成 的长方体表面积是多少平方厘米？ 第 5 页 共 5 页 20．用 4个长是 6厘米、宽是 3厘米、高是 2厘米的小长方体拼成一个大长方体。 （1）拼出至少 4种大长方体，分别把它们的长、宽、高填在下表中，并计算大 长方体的表面积。 长（厘米） 宽（厘米） 高（厘米） 表面积（平方厘 米） （2）如果用 6个这样的小长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少平方厘 米，最小是多少平方厘米？ 第 1 页 共 14 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元专项练习 06： 六种综合性问题之长方体和正方体的切拼问题 一、填空题。 1．把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，它的体积( )；若将它切 割成两个长方体，体积( )，表面积( )了。（选填“增加”“减少” 或“不变”） 【答案】 不变 不变 增加 【分析】把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，形状发生变化，但是体积不 变；若将正方体切割成两个长方体，体积没有发生变化，但是表面积增加了 2 个切面，每个切面和正方体的每个面相同。 【详解】把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，它的体积不变；若将它切割 成两个长方体，体积不变，表面积增加了。 2．把一个棱长为 6cm的正方体分成两个大小、形状完全相同的长方体，每个长 方体的表面积是( )cm2，这两个长方体的表面积之和与原正方体的表面 积相比，增加了( )cm2。 【答案】 144 72 【分析】把正方体分成两个大小、形状完全相同的长方体，每个长方体有 2个面 分别等于正方体的一个面，另外 4个面分别等于正方体一个面的一半，这两个长 方体的表面积之和比原来增加了 2个正方形的面，因此每个长方体的表面积＝正 方体的棱长×棱长×2＋棱长×棱长÷2×4，增加的表面积＝棱长×棱长×2，据此列式 计算。 【详解】6×6×2＋6×6÷2×4 ＝72＋72 ＝144（cm2） 6×6×2＝72（cm2） 每个长方体的表面积是 144cm2，增加了 72cm2。 第 2 页 共 14 页 3．把一个棱长 3分米的正方体，切成两个相等的长方体，表面积增加了( ) 平方分米。 【答案】18 【分析】根据题意，把一个棱长 3分米的正方体，切成两个相等的长方体，表面 积会增加两个截面的面积；由正方体的特征可知，每个截面是边长为 3分米的正 方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘 2，即是增加 的表面积。 【详解】3×3×2＝18（平方分米） 表面积增加了 18平方分米。 4．将一根长为 3m的圆柱形木料锯成 3段，表面积增加 20dm2，这根木料的体 积是( )dm3。 【答案】150 【分析】将一根长为 3米的圆柱形木料锯成 3段，需锯 2次；每锯一次，增加 2 个截面，锯 2次，增加 4个截面；所以用增加的表面积除以 4，即可求出圆柱的 底面积；再根据圆柱的体积公式 V＝Sh，求出这根木料的体积。 【详解】3m＝30dm 2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 底面积：20÷4＝5（dm2） 体积：5×30＝150（dm3） 这根木料的体积是 150dm3。 5．把 3个棱长是 5厘米的正方体木块粘合成一个长方体，表面积比原来的 3个 小正方体表面积的和减少( )平方厘米。 【答案】100 【分析】这个长方体的表面积比 3个正方体的表面积和减少了 4个面的面积，即 减少的面积＝棱长×棱长×4；代入数据计算即可。 第 3 页 共 14 页 【详解】5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 所以表面积比原来的 3个小正方体表面积的和减少 100平方厘米。 6．把 4个棱长是 2厘米的正方体拼在一起（如图所示）。大长方体的表面积是 ( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 72 32 【分析】据图可知，大长方体的长是（2×4）厘米、宽和高都是 2厘米，长方体 的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，据此代入 数据列式计算即可。 【详解】2×4＝8（厘米） （8×2＋8×2＋2×2）×2 ＝（16＋16＋4）×2 ＝36×2 ＝72（平方厘米） 8×2×2＝32（立方厘米） 把 4个棱长是 2厘米的正方体拼在一起。大长方体的表面积是 72平方厘米，体 积是 32立方厘米。 7．由 15个棱长为1cm 的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为 ( ) 2cm 。 【答案】50 【分析】首先数出露出的面的数量，前、后面露出的面数量都是 7个，左、右面 露出的面的数量都是 10个，上、下面露出的面的数量都是 8个。那么露出的面 一共是 50个，再根据正方形的面积计算公式正方形的面积＝边长边长，求出边 第 4 页 共 14 页 长为 1 cm的正方形的面积，再乘 50即可解答。 【详解】前、后面露出的面数量都是 7个，左、右面露出的面的数量都是 10个， 上、下面露出的面的数量都是 8个。  7 10 8 2   25 2  50 （个） 1 1 50  （ 2cm ） 由 15个棱长为1cm 的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积是 50 2cm 。 8．把一个表面积是 55.5平方厘米的长方体，沿着长、宽、高垂直各切一刀后分 成了 8个小长方体（如图），表面积比原来增加了( )平方厘米。 【答案】55.5 【分析】沿着长、宽、高垂直各切一刀，表面一共增加了 6个面，正好等于原来 的表面积，据此分析。 【详解】沿着长、宽、高垂直各切一刀，增加上下、左右、前后 6个面的面积， 也就是原长方体的表面积。所以表面积比原来增加了 55.5平方厘米。 9．一个长方体，如果高增加 3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增 加了 96平方厘米。原来长方体的高是( )厘米。 【答案】5 【分析】根据题意，作图如下： 从“一个长方体，如果高增加 3厘米，就变成一个正方体”可知：这个长方体的高 ＋3厘米＝长＝宽＝正方体的棱长。高增加 3厘米，就从长方体变成正方体，上 下面不变，前后左右 4个面共增加了 96平方厘米，用 96÷4＝24平方厘米求出一 个面增加的面积。再用一个面增加的面积÷3即可得正方体的棱长，用棱长减去 3 第 5 页 共 14 页 就得长方体的高。 【详解】96÷4÷3－3 ＝8－3 ＝5（厘米） 原来长方体的高是 5厘米。 10．从一个长 9分米、宽 6分米、高 4分米的长方体上切下一个最大的正方体， 这个正方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 96 64 【分析】长方体切下一个最大的正方体，正方体的棱长等于长方体的高；根据正 方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积公式：体积＝棱长×棱长× 棱长，代入数据，即可解答。 