【专项练】平行四边形的动点问题-鲁教版五四制八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 平行四边形的动点问题 1．如图，四边形 ABCD中，AD//BC， 8cm, 12cmAD BC  ，M是 BC上一点，且 9cmBM  ， 点 E从点 A出发以1cm/s的速度向点 D运动，点 F从点 C出发，以3cm/s的速度向点 B运动， 当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为 (s)t ，则当以 A、M、E、F为顶点的 四边形是平行四边形时，t的值是（ ） A． 3 4 B．3 C．3或 3 2 D． 3 2 或 3 4 2．如图，在平行四边形 ABCD中， 6cmAB  ， 10cmAD  ，点 P在 AD边上以每秒1cm的 速度从点 A向点 D运动，点 Q在BC边上以每秒 2.5cm的速度从点 C出发，在CB间往返运 动，两个点同时出发，当点 P到达点 D时停止运动，同时点 Q也停止运动．设运动时间为 st ， 开始运动以后，当 t为何值时，以 P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ） A． 20 3 B． 40 7 C． 20 3 或 40 7 D． 40 3 或 40 7 3．如图，在四边形 ABCD中，AB CD∥ ， 90A  ， 24cmDC  ， 8cmAD  ， 26cmAB  ．点 P从点D出发，以1cm / s的速度沿DC．向点C运动；点Q从点 B同时出发，以3cm / s的速 度沿BA边向点A运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动 的时间为 st ．当 t为何值时，四边形 PQBC为平行四边形？（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．4s B．5s C．6s D．7s 4．如图，在四边形 ABCD中， //AD BC，AD＝5cm，BC＝10cm，点 P从点 A出发，以 1cm/s 的速度向 D运动，同时，点 Q从点 C以相同的速度向 B运动．当点 P运动到点 D时，点 Q 随之停止运动．若设运动的时间为 t秒，以点 A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边 形中同时存在两个平行四边形，则 t的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，点M 是 ABCD的边 AD上的任意一点，若 CMB的面积为S， CDM 的面积为 1S ， ABM 的面积为 2S ，则下列结论正确的是（ ） A． 1 2S S S  B． 1 2S S S  C．S与 1 2S S 的大小关系无法确定D． 1 2S S S  6．将一副三角尺如图拼接：含30角的三角尺（ ABCV ）的长直角边与含45角的三角尺 （ ACD）的斜边恰好重合，已知 12 3AB  ，E，F分别是边 AC BC， 上的动点，当四边 形DEBF 为平行四边形时，该四边形的面积是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A． 27 3 B．54 3 C． 81 2 D．81 7．如图，等边三角形 ABC的边长为8cm．动点 M从点 B出发，沿B A C  的方向以3cm/s 的速度运动，动点 N从点 C出发，沿C A B  方向以5cm/s的速度运动，若动点 M，N同 时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点 A，M，N以及ΔABC 的边上一点 D 构成的四边形 AMDN为平行四边形时，t的值为（ ） A．2或 3 B．2或 4 C．1或 3 D．1或 2 8．如图，在等边三角形 ABC中，AB＝6 cm，射线 AG∥BC，点 E从点 A出发沿射线 AG以 1 cm/s的速度运动，点 F从点 B出发沿射线 BC以 2 cm/s的速度运动，如果点 E、F同时出发， 当四边形 AEFC是平行四边形时，运动时间 t的值为( ) A．2 s B．6 s C．8 s D．2 s或 6 s 9．如图，在 ABCD中， 8cmAB  ， 12cmAD  ，点 P在 AD边上以1cm / s的速度从点A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 向点D运动，点Q在 BC边上以4cm / s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时 出发，当点 P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动 ( )t s （其中 0)t  时，以 , , ,P D Q B四点组成的四边形是平行四边形，则 t的所有可能取值为（ ） A．4.8 B．8 或 9.6 C．4.8或 8 D．4.8或 8或 9.6 10．如图，在 ABCD中， 60B  ， 6cmAB ， 12cmBC  ．A点 P从点 A出发、以1cm/ s 的速度沿 A D 运动，同时点 Q从点 C出发，以3cm/ s的速度沿C B C  往复运 动，当点 P到达端点 D时，点 Q随之停止运动．