【详解】4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方分米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 从一个长 9分米、宽 6分米、高 4分米的长方体上切下一个最大的正方体，这个 正方体的表面积是 96平方分米，体积是 64立方分米。 二、解答题 11．把 2个棱长是 3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多 少？ 【答案】90平方厘米 【分析】把 2个棱长为 3厘米的小正方体拼成一个长方体后，长方体的长和宽等 于正方体的棱长，高是正方体棱长的 2倍。已知正方体的棱长，长方体的长是 3 厘米，宽是 3厘米，高是 6厘米，根据 2   长方体的表面积＝（长 宽＋长 高＋宽 高） ， 代入数据。 【详解】3×2＝6（厘米） 第 6 页 共 14 页 （3×3＋3×6＋3×6）×2 ＝（9＋18＋18）×2 ＝45×2 ＝90（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 90平方厘米。 12．把一块长和宽都是 1.5米的长方体木料平均锯成三段（如下图），表面积比 原来增加了 2.4平方米。原来这根木料的体积是多少立方米？ 【答案】0.9立方米 【分析】长方体木料平均锯成三段，表面积增加了 4个截面面积，增加的表面积 ÷增加的截面＝截面面积，根据长方体体积＝截面面积×长，列式解答即可。 【详解】2.4÷4×1.5＝0.9（立方米） 答：原来这根木料的体积是 0.9立方米。 13．把一个长是 40厘米、宽是 30厘米、高是 20厘米的木块分割成长是 4厘米、 宽是 3厘米、高是 2厘米的小长方体。最多能分割成多少块？ 【答案】1000块 【分析】求长方体木块最多能分割成多少块小长方体，就是求大长方体的长、宽、 高里面分别有几个小长方体的长、宽、高，用除法计算；再把长、宽、高最多分 割的块数相乘，即是小长方体的块数。 【详解】40÷4＝10（个） 30÷3＝10（个） 20÷2＝10（个） 10×10×10＝1000（块） 答：最多能分割成 1000块。 14．用 4个棱长是 2厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积可 能是多少平方厘米？ 第 7 页 共 14 页 【答案】72平方厘米或 64平方厘米 【分析】拼法一：4个小正方体拼成一排，此时长方体的长、宽、高分别是（2×4） 厘米、2厘米、2厘米； 拼法二：4个小正方体拼成两排两列，此时长方体的长、宽、高分别是（2×2） 厘米、（2×2）厘米、2厘米。 根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，将数据分别代入长方体表面 积公式中，求出拼成的长方体的表面积即可。 【详解】拼法一： 长：2×4＝8（厘米） （8×2＋8×2＋2×2）×2 ＝（16＋16＋4）×2 ＝36×2 ＝72（平方厘米） 拼法二： 长或宽：2×2＝4（厘米） （4×4＋4×2＋4×2）×2 ＝（16＋8＋8）×2 ＝32×2 ＝64（平方厘米） 答：拼成的长方体的表面积可能是 72平方厘米或 64平方厘米。 15．一根 2.5米长的方钢，把它沿横截面截成 3段，表面积增加了 60平方厘米， 原来这根方钢的体积是多少立方厘米？ 【答案】3750立方厘米 【分析】根据题意可知，沿横截面截成 3段，增加了 4个截面的面积，用增加的 面积÷4，求出一个截面的面积，也就是方钢的底面积，再根据长方体体积公式： 体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。注意单位名数的统一。 【详解】2.5米＝250厘米 第 8 页 共 14 页 60÷4×250 ＝15×250 ＝3750（立方厘米） 答：原来这根方钢的体积是 3750立方厘米。 16．如图，一个长方体，高截去 3厘米，表面积就减少了 60平方厘米，剩下的 部分正好成为一个正方体。原来长方体的体积是多少？ 【答案】200立方厘米 【分析】根据题意，高截去 3厘米，表面积就减少了 60平方厘米，表面积减少 的只是 4个侧面的面积，又知剩下部分成为一个正方体，说明原来长方体的长和 宽相等，由此可知，减少的 4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以 4 求出减少的一个面的面积，面积除以宽（3厘米），即可求出原来长方体的长和 宽，然后根据长方体的体积 V＝abh，代入数据解答。 【详解】60÷4＝15（平方厘米） 15÷3＝5（厘米） 5×5×（5＋3） ＝25×8 ＝200（立方厘米） 答：原来长方体的体积是 200立方厘米。 17．（如下图）一块长方体木块，从上部和下部分别截去高 3厘米和 2厘米的小 长方体后，成为一个正方体。表面积减少 120平方厘米，原来长方体体积是多少 立方厘米？ 第 9 页 共 14 页 【答案】396立方厘米 【分析】根据题意，把从长方体木块的上部和下部分别截去高 3厘米和 2厘米的 小长方体，看作把长方体的高截去（3＋2）厘米，表面积减少 120平方厘米，变 成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等； 减少的表面积是 4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是（3＋2）厘米，长 是原来长方体的长或宽；用减少的表面积除以 4，求出一个长方形的面积，然后 除以（3＋2），即可求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上（3＋2） 厘米，得到原来长方体的高； 最后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。 【详解】原来长方体的长、宽： 120÷4÷（3＋2） ＝120÷4÷5 ＝6（厘米） 原来长方体的高： 3＋2＋6＝11（厘米） 原来长方体的体积： 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体体积是 396立方厘米。 18．芳芳准备把两个长是 40厘米、宽为 20厘米、高是 25厘米的长方体礼品盒 （如图）叠在一起，再用彩纸包装好。 （1）包装后的大长方体礼物体积是多少立方分米？（厚度忽略不计） （2）怎样叠放最节省包装纸？此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比 减少了多少平方分米？ 【答案】（1）40立方分米 （2）把面积是 1000平方厘米的面叠放最节省包装纸；20平方分米 第 10 页 共 14 页 【分析】（1）体积表示物体所占空间的大小，所以包装好的大长方体礼物体积 等于两个长方体的体积和，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据， 求出一个长方体的体积，再乘 2，即可解答。 （2）重合面的面积最大，叠放最节省包装纸；根据图可知，长是 40厘米，宽是 25厘米的面的面积是最大的，所以减少了两个长是 40厘米，宽是 25厘米面的 面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答，注意单位名 数的换算。 【详解】（1）40×20×25×2 ＝800×25×2 ＝20000×2 ＝40000（立方厘米） 40000立方厘米＝40立方分米 答：包装后的长方体礼物体积是 40立方分米。 （2）40×20＝800（平方厘米） 40×25＝1000（平方厘米） 20×25＝500（平方厘米） 1000＞800＞500；把面积是 1000平方厘米的面叠放最节省包装纸。 40×25×2 ＝1000×2 ＝2000（平方厘米） 2000平方厘米＝20平方分米 答：把面积是 1000平方厘米的面叠放最节省包装纸，此时的表面积与原来两个 长方体表面积之和相比减少了 20平方分米。 19．切割长 12厘米，宽 6厘米，高 8厘米的长方体木块。 （1）将这个木块切掉一个长方体（如图），切掉的长方体体积是多少？ 第 11 页 共 14 页 （2）两个完全相同的切割后剩余木块，可以拼成一个长方体（如下图），拼成 的长方体表面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）96立方厘米； （2）656平方厘米 【分析】（1）由图可知，切掉的长方体长为（12－8）厘米，宽为 6厘米，高为 （8－4）厘米，根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，代入数据就可以计算切 掉部分的体积； （2）由图可知，拼成的长方体的长为（12＋8）厘米，宽为 6厘米，高为 8厘米， 根据公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，就 可以求出拼成的长方体表面积是多少。 【详解】（1）12－8＝4（厘米） 8－4＝4（厘米） 4×6×4＝96（立方厘米） 答：切掉的长方体体积是 96立方厘米。 （2）12＋8＝20（厘米） （20×6＋20×8＋6×8）×2 ＝（120＋160＋48）×2 ＝328×2 ＝656（平方厘米） 答：拼成的长方体表面积是 656平方厘米。 20．用 4个长是 6厘米、宽是 3厘米、高是 2厘米的小长方体拼成一个大长方体。 （1）拼出至少 4种大长方体，分别把它们的长、宽、高填在下表中，并计算大 长方体的表面积。 第 12 页 共 14 页 长（厘米） 宽（厘米） 高（厘米） 表面积（平方厘 米） （2）如果用 6个这样的小长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少平方厘 米，最小是多少平方厘米？ 【答案】（1）见详解 （2）最大 372平方厘米；最小 216平方厘米 【分析】 （1）① ，此时长是 6×4＝24（厘米）、宽是 3厘米、 高是 2厘米； ② ，此时长是 6×2＝12（厘米）、宽是 3×2＝6厘米、高是 2 厘米； ③ ，此时长是 6厘米、宽是 3厘米、高是 2×4＝8（厘米）； ④ ，此时长为 6厘米，宽为 3×2＝6（厘米），高为 2×2＝4（厘米）； 根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，列式计算求出这四种情况 的表面积。 （2）根据（1）表中的数值，可知，长宽高相差越大，拼成的长方体表面积也就 越大；长宽高相差越小，即组成的图形越接近正方体，拼成的长方体表面积也就 越小。 此题要拼成一个表面积最大的大长方体，就要把面积最小的面拼在一起，这时就 减少 10个最小面的面积；要拼成一个表面积最小的大长方体，就要使大长方体 第 13 页 共 14 页 的长宽高接近，因为一共有 6个小长方体，可以再（1）中④的基础上再拼两个 小长方体，正好拼成一个正方体，此时的长宽高相等，即表面积最小；根据长方 体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2、正方体的表面积＝边长×边长×6， 列式计算求出最大、最小的表面积。 【详解】（1）①长是 6×4＝24（厘米）、宽是 3厘米、高是 2厘米； （24×3＋3×2＋24×2）×2 ＝（72＋6＋48）×2 ＝126×2 ＝252（平方厘米） ②长是 6×2＝12（厘米）、宽是 3×2＝6厘米、高是 2厘米； （12×6＋6×2＋12×2）×2 ＝（72＋12＋24）×2 ＝108×2 ＝216（平方厘米） ③长是 6厘米、宽是 3厘米、高是 2×4＝8（厘米）； （6×3＋6×8＋3×8）×2 ＝（18＋48＋24）×2 ＝90×2 ＝180（平方厘米） ④长为 6厘米，宽为 3×2＝6（厘米），高为 2×2＝4（厘米）； （6×6＋6×4＋6×4）×2 ＝（36＋24＋24）×2 ＝84×2 ＝168（平方厘米） 长（厘米） 宽（厘米） 高（厘米） 表面积（平方厘 米） 24 3 2 252 12 6 2 216 第 14 页 共 14 页 6 3 8 180 6 6 4 168 （2） ，此时长是 6×6＝36（厘米）、 宽是 3厘米、高是 2厘米，此时的表面积最大，最大表面积为： （36×3＋3×2＋36×2）×2 ＝（108＋6＋72）×2 ＝186×2 ＝372（平方厘米） ，此时长是 6厘米、宽是 3×2＝6（厘米）、高是 2×3＝6（厘米）， 此时的表面积最小，最小表面积为： 6×6×6＝216（平方厘米） 答：表面积最大是 372平方厘米，最小是 216平方厘米。 【点睛】本题的关键是通过拼出大长方体的长宽高各不相同的情况，结合其表面 积的大小变化规律，进而找出拼成长方体的表面积最大和最小时的规律。 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元专项练习06： 六种综合性问题之长方体和正方体的切拼问题 一、填空题。 1．把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，它的体积( )；若将它切割成两个长方体，体积( )，表面积( )了。（选填“增加”“减少”或“不变”） 2．把一个棱长为6cm的正方体分成两个大小、形状完全相同的长方体，每个长方体的表面积是( )cm2，这两个长方体的表面积之和与原正方体的表面积相比，增加了( )cm2。 3．把一个棱长3分米的正方体，切成两个相等的长方体，表面积增加了( )平方分米。 4．将一根长为3m的圆柱形木料锯成3段，表面积增加20dm2，这根木料的体积是( )dm3。 5．把3个棱长是5厘米的正方体木块粘合成一个长方体，表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少( )平方厘米。 6．把4个棱长是2厘米的正方体拼在一起（如图所示）。大长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 7．由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为( )。 8．把一个表面积是55.5平方厘米的长方体，沿着长、宽、高垂直各切一刀后分成了8个小长方体（如图），表面积比原来增加了( )平方厘米。 9．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来长方体的高是( )厘米。 10．从一个长9分米、宽6分米、高4分米的长方体上切下一个最大的正方体，这个正方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 二、解答题 11．把2个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？ 12．把一块长和宽都是1.5米的长方体木料平均锯成三段（如下图），表面积比原来增加了2.4平方米。