在此运动过程中，线段 PQ CD 出现的次数 是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．已知▱ ABCD，点 E是边 BC上的动点，以 AE为边构造▱ AEFG，使点 D在边 FG上，当 点 E由 B往 C运动的过程中，▱ AEFG面积变化情况是（ ） A．一直增大 B．保持不变 C．先增大后减小 D．先减小后增大 12．如图，在四边形 ABCD中， //AD BC， 6AD  ， 16BC  ，E是 BC的中点．点 P以每 秒 1个单位长度的速度从点A出发，沿 AD向点D运动；点Q同时以每秒 3个单位长度的速 度从点C出发，沿CB向点 B运动．点 P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以点 , , ,P Q E D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 为顶点的四边形是平行四边形，则点 P运动的时间为（ ） A．1 B． 7 2 C．2或 7 2 D．1或 7 2 13．如图，在平行四边形 ABCD中，AC与 BD交于点 M，点 F在 AD上，AF＝6cm，BF＝12cm， ∠FBM＝∠CBM，点 E是 BC的中点，若点 P以 1cm/秒的速度从点 A出发，沿 AD向点 F运 动：点 Q同时以 2cm/秒的速度从点 C出发，沿 CB向点 B运动，点 P运动到 F点时停止运动， 点 Q也时停止运动，当点 P运动（ ）秒时，以点 P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四 边形． A．2 B．3 C．3或 5 D．4或 5 14．如图，在四边形 ABCD中， AD BC∥ ， 12cmAD  ， 15cmBC  ，点 P从点A出发， 向D以1cm / s的速度运动，到D点即停止．点Q从点C出发，向 B以2cm / s的速度运动， 到 B点即停止，点 P，Q同时出发，设运动时间为  st (1)用含 t的代数式表示： AP  _________；BQ  ___________； (2)当 t为何值时，四边形 APQB是平行四边形？ (3)是否存在某一时刻 t，使四边形 PDCQ是平行四边形？若存在，请求出 t的值；请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 15．如图 1，在平面直角坐标系中，点 (0,12)A ， (21,12)B ， (16,0)C ，一动点 P从点 A出发， 在线段 AB上以每秒 2个单位长度的速度向点 B运动，动点 Q从点 O出发在线段OC上以每 秒 1个单位长度的速度向点 C运动，点 P、Q分别从点 A、O同时出发，当点 P运动到点 B时， 点 Q随之停止运动．设运动时间为 t（秒） (1)①当 t  ___秒时，四边形 PQCB是平行四边形； ②当 t为何值时， PQC△ 是以 PQ为腰的等腰三角形？ (2)如图 2，点 M为三角形OAC内一点，连接 AM MO， ，延长MO到点 N，使ON OM ， 连接CN 交 AM 的延长线于点 F，连接OF ，若 2 2 2AC CN AM  ，请探究OM 与OF 的数 量关系，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 平行四边形的动点问题 1．D 【难度】0.85 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】当 3t≤3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得 3-3t=t；当 3t＞3时， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得 3t-3=t；解方程即可． 【详解】当 3t≤3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 得 3-3t=t， 解得 t= 3 4 ； 当 3t＞3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 得 3t-3=t， 解得 t= 3 2 ， 故选 D． 【点睛】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理，灵活选 择判定方法，合理分类是解题的关键． 2．B 【难度】0.85 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形 ABCD为 平行四边形可得出 PD BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当  PD BQ 时以    P D Q B、 、、 四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由  PD BQ 即可列出关于/ 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵四边形 ABCD为平行四边形， ∴ PD BQ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 若要以 P D Q B、 、 、 四点组成的四边形为平行四边形， 则 PD BQ ， 设运动时间为 t， 当0 4t  时， ， ∴10 10 2.5t t   ， ∴ 0t  (舍去)； 当 4 8t  时， ， ∴10 2.5 10t t   ， 解得： 40 7 t  ； 当8 10t  时， ， ∴10 30 2.5t t   ， 解得： 40 3 t  (舍去)； 综上所述， t的值为 40 7 时, 以 ,  ,  , P D Q B为顶点的四边形是平行四边形． 