原来这根木料的体积是多少立方米？ 13．把一个长是40厘米、宽是30厘米、高是20厘米的木块分割成长是4厘米、宽是3厘米、高是2厘米的小长方体。最多能分割成多少块？ 14．用4个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积可能是多少平方厘米？ 15．一根2.5米长的方钢，把它沿横截面截成3段，表面积增加了60平方厘米，原来这根方钢的体积是多少立方厘米？ 16．如图，一个长方体，高截去3厘米，表面积就减少了60平方厘米，剩下的部分正好成为一个正方体。原来长方体的体积是多少？ 17．（如下图）一块长方体木块，从上部和下部分别截去高3厘米和2厘米的小长方体后，成为一个正方体。表面积减少120平方厘米，原来长方体体积是多少立方厘米？ 18．芳芳准备把两个长是40厘米、宽为20厘米、高是25厘米的长方体礼品盒（如图）叠在一起，再用彩纸包装好。 （1）包装后的大长方体礼物体积是多少立方分米？（厚度忽略不计） （2）怎样叠放最节省包装纸？此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比减少了多少平方分米？ 19．切割长12厘米，宽6厘米，高8厘米的长方体木块。 （1）将这个木块切掉一个长方体（如图），切掉的长方体体积是多少？ （2）两个完全相同的切割后剩余木块，可以拼成一个长方体（如下图），拼成的长方体表面积是多少平方厘米？ 20．用4个长是6厘米、宽是3厘米、高是2厘米的小长方体拼成一个大长方体。 （1）拼出至少4种大长方体，分别把它们的长、宽、高填在下表中，并计算大长方体的表面积。 长（厘米） 宽（厘米） 高（厘米） 表面积（平方厘米） （2）如果用6个这样的小长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少平方厘米，最小是多少平方厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元专项练习06： 六种综合性问题之长方体和正方体的切拼问题 一、填空题。 1．把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，它的体积( )；若将它切割成两个长方体，体积( )，表面积( )了。（选填“增加”“减少”或“不变”） 【答案】 不变 不变 增加 2．把一个棱长为6cm的正方体分成两个大小、形状完全相同的长方体，每个长方体的表面积是( )cm2，这两个长方体的表面积之和与原正方体的表面积相比，增加了( )cm2。 【答案】 144 72 3．把一个棱长3分米的正方体，切成两个相等的长方体，表面积增加了( )平方分米。 【答案】18 4．将一根长为3m的圆柱形木料锯成3段，表面积增加20dm2，这根木料的体积是( )dm3。 【答案】150 5．把3个棱长是5厘米的正方体木块粘合成一个长方体，表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少( )平方厘米。 【答案】100 6．把4个棱长是2厘米的正方体拼在一起（如图所示）。大长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 72 32 7．由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为( )。 【答案】50 8．把一个表面积是55.5平方厘米的长方体，沿着长、宽、高垂直各切一刀后分成了8个小长方体（如图），表面积比原来增加了( )平方厘米。 【答案】55.5 9．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来长方体的高是( )厘米。 【答案】5 10．从一个长9分米、宽6分米、高4分米的长方体上切下一个最大的正方体，这个正方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 96 64 二、解答题 11．把2个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？ 【答案】 3×2＝6（厘米） （3×3＋3×6＋3×6）×2 ＝（9＋18＋18）×2 ＝45×2 ＝90（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是90平方厘米。 12．把一块长和宽都是1.5米的长方体木料平均锯成三段（如下图），表面积比原来增加了2.4平方米。原来这根木料的体积是多少立方米？ 【答案】 2.4÷4×1.5＝0.9（立方米） 答：原来这根木料的体积是0.9立方米。 13．把一个长是40厘米、宽是30厘米、高是20厘米的木块分割成长是4厘米、宽是3厘米、高是2厘米的小长方体。最多能分割成多少块？ 【答案】 40÷4＝10（个） 30÷3＝10（个） 20÷2＝10（个） 10×10×10＝1000（块） 答：最多能分割成1000块。 14．用4个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积可能是多少平方厘米？ 【答案】 拼法一： 长：2×4＝8（厘米） （8×2＋8×2＋2×2）×2 ＝（16＋16＋4）×2 ＝36×2 ＝72（平方厘米） 拼法二： 长或宽：2×2＝4（厘米） （4×4＋4×2＋4×2）×2 ＝（16＋8＋8）×2 ＝32×2 ＝64（平方厘米） 答：拼成的长方体的表面积可能是72平方厘米或64平方厘米。 15．一根2.5米长的方钢，把它沿横截面截成3段，表面积增加了60平方厘米，原来这根方钢的体积是多少立方厘米？ 【答案】 2.5米＝250厘米 60÷4×250 ＝15×250 ＝3750（立方厘米） 答：原来这根方钢的体积是3750立方厘米。 16．如图，一个长方体，高截去3厘米，表面积就减少了60平方厘米，剩下的部分正好成为一个正方体。原来长方体的体积是多少？ 【答案】 60÷4＝15（平方厘米） 15÷3＝5（厘米） 5×5×（5＋3） ＝25×8 ＝200（立方厘米） 答：原来长方体的体积是200立方厘米。 17．（如下图）一块长方体木块，从上部和下部分别截去高3厘米和2厘米的小长方体后，成为一个正方体。表面积减少120平方厘米，原来长方体体积是多少立方厘米？ 【答案】 原来长方体的长、宽： 120÷4÷（3＋2） ＝120÷4÷5 ＝6（厘米） 原来长方体的高： 3＋2＋6＝11（厘米） 原来长方体的体积： 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体体积是396立方厘米。 18．芳芳准备把两个长是40厘米、宽为20厘米、高是25厘米的长方体礼品盒（如图）叠在一起，再用彩纸包装好。 （1）包装后的大长方体礼物体积是多少立方分米？（厚度忽略不计） （2）怎样叠放最节省包装纸？此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比减少了多少平方分米？ 【答案】 （1）40×20×25×2 ＝800×25×2 ＝20000×2 ＝40000（立方厘米） 40000立方厘米＝40立方分米 答：包装后的长方体礼物体积是40立方分米。 （2）40×20＝800（平方厘米） 40×25＝1000（平方厘米） 20×25＝500（平方厘米） 1000＞800＞500；把面积是1000平方厘米的面叠放最节省包装纸。 40×25×2 ＝1000×2 ＝2000（平方厘米） 2000平方厘米＝20平方分米 答：把面积是1000平方厘米的面叠放最节省包装纸，此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比减少了20平方分米。 19．切割长12厘米，宽6厘米，高8厘米的长方体木块。 （1）将这个木块切掉一个长方体（如图），切掉的长方体体积是多少？ （2）两个完全相同的切割后剩余木块，可以拼成一个长方体（如下图），拼成的长方体表面积是多少平方厘米？ 【答案】 （1）12－8＝4（厘米） 8－4＝4（厘米） 4×6×4＝96（立方厘米） 答：切掉的长方体体积是96立方厘米。 （2）12＋8＝20（厘米） （20×6＋20×8＋6×8）×2 ＝（120＋160＋48）×2 ＝328×2 ＝656（平方厘米） 答：拼成的长方体表面积是656平方厘米。 20．用4个长是6厘米、宽是3厘米、高是2厘米的小长方体拼成一个大长方体。 （1）拼出至少4种大长方体，分别把它们的长、宽、高填在下表中，并计算大长方体的表面积。 长（厘米） 宽（厘米） 高（厘米） 表面积（平方厘米） （2）如果用6个这样的小长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少平方厘米，最小是多少平方厘米？ 【答案】 （1）①长是6×4＝24（厘米）、宽是3厘米、高是2厘米； （24×3＋3×2＋24×2）×2 ＝（72＋6＋48）×2 ＝126×2 ＝252（平方厘米） ②长是6×2＝12（厘米）、宽是3×2＝6厘米、高是2厘米； （12×6＋6×2＋12×2）×2 ＝（72＋12＋24）×2 ＝108×2 ＝216（平方厘米） ③长是6厘米、宽是3厘米、高是2×4＝8（厘米）； （6×3＋6×8＋3×8）×2 ＝（18＋48＋24）×2 ＝90×2 ＝180（平方厘米） ④长为6厘米，宽为3×2＝6（厘米），高为2×2＝4（厘米）； （6×6＋6×4＋6×4）×2 ＝（36＋24＋24）×2 ＝84×2 ＝168（平方厘米） 长（厘米） 宽（厘米） 高（厘米） 表面积（平方厘米） 24 3 2 252 12 6 2 216 6 3 8 180 6 6 4 168 （2），此时长是6×6＝36（厘米）、宽是3厘米、高是2厘米，此时的表面积最大，最大表面积为： （36×3＋3×2＋36×2）×2 ＝（108＋6＋72）×2 ＝186×2 ＝372（平方厘米） ，此时长是6厘米、宽是3×2＝6（厘米）、高是2×3＝6（厘米），此时的表面积最小，最小表面积为： 6×6×6＝216（平方厘米） 答：表面积最大是372平方厘米，最小是216平方厘米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元专项练习06： 六种综合性问题之长方体和正方体的切拼问题 一、填空题。 1．把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，它的体积( )；若将它切割成两个长方体，体积( )，表面积( )了。（选填“增加”“减少”或“不变”） 【答案】 不变 不变 增加 【分析】把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，形状发生变化，但是体积不变；若将正方体切割成两个长方体，体积没有发生变化，但是表面积增加了2个切面，每个切面和正方体的每个面相同。 【详解】把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，它的体积不变；若将它切割成两个长方体，体积不变，表面积增加了。 2．把一个棱长为6cm的正方体分成两个大小、形状完全相同的长方体，每个长方体的表面积是( )cm2，这两个长方体的表面积之和与原正方体的表面积相比，增加了( )cm2。 【答案】 144 72 【分析】把正方体分成两个大小、形状完全相同的长方体，每个长方体有2个面分别等于正方体的一个面，另外4个面分别等于正方体一个面的一半，这两个长方体的表面积之和比原来增加了2个正方形的面，因此每个长方体的表面积＝正方体的棱长×棱长×2＋棱长×棱长÷2×4，增加的表面积＝棱长×棱长×2，据此列式计算。 【详解】6×6×2＋6×6÷2×4 ＝72＋72 ＝144（cm2） 6×6×2＝72（cm2） 每个长方体的表面积是144cm2，增加了72cm2。 3．把一个棱长3分米的正方体，切成两个相等的长方体，表面积增加了( )平方分米。 【答案】18 【分析】根据题意，把一个棱长3分米的正方体，切成两个相等的长方体，表面积会增加两个截面的面积；由正方体的特征可知，每个截面是边长为3分米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 【详解】3×3×2＝18（平方分米） 表面积增加了18平方分米。 4．将一根长为3m的圆柱形木料锯成3段，表面积增加20dm2，这根木料的体积是( )dm3。 【答案】150 【分析】将一根长为3米的圆柱形木料锯成3段，需锯2次；每锯一次，增加2个截面，锯2次，增加4个截面；所以用增加的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出这根木料的体积。 【详解】3m＝30dm 2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 底面积：20÷4＝5（dm2） 体积：5×30＝150（dm3） 这根木料的体积是150dm3。 5．把3个棱长是5厘米的正方体木块粘合成一个长方体，表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少( )平方厘米。 【答案】100 【分析】这个长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了4个面的面积，即减少的面积＝棱长×棱长×4；代入数据计算即可。 【详解】5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 所以表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少100平方厘米。 6．把4个棱长是2厘米的正方体拼在一起（如图所示）。大长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 72 32 【分析】据图可知，大长方体的长是（2×4）厘米、宽和高都是2厘米，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据列式计算即可。 【详解】2×4＝8（厘米） （8×2＋8×2＋2×2）×2 ＝（16＋16＋4）×2 ＝36×2 ＝72（平方厘米） 8×2×2＝32（立方厘米） 把4个棱长是2厘米的正方体拼在一起。大长方体的表面积是72平方厘米，体积是32立方厘米。 7．由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为( )。 【答案】50 【分析】首先数出露出的面的数量，前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。那么露出的面一共是50个，再根据正方形的面积计算公式正方形的面积＝边长边长，求出边长为1的正方形的面积，再乘50即可解答。 【详解】前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。 （个） （） 由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积是50。 8．把一个表面积是55.5平方厘米的长方体，沿着长、宽、高垂直各切一刀后分成了8个小长方体（如图），表面积比原来增加了( )平方厘米。 【答案】55.5 【分析】沿着长、宽、高垂直各切一刀，表面一共增加了6个面，正好等于原来的表面积，据此分析。 【详解】沿着长、宽、高垂直各切一刀，增加上下、左右、前后6个面的面积，也就是原长方体的表面积。所以表面积比原来增加了55.5平方厘米。 9．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来长方体的高是( )厘米。 【答案】5 【分析】根据题意，作图如下： 从“一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体”可知：这个长方体的高＋3厘米＝长＝宽＝正方体的棱长。高增加3厘米，就从长方体变成正方体，上下面不变，前后左右4个面共增加了96平方厘米，用96÷4＝24平方厘米求出一个面增加的面积。再用一个面增加的面积÷3即可得正方体的棱长，用棱长减去3就得长方体的高。 【详解】96÷4÷3－3 ＝8－3 ＝5（厘米） 原来长方体的高是5厘米。 10．从一个长9分米、宽6分米、高4分米的长方体上切下一个最大的正方体，这个正方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 96 64 【分析】长方体切下一个最大的正方体，正方体的棱长等于长方体的高；根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方分米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 从一个长9分米、宽6分米、高4分米的长方体上切下一个最大的正方体，这个正方体的表面积是96平方分米，体积是64立方分米。 二、解答题 11．把2个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？ 【答案】90平方厘米 【分析】把2个棱长为3厘米的小正方体拼成一个长方体后，长方体的长和宽等于正方体的棱长，高是正方体棱长的2倍。已知正方体的棱长，长方体的长是3厘米，宽是3厘米，高是6厘米，根据，代入数据。 【详解】3×2＝6（厘米） （3×3＋3×6＋3×6）×2 ＝（9＋18＋18）×2 ＝45×2 ＝90（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是90平方厘米。 12．把一块长和宽都是1.5米的长方体木料平均锯成三段（如下图），表面积比原来增加了2.4平方米。原来这根木料的体积是多少立方米？ 【答案】0.9立方米 【分析】长方体木料平均锯成三段，表面积增加了4个截面面积，增加的表面积÷增加的截面＝截面面积，根据长方体体积＝截面面积×长，列式解答即可。 【详解】2.4÷4×1.5＝0.9（立方米） 答：原来这根木料的体积是0.9立方米。 13．把一个长是40厘米、宽是30厘米、高是20厘米的木块分割成长是4厘米、宽是3厘米、高是2厘米的小长方体。最多能分割成多少块？ 【答案】1000块 【分析】求长方体木块最多能分割成多少块小长方体，就是求大长方体的长、宽、高里面分别有几个小长方体的长、宽、高，用除法计算；再把长、宽、高最多分割的块数相乘，即是小长方体的块数。 【详解】40÷4＝10（个） 30÷3＝10（个） 20÷2＝10（个） 10×10×10＝1000（块） 答：最多能分割成1000块。 14．用4个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积可能是多少平方厘米？ 【答案】72平方厘米或64平方厘米 【分析】拼法一：4个小正方体拼成一排，此时长方体的长、宽、高分别是（2×4）厘米、2厘米、2厘米； 拼法二：4个小正方体拼成两排两列，此时长方体的长、宽、高分别是（2×2）厘米、（2×2）厘米、2厘米。 根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，将数据分别代入长方体表面积公式中，求出拼成的长方体的表面积即可。 【详解】拼法一： 长：2×4＝8（厘米） （8×2＋8×2＋2×2）×2 ＝（16＋16＋4）×2 ＝36×2 ＝72（平方厘米） 拼法二： 长或宽：2×2＝4（厘米） （4×4＋4×2＋4×2）×2 ＝（16＋8＋8）×2 ＝32×2 ＝64（平方厘米） 答：拼成的长方体的表面积可能是72平方厘米或64平方厘米。 15．一根2.5米长的方钢，把它沿横截面截成3段，表面积增加了60平方厘米，原来这根方钢的体积是多少立方厘米？ 【答案】3750立方厘米 【分析】根据题意可知，沿横截面截成3段，增加了4个截面的面积，用增加的面积÷4，求出一个截面的面积，也就是方钢的底面积，再根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。注意单位名数的统一。 【详解】2.5米＝250厘米 60÷4×250 ＝15×250 ＝3750（立方厘米） 答：原来这根方钢的体积是3750立方厘米。 16．如图，一个长方体，高截去3厘米，表面积就减少了60平方厘米，剩下的部分正好成为一个正方体。原来长方体的体积是多少？ 【答案】200立方厘米 【分析】根据题意，高截去3厘米，表面积就减少了60平方厘米，表面积减少的只是4个侧面的面积，又知剩下部分成为一个正方体，说明原来长方体的长和宽相等，由此可知，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出减少的一个面的面积，面积除以宽（3厘米），即可求出原来长方体的长和宽，然后根据长方体的体积V＝abh，代入数据解答。 【详解】60÷4＝15（平方厘米） 15÷3＝5（厘米） 5×5×（5＋3） ＝25×8 ＝200（立方厘米） 答：原来长方体的体积是200立方厘米。 17．（如下图）一块长方体木块，从上部和下部分别截去高3厘米和2厘米的小长方体后，成为一个正方体。表面积减少120平方厘米，原来长方体体积是多少立方厘米？ 【答案】396立方厘米 【分析】根据题意，把从长方体木块的上部和下部分别截去高3厘米和2厘米的小长方体，看作把长方体的高截去（3＋2）厘米，表面积减少120平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等； 减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是（3＋2）厘米，长是原来长方体的长或宽；用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，然后除以（3＋2），即可求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上（3＋2）厘米，得到原来长方体的高； 最后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。 【详解】原来长方体的长、宽： 120÷4÷（3＋2） ＝120÷4÷5 ＝6（厘米） 原来长方体的高： 3＋2＋6＝11（厘米） 原来长方体的体积： 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体体积是396立方厘米。 18．