故选:B． 3．C 【难度】0.85 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】当 PC BQ 时，四边形 PQBC是平行四边形，列方程求解即可． 【详解】由题意可得DP t ， 3BQ t ， 24PC DC DP t    ， 当 PC BQ 时， 由 AB CD∥ 可得四边形 PQBC是平行四边形 ∴3 24t t  ，解得 6t  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 故选：C． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，表示出对应边的长度是 解本题的关键． 4．D 【难度】0.85 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】根据题意计算 AP、PD、BQ、CQ，再根据平行四边形的判定方法进行逐一判定即可． 【详解】解：A．t＝2时，AP＝2cm，PD＝3cm，CQ＝2cm，BQ＝8cm，因 AD∥BC，此时构 成一个平行四边形 APCQ，不符合题意； B．t＝3时，AP＝3cm，PD＝2cm，CQ＝3cm，BQ＝7cm，因 AD∥BC，此时构成一个平行四 边形 APCQ，不符合题意； C．t＝4时，AP＝4cm，PD＝1cm，CQ＝4cm，BQ＝6cm，因 AD∥BC，此时只构成一个平行 四边形 APCQ，不符合题意． D．t＝5时，AP＝5cm，CQ＝5cm，BQ＝5cm，则 CQ＝BQ＝AD，因 AD∥BC，此时有 2个平 行四边形：平行四边形 ADCQ和平行四边形 ADQB，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法． 5．D 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，几何图形面积的计算方法是 解题的关键． 根据平行四边形的性质可得 ABM BCM CDM， ， 是同高，根据几何图形面积的计算方法即 可求解． 【详解】解：根据题意，过点M 作MN BC 于点N ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AD BC， AD BC ， ∴ ABM BCM CDM， ， 的高都是MN， ∴ 2 1 · 2ABM S S AM MN  ， 1 · 2BCM S S BC MN  ， 1 · 2CDM S DM MN ， ∴  1 2 1 1 1 1· · · 2 2 2 2 S S AM MN DM MN MN AM DM AD MN       ， ∵ AD BC ， ∴ 1 2 1 1· · 2 2 S S AD MN BC MN S    ， ∴ 1 2S S S  ， 故选：D ． 6．D 【难度】0.85 【知识点】含 30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据DEBF 为平行四边形可得 90DEC ACB   ，利用解直角三角形得到 9DE CE  ，根据平行四边形面积计算公式即可得到结果．本题考查了平行四边形的性质， 熟练掌握平行四边形性质是解答本题的关键． 【详解】解： DEBF 为平行四边形， BC DE ∥ ， 90DEC ACB   ， AD CD ， AE CE DE   ， 30BAC   ， 12 3AB  ， 6 3BC  ， 18AC  ， 9DE CE   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 四边形DEBF 的面积： 9 9 81DE CE    ． 故选：D． 7．C 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的性质、利用平行四边形的性质求解、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三 角形的性质求得相关线段的长度，然后列出方程求解是解题的关键．分三种情况讨论，由平行 四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解． 【详解】解：①当0 8 5 t  ，点 M、N、D的位置如图所示： 四边形 ANDM 是平行四边形， DM AN  ，DM AN∥ ，DN AB∥ ， 60MDB C    ， 60NDC B    ， NDC C  ， ND NC∴ ， 8DM DN AN NC AC      ，即：3 5 8t t  ， 解得： 1t  ， ②当 8 8 5 3 t  时，点 M、N、D在同一直线上，不能构成四边形， ③当 8 16 3 5 t  时，点 M、N、D的位置如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 四边形 ANDM 是平行四边形， DN AM  ， AM DN∥ ， 60NDB ACB    ， ABC 为等边三角形， 60B  ， 60NDB B   ， ND NB  ， 8NB MC AM CM     ，即：3 8 5 8 8t t    ， 解得： 3t  ， 综上所述，t的值为 1或 3， 故选：C． 8．B 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】由题意可得当点 F在 C的右侧时去分析，由当 AE＝CF时，以 A、C、E、F为顶点 四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：当四边形 AEFC是平行四边形时，点 F在 C的右侧时， 根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则 CF＝BF−BC＝2t−6（cm）， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∵AG∥BC， ∴当 AE＝CF时，四边形 AEFC是平行四边形， 即 t＝2t−6， 解得：t＝6； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，弄清题意是解本题的关键，动点问题是中考的热点， 应加强动点问题的训练． 9．D 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，动点问题．根据题意，分四种情况讨论：（1）点Q运 动路线是C B ，（2）点Q运动路线是C B C  ，（3）点Q运动路线是C B C B   ，（4） 点Q运动路线是C B C B C    ，分别求解即可，具体见详解． 【详解】解：四边形 ABCD是平行四边形 12, ∥BC AD AD BC   ，则 AP t ， 12DP t  ， 当DP BQ 时，以 , , ,P D Q B四点组成的四边形是平行四边形 （1）点Q运动路线是C B ，则 4CQ t ， 12 4BQ t  ， 则12 4 12t t   ，解得 0t  ，不合题意； （2）点Q运动路线是C B C  ，则 4 12BQ t  ， 则4 12 12t t   ，解得 4.8t  ； （3）点Q运动路线是C B C B   ，则  12 4 12 2BQ t    ， 则12 (4 12 2) 12t t     ，解得 8t  ； （4）点Q运动路线是C B C B C    ，则 4 12 3BQ t   ， 则4 12 3 12t t    ，解得 9.6t  综上，则 t的所有可能取值为 4.8或 8或 9.6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 故选：D． 10．B 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和 SAS综合（SAS）、利用平行四边 形的判定与性质求解、等腰梯形的性质定理 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性 质，分四种情况：当0 4t  时，当4 8t  时，当8 12t  时，四边形CDPQ为平行四边 形；当0 4t  时，四边形CDPQ为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在 ABCD中， 6cmAB ， 12cmBC  ， ∴ 6cmCD AB  12cmAD BC  ， AD BC∥ ， ∵点 P从点 A出发、以1cm/ s的速度沿 A D 运动， ∴点 P从点 A出发到达 D点的时间为：  12 1 12 s  ， ∵点 Q从点 C出发，以3cm/ s的速度沿C B C  往复运动， ∴点 Q从点 C出发到 B点的时间为：12 3 4  ， ∵ AD BC∥ ， ∴DP CQ∥ ， 当DP CQ 时，四边形CDPQ为平行四边形， ∴ PQ CD ， 当 PQ AB 时，四边形CDPQ为等腰梯形， ∴PQ AB CD  ， 设P Q、 同时运动的时间为  st ， 当0 4t  时，12 3t t  ， ∴ 3t  ， 此时DP CQ ，四边形CDPQ为平行四边形， PQ CD ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 如图：过点 A P、 分别作 BC的垂线，分别交 BC于点M N、 ， ∴四边形 AMNP是矩形， ∴MN AP t  ， AM PN ， ∵四边形 ABQP是等腰梯形， ∴ PQ AB ， PQN B  ， ∵ 90BAM B   ， 90QPN PQN   ， ∴ BAM QPN  ， ∵ AM PN BAM QPN AB PQ       ， ∴  SASABM PQN≌ ， ∴ BM QN ， 在Rt ABM 中， 60B  ， 6cmAB ， ∴ 90 30BAM B     ， ∴ 1 3cm 2 BM AB  ， ∴ 3cmBM QN  ， ∴ 12 3 3 3t t    ， ∴ 3 2 t  ， 此时 ABQP是等腰梯形，PQ AB CD  ， 当4 8t  时，  12 12 3 4t t    ， ∴ 6t  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 此时DP CQ ，四边形CDPQ为平行四边形， PQ CD ， 当8 12t  时，  12 3 8t t   ， ∴ 9t  ， 此时DP CQ ，四边形CDPQ为平行四边形， PQ CD ， 综上，当 3 2 t  或 3t  或 6t  或 9t  时， PQ CD ，共 4次， 故选：B． 