芳芳准备把两个长是40厘米、宽为20厘米、高是25厘米的长方体礼品盒（如图）叠在一起，再用彩纸包装好。 （1）包装后的大长方体礼物体积是多少立方分米？（厚度忽略不计） （2）怎样叠放最节省包装纸？此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比减少了多少平方分米？ 【答案】（1）40立方分米 （2）把面积是1000平方厘米的面叠放最节省包装纸；20平方分米 【分析】（1）体积表示物体所占空间的大小，所以包装好的大长方体礼物体积等于两个长方体的体积和，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出一个长方体的体积，再乘2，即可解答。 （2）重合面的面积最大，叠放最节省包装纸；根据图可知，长是40厘米，宽是25厘米的面的面积是最大的，所以减少了两个长是40厘米，宽是25厘米面的面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】（1）40×20×25×2 ＝800×25×2 ＝20000×2 ＝40000（立方厘米） 40000立方厘米＝40立方分米 答：包装后的长方体礼物体积是40立方分米。 （2）40×20＝800（平方厘米） 40×25＝1000（平方厘米） 20×25＝500（平方厘米） 1000＞800＞500；把面积是1000平方厘米的面叠放最节省包装纸。 40×25×2 ＝1000×2 ＝2000（平方厘米） 2000平方厘米＝20平方分米 答：把面积是1000平方厘米的面叠放最节省包装纸，此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比减少了20平方分米。 19．切割长12厘米，宽6厘米，高8厘米的长方体木块。 （1）将这个木块切掉一个长方体（如图），切掉的长方体体积是多少？ （2）两个完全相同的切割后剩余木块，可以拼成一个长方体（如下图），拼成的长方体表面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）96立方厘米； （2）656平方厘米 【分析】（1）由图可知，切掉的长方体长为（12－8）厘米，宽为6厘米，高为（8－4）厘米，根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，代入数据就可以计算切掉部分的体积； （2）由图可知，拼成的长方体的长为（12＋8）厘米，宽为6厘米，高为8厘米，根据公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，就可以求出拼成的长方体表面积是多少。 【详解】（1）12－8＝4（厘米） 8－4＝4（厘米） 4×6×4＝96（立方厘米） 答：切掉的长方体体积是96立方厘米。 （2）12＋8＝20（厘米） （20×6＋20×8＋6×8）×2 ＝（120＋160＋48）×2 ＝328×2 ＝656（平方厘米） 答：拼成的长方体表面积是656平方厘米。 20．用4个长是6厘米、宽是3厘米、高是2厘米的小长方体拼成一个大长方体。 （1）拼出至少4种大长方体，分别把它们的长、宽、高填在下表中，并计算大长方体的表面积。 长（厘米） 宽（厘米） 高（厘米） 表面积（平方厘米） （2）如果用6个这样的小长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少平方厘米，最小是多少平方厘米？ 【答案】（1）见详解 （2）最大372平方厘米；最小216平方厘米 【分析】 （1）①，此时长是6×4＝24（厘米）、宽是3厘米、高是2厘米； ②，此时长是6×2＝12（厘米）、宽是3×2＝6厘米、高是2厘米； ③，此时长是6厘米、宽是3厘米、高是2×4＝8（厘米）； ④，此时长为6厘米，宽为3×2＝6（厘米），高为2×2＝4（厘米）； 根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，列式计算求出这四种情况的表面积。 （2）根据（1）表中的数值，可知，长宽高相差越大，拼成的长方体表面积也就越大；长宽高相差越小，即组成的图形越接近正方体，拼成的长方体表面积也就越小。 此题要拼成一个表面积最大的大长方体，就要把面积最小的面拼在一起，这时就减少10个最小面的面积；要拼成一个表面积最小的大长方体，就要使大长方体的长宽高接近，因为一共有6个小长方体，可以再（1）中④的基础上再拼两个小长方体，正好拼成一个正方体，此时的长宽高相等，即表面积最小；根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2、正方体的表面积＝边长×边长×6，列式计算求出最大、最小的表面积。 【详解】（1）①长是6×4＝24（厘米）、宽是3厘米、高是2厘米； （24×3＋3×2＋24×2）×2 ＝（72＋6＋48）×2 ＝126×2 ＝252（平方厘米） ②长是6×2＝12（厘米）、宽是3×2＝6厘米、高是2厘米； （12×6＋6×2＋12×2）×2 ＝（72＋12＋24）×2 ＝108×2 ＝216（平方厘米） ③长是6厘米、宽是3厘米、高是2×4＝8（厘米）； （6×3＋6×8＋3×8）×2 ＝（18＋48＋24）×2 ＝90×2 ＝180（平方厘米） ④长为6厘米，宽为3×2＝6（厘米），高为2×2＝4（厘米）； （6×6＋6×4＋6×4）×2 ＝（36＋24＋24）×2 ＝84×2 ＝168（平方厘米） 长（厘米） 宽（厘米） 高（厘米） 表面积（平方厘米） 24 3 2 252 12 6 2 216 6 3 8 180 6 6 4 168 （2），此时长是6×6＝36（厘米）、宽是3厘米、高是2厘米，此时的表面积最大，最大表面积为： （36×3＋3×2＋36×2）×2 ＝（108＋6＋72）×2 ＝186×2 ＝372（平方厘米） ，此时长是6厘米、宽是3×2＝6（厘米）、高是2×3＝6（厘米），此时的表面积最小，最小表面积为： 6×6×6＝216（平方厘米） 答：表面积最大是372平方厘米，最小是216平方厘米。 【点睛】本题的关键是通过拼出大长方体的长宽高各不相同的情况，结合其表面积的大小变化规律，进而找出拼成长方体的表面积最大和最小时的规律。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 9 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元专项练习 06： 六种综合性问题之长方体和正方体的切拼问题 一、填空题。 1．把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，它的体积( )；若将它切 割成两个长方体，体积( )，表面积( )了。（选填“增加”“减少” 或“不变”） 【答案】 不变 不变 增加 2．把一个棱长为 6cm的正方体分成两个大小、形状完全相同的长方体，每个长 方体的表面积是( )cm2，这两个长方体的表面积之和与原正方体的表面 积相比，增加了( )cm2。 【答案】 144 72 3．把一个棱长 3分米的正方体，切成两个相等的长方体，表面积增加了( ) 平方分米。 【答案】18 4．将一根长为 3m的圆柱形木料锯成 3段，表面积增加 20dm2，这根木料的体 积是( )dm3。 【答案】150 5．把 3个棱长是 5厘米的正方体木块粘合成一个长方体，表面积比原来的 3个 小正方体表面积的和减少( )平方厘米。 【答案】100 6．把 4个棱长是 2厘米的正方体拼在一起（如图所示）。