11．B 【难度】0.65 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】延长 BE，与 GF的延长线交于点 P，先证明四边形 ADPE是平行四边形，再证明 △AGD≌△EFP，得出平行四边形 AGFE的面积等于平行四边形 ADPE的面积，又 AD∥BP， 根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形 ABCD的面积等于平行四边形 ADPE的面 积，进而得出平行四边形 ABCD的面积等于平行四边形 AEFG面积．所以根据图示进行判断 即可． 【详解】解：设△ABE，△ECH，△HFD，△DGA的面积分别为 S1、S2、S3、S4， 延长 BE，与 GF的延长线交于点 P． ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD∥BP，∠ADG＝∠P． ∵四边形 AEFG是平行四边形， ∴AG∥EF，AE∥DP，AG＝EF， ∴∠G＝∠EFP． ∵AD∥BP，AE∥DP， ∴四边形 ADPE是平行四边形． 在△AGD与△EFP中， AG EF      ∠G=∠EFG ∠ADG=∠P ∴△AGD≌△EFP（AAS）， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∴S4＝S△EFP， ∴S4+S 四边形AEFD＝S△EFP+S 四边形AEFD， 即 S▱ AEFG＝S▱ ADPE， 又∵▱ ADPE与▱ ADCB的一条边 AD重合，且 AD边上的高相等， ∴S▱ ABCD＝S▱ ADPE， ∴平行四边形 ABCD的面积＝平行四边形 AEFG的面积． 故▱ AEFG面积不变， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形面积变化情况，解题的关键是根据两平行线之间的距离处处相 等得出平行四边形 ABCD的面积等于平行四边形 ADPE的面积，进而得出平行四边形 ABCD 的面积等于平行四边形 AEFG面积． 12．D 【难度】0.65 【知识点】添一个条件成为平行四边形、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】要使得以 P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，已知 //AD BC，即要使 PD=EQ 即可，设点 P的运动时间为 t (0≤t≤6) 秒，分别表示出 PD，EQ的长度，根据 PD=EQ列方程 求解即可． 【详解】设点 P的运动时间为 t (0≤t≤6) 秒，则 AP=t，CQ=3t， 由 E是 BC的中点可得：BE=EC=8， 要使得以 P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，已知 //AD BC，即要使 PD=EQ即可． （1）如图：点 Q位于点 E右侧时， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 PD=6－t，CQ=3t，EQ=8－3t， 6－t =8－3t， t=1（秒）； （2）如图：点 Q位于点 E左侧时， PD=6－t，CQ=3t，EQ=3t－8， 6－t =3t－8， t= 7 2 （秒）． 综上所述：P的运动时间为 1或 7 2 秒． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法以及一元一次方程的应用，熟记平行四边形的判 定方法，根据对应边相等列方程是解题关键． 13．C 【难度】0.65 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】由平行四边形的性质可得 AD∥BC，AD=BC，由平行线的性质可得 BF=DF=12cm， 可得 AD=AF+DF=18cm=BC，由平行四边形的性质可得 PF=EQ，列出方程可求解． 【详解】解：∵四边形 ABCD是平行四边形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∴AD∥BC，AD＝BC ∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC ∠ADB＝∠FBM ∴BF＝DF＝12cm ∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC， ∵点 E是 BC的中点 ∴EC＝ 12 BC＝9cm， ∵以点 P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形 ∴PF＝EQ ∴6﹣t＝9﹣2t，或 6﹣t＝2t﹣9 ∴t＝3或 5 故选 C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，利用方程思想解决问题是解本题的关键． 