大长方体的表面积是 ( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 第 2 页 共 9 页 【答案】 72 32 7．由 15个棱长为1cm 的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为 ( ) 2cm 。 【答案】50 8．把一个表面积是 55.5平方厘米的长方体，沿着长、宽、高垂直各切一刀后分 成了 8个小长方体（如图），表面积比原来增加了( )平方厘米。 【答案】55.5 9．一个长方体，如果高增加 3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增 加了 96平方厘米。原来长方体的高是( )厘米。 【答案】5 10．从一个长 9分米、宽 6分米、高 4分米的长方体上切下一个最大的正方体， 这个正方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 96 64 二、解答题 11．把 2个棱长是 3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多 少？ 【答案】 3×2＝6（厘米） （3×3＋3×6＋3×6）×2 ＝（9＋18＋18）×2 ＝45×2 ＝90（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 90平方厘米。 12．把一块长和宽都是 1.5米的长方体木料平均锯成三段（如下图），表面积比 第 3 页 共 9 页 原来增加了 2.4平方米。原来这根木料的体积是多少立方米？ 【答案】 2.4÷4×1.5＝0.9（立方米） 答：原来这根木料的体积是 0.9立方米。 13．把一个长是 40厘米、宽是 30厘米、高是 20厘米的木块分割成长是 4厘米、 宽是 3厘米、高是 2厘米的小长方体。最多能分割成多少块？ 【答案】 40÷4＝10（个） 30÷3＝10（个） 20÷2＝10（个） 10×10×10＝1000（块） 答：最多能分割成 1000块。 14．用 4个棱长是 2厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积可 能是多少平方厘米？ 【答案】 拼法一： 长：2×4＝8（厘米） （8×2＋8×2＋2×2）×2 ＝（16＋16＋4）×2 ＝36×2 ＝72（平方厘米） 拼法二： 长或宽：2×2＝4（厘米） （4×4＋4×2＋4×2）×2 第 4 页 共 9 页 ＝（16＋8＋8）×2 ＝32×2 ＝64（平方厘米） 答：拼成的长方体的表面积可能是 72平方厘米或 64平方厘米。 15．一根 2.5米长的方钢，把它沿横截面截成 3段，表面积增加了 60平方厘米， 原来这根方钢的体积是多少立方厘米？ 【答案】 2.5米＝250厘米 60÷4×250 ＝15×250 ＝3750（立方厘米） 答：原来这根方钢的体积是 3750立方厘米。 16．如图，一个长方体，高截去 3厘米，表面积就减少了 60平方厘米，剩下的 部分正好成为一个正方体。原来长方体的体积是多少？ 【答案】 60÷4＝15（平方厘米） 15÷3＝5（厘米） 5×5×（5＋3） ＝25×8 ＝200（立方厘米） 答：原来长方体的体积是 200立方厘米。 17．（如下图）一块长方体木块，从上部和下部分别截去高 3厘米和 2厘米的小 长方体后，成为一个正方体。表面积减少 120平方厘米，原来长方体体积是多少 立方厘米？ 第 5 页 共 9 页 【答案】 原来长方体的长、宽： 120÷4÷（3＋2） ＝120÷4÷5 ＝6（厘米） 原来长方体的高： 3＋2＋6＝11（厘米） 原来长方体的体积： 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体体积是 396立方厘米。 18．芳芳准备把两个长是 40厘米、宽为 20厘米、高是 25厘米的长方体礼品盒 （如图）叠在一起，再用彩纸包装好。 （1）包装后的大长方体礼物体积是多少立方分米？（厚度忽略不计） （2）怎样叠放最节省包装纸？此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比 减少了多少平方分米？ 【答案】 （1）40×20×25×2 ＝800×25×2 ＝20000×2 第 6 页 共 9 页 ＝40000（立方厘米） 40000立方厘米＝40立方分米 答：包装后的长方体礼物体积是 40立方分米。 （2）40×20＝800（平方厘米） 40×25＝1000（平方厘米） 20×25＝500（平方厘米） 1000＞800＞500；把面积是 1000平方厘米的面叠放最节省包装纸。 40×25×2 ＝1000×2 ＝2000（平方厘米） 2000平方厘米＝20平方分米 答：把面积是 1000平方厘米的面叠放最节省包装纸，此时的表面积与原来两个 长方体表面积之和相比减少了 20平方分米。 19．切割长 12厘米，宽 6厘米，高 8厘米的长方体木块。 （1）将这个木块切掉一个长方体（如图），切掉的长方体体积是多少？ （2）两个完全相同的切割后剩余木块，可以拼成一个长方体（如下图），拼成 的长方体表面积是多少平方厘米？ 【答案】 （1）12－8＝4（厘米） 8－4＝4（厘米） 4×6×4＝96（立方厘米） 第 7 页 共 9 页 答：切掉的长方体体积是 96立方厘米。 （2）12＋8＝20（厘米） （20×6＋20×8＋6×8）×2 ＝（120＋160＋48）×2 ＝328×2 ＝656（平方厘米） 答：拼成的长方体表面积是 656平方厘米。 20．用 4个长是 6厘米、宽是 3厘米、高是 2厘米的小长方体拼成一个大长方体。 （1）拼出至少 4种大长方体，分别把它们的长、宽、高填在下表中，并计算大 长方体的表面积。 长（厘米） 宽（厘米） 高（厘米） 表面积（平方厘 米） （2）如果用 6个这样的小长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少平方厘 米，最小是多少平方厘米？ 【答案】 （1）①长是 6×4＝24（厘米）、宽是 3厘米、高是 2厘米； （24×3＋3×2＋24×2）×2 ＝（72＋6＋48）×2 ＝126×2 ＝252（平方厘米） ②长是 6×2＝12（厘米）、宽是 3×2＝6厘米、高是 2厘米； 第 8 页 共 9 页 （12×6＋6×2＋12×2）×2 ＝（72＋12＋24）×2 ＝108×2 ＝216（平方厘米） ③长是 6厘米、宽是 3厘米、高是 2×4＝8（厘米）； （6×3＋6×8＋3×8）×2 ＝（18＋48＋24）×2 ＝90×2 ＝180（平方厘米） ④长为 6厘米，宽为 3×2＝6（厘米），高为 2×2＝4（厘米）； （6×6＋6×4＋6×4）×2 ＝（36＋24＋24）×2 ＝84×2 ＝168（平方厘米） 长（厘米） 宽（厘米） 高（厘米） 表面积（平方厘 米） 24 3 2 252 12 6 2 216 6 3 8 180 6 6 4 168 （2） ，此时长是 6×6＝36（厘米）、 宽是 3厘米、高是 2厘米，此时的表面积最大，最大表面积为： （36×3＋3×2＋36×2）×2 ＝（108＋6＋72）×2 ＝186×2 ＝372（平方厘米） 第 9 页 共 9 页 ，此时长是 6厘米、宽是 3×2＝6（厘米）、高是 2×3＝6（厘米）， 此时的表面积最小，最小表面积为： 6×6×6＝216（平方厘米） 答：表面积最大是 372平方厘米，最小是 216平方厘米。