14．(1)tcm，  15 2t cm (2)当 5t  时，四边形 APQB是平行四边形 (3)存在， 4t  时，四边形 PDCQ是平行四边形 【难度】0.65 【知识点】添一个条件成为平行四边形、利用平行四边形的性质求解、几何问题(一元一次方 程的应用)、列代数式 【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可进行解答； （2）当 AP BQ 时，四边形 APQB是平行四边形，列出方程求解即可； （3）当DP CQ 时，四边形 PDCQ是平行四边形，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点 P以1cm / s的速度运动，点Q以2cm / s的速度运动， ∴ AP tcm ，  15 2BQ BC CQ t cm    ， 故答案为：tcm，  15 2t cm ． （2）解：∵ AD BC∥ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∴ AP BQ∥ ， ∴当 AP BQ 时，四边形 APQB是平行四边形， ∴ 15 2t t  ，解得 5t  ， ∴当 5t  时，四边形 APQB是平行四边形； （3）解：∵ AD BC∥ ， ∴ AP BQ∥ ， ∴当DP CQ 时，四边形 PDCQ是平行四边形， ∵  12DP AD AP t cm    ， 2CQ tcm ， ∴12 2t t  ，解得： 4t  ， ∴存在，当 4t  时，四边形 PDCQ是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，解题 的关键是把握“化动为静”的解题思想，根据平行四边形的判定定理，列出方程求解． 15．(1)①5；② 7 2 t  或 16 3 t  (2)OM OF ，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】添一个条件成为平行四边形、判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形、 等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由题意得： 2AP t ，QO t ， 21 2PB t  ， 16QC t  ，根据平行四边形 的判定可得 21 2 16t t   ，再解方程即可； （2）①当 PQ CQ 时， 2 2 212 (16 )t t+ = - ，解方程得到 t的值，再求 P点坐标；②当 PQ PC 时，由题意得：QM t ， 16 2CM t  ，进而得到方程 16 2t t  ，再解方程即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 （3）延长 AO至点 D，使 AO OD ，得到OC垂直平分 AD，推出 AC CD ，证明  SASAOM DON△ ≌△ ，得到 AM DN ， OAM ODN   ，证明 AM DN∥ ，根据已知等 式，代换得到 2 2 2CD CN DN  ，证明DN CN ，从而有 90AFN  ，再根据直角三角 形斜边上的中线定理即可证明． 【详解】（1）解：①∵ (0,12)A ， (21,12)B ， (16,0)C ， ∴ 21AB  ， 12OA  ， 16OC  ， 由题意得： 2AP t ，QO t ， 则： 21 2PB t  ， 16QC t  ， 当 PB QC 时，四边形 PQCB是平行四边形， 21 2 16t t\ - = - ， 解得： 5t  ； ②当 PQ CQ 时，过Q作QN AB ， 则 PN OQ t  ， 在 PQN 中， 2 2 2PN QN PQ  ， 即 2 2 212 (16 )t t+ = - ， 解得： 7 2 t  ， ∴  7,12P ， 7 ,0 2 Q     ， 当 PQ PC 时，过 P作PM x 轴， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 由题意得：QM t ， 16 2CM t  ， ∴ 16 2t t  ， 解得： 16 3 t  ， 故 t的值为 7 2 t  或 16 3 t  ． （2）如图，延长 AO至点 D，使 AO OD ， ∴OC垂直平分 AD， ∴ AC CD ， 在 AOM 和 DON△ 中， AO OD AOM DON MO NO       ， ∴  SASAOM DON△ ≌△ ， ∴ AM DN ， OAM ODN   ， ∴ AM DN∥ ， ∵ 2 2 2AC CN AM  ， ∴ 2 2 2CD CN DN  ， ∴ 90CND  ，即DN CN ， ∴ AM CN ，即 90AFN  ， ∵OM ON ， ∴OF OM ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图 形，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，知识点较多，解题的关键是熟练掌握 平行四边形的判定，灵活运用勾股定理的逆定理，适当添加辅助线．