【专项练】特殊平行四边形的动点问题-鲁教版五四制八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 特殊平行四边形的动点问题 1．如图，点 O为矩形 ABCD的对称中心，点 E从点 A出发沿 AB向点 B运动，移动到点 B 停止，延长 EO交CD于点 F，则四边形 AECF形状的变化依次为（ ） A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 2．如图，在▱ ABCD中，已知 AD＝15cm，点 P在 AD边上以 1cm/s的速度从点 A向点 D运 动，点 Q在 BC边上以 4cm/s的速度从点 C出发在 BC上往返运动，两个点同时出发，当点 P 到达点 D时停止运动（同时 Q点也停止），设运动时间为 t（s）（t＞0），若以 P、D、Q、B 四点为顶点的四边形是平行四边形，则 t的值错误的是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．1.如图，在矩形 ABCD中，AD＝6，点 P从点 A以每秒 2个单位长度的速度向点 D运动， 同时，点 Q从点 C以每秒 1个单位长度的速度向点 B运动．当点 P到达点 D时，P，Q停止 运动．设运动时间为 t秒，则当四边形 PDCQ为矩形时，t的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在平行四边形 ABCD中， 6cmAB  ， 10cmAD  ，点 P在 AD边上以每秒1cm的 速度从点A向点D运动．点Q在 BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运 动．两个点同时出发，当点 P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为 t秒．当 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5 10t  时，运动时间 t为何值时，以 P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（ ） A． 20 3 B．8 C．4或 20 3 D． 20 3 或 8 5．如图，在矩形 ABCD中， 4, 6, ,AB AD P Q  分别是边 AD BC， 上的动点，点 P从A出 发到D停止运动，点Q从C出发到 B停止运动，若 P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速 运动．下面四个结论中：①存在四边形 APCQ是矩形；②存在四边形 APCQ是菱形；③存在 四边形 APQB是矩形；④存在四边形 APQB是正方形．所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 6．如图，在四边形 ABCD中， 90A B    ， 8cmAD  ， 6cmBC = ，点 P从点D出发， 以1cm / s的速度向点A运动，点M 从点 B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个 动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点 P的运动时间为 t（单位： s），下列结论正确 的是（ ） A．当 3st  时，四边形 ABMP为矩形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 B．当 4st  时，四边形CDPM为平行四边形 C．当CD PM 时， 3st  D．当CD PM 时， 3st  或5s 7．如图，点O为矩形 ABCD ( AB BC )的对称中心，点E从点A出发沿 AB向点 B运动， 移动到点 B停止，延长 EO交CD于点F ，则四边形 AECF形状是下列图形中的哪些：①平行 四边形，②菱形，③矩形，④正方形．（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 8．如图，四边形 ABCD中， AD BC∥ ， 8cmAD  ， 12cmBC  ，M是 BC上一点，且 9cmBM  ，点 E从点 A出发以1cm s的速度向点 D运动，点 F从点 C出发，以3cm s的速 度向 B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为 t秒，则当以 A，M， E，F为顶点的四边形是平行四边形时， t  9．已知，四边形 ABCD中，AB CD∥ ， 8AB  ， 4DC  ，点M 、N 分别为边 AB、DC 的中点，点 P从点D出发，以每秒1个单位的速度从 D C方向运动，到达点C后停止运动， 同时点Q从点 B出发，以每秒3个单位的速度从B A 方向运动，到达点A后立即原路返回， 点 P到达点C后点Q同时停止运动，设点 P、Q运动的时间为 t秒，当以点M 、N 、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时， t的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 10．如图，在四边形 ABCD中，AD BC∥ ， 90BÐ = °， 8AB  cm， 24AD  cm， 26BC  cm．点 P从点 A出发，以 2cm/s的速度向点 D运动；点 Q从点 C同时出发，以 3cm/s的速度向点 B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．若运动 t s时 PQ CD ， 则运动时间 t的值是 s． 11．如图，在 ABC 中，D，E，F分别是 , ,AB AC BC的中点，点 M是线段DE上任意一点， 点 N是 ABC 和 ACB 平分线的交点，连接 ,DE EF．有以下结论： ① 2BNC A   ； ② MBC△ 的面积是 ABC 面积的一半； ③保持 ABC 的大小不变，改变 AB的长度可使四边形DBFE是菱形成立； ④保持 AB的长度不变，改变 ABC 的大小可使四边形DBFE是正方形成立． 其中所有正确结论是： ．（填序号即可） 12．如图（1），点 F从菱形的顶点 A出发，沿 A D B  以1cm/ s的速度匀速运动到点 B， 点 F运动时， FBC的面积 2( )cmy 随时间 (s)x 的变化关系图象如图（2），则菱形 ABCD的 面积为 2cm ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 （1） （2） 13．如图，在四边形 ABCD中， AB CD∥ ， 90A  ， 12cmAB  ， 4cmAD  ， 15cmCD  ．点 P从点A出发，以1cm /秒的速度向点 B运动；点Q从点C出发，以2cm /秒 的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时 间为 t秒． (1)若 P，Q两点同时出发． ①CQ  ______cm，BP  ______cm； ②若 t为何值时，四边形 PQCB为平行四边形？ ③若 t为何值时，四边形 APQD为矩形？ (2)若 P点先运动3秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则 t为 ______时， DPQ 为直角三角形（直接写出答案）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 14．如图，在 ABCD中， 90DCA  ， 6AB  ， 8AC  ，动点 P从点 A出发沿 AD以2cm / s 速度向终点 D运动，同时点 Q从点 C出发，以8cm / s速度沿射线CB运动，当点 P到达终点 时，点 Q也随之停止运动，设点 P运动的时间为 t秒（ 0t  ）． (1)CB的长为______； (2)用含 t的代数式表示线段QB的长； (3)连接 PQ， ①是否存在 t的值，使得 PQ与 AC互相平分？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在 t的值，使得 PQ与 AB互相平分？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由； (4)若点 P关于直线 AQ对称的点恰好落在直线 AB上，请直接写出 t的值． 15．如图，在正方形 ABCD中， 4AB BC CD DA    ， 90A B C D        ．动 点 P以每秒 1个单位长度的速度从点 B山发，沿线段 BC方向运动，动点Q同时以每秒 4个单 位长度的速度从点A出发，沿正方形的边 AD DC CB  运动，当点 P与点Q相遇时停止运 动，设点 P的运动时间为 t秒． (1)运动时间为 秒时，点 P与点Q相遇； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 (2)求 t为何值时， ABQ是等腰三角形？ (3)用含 t的式子表示 AQP△ 的面积S，并写出相应 t的取值范围； (4)连接 PA，当以点Q及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和 PAB全等时，直接写出 t的值（点 P与点Q重合时除外）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 特殊平行四边形的动点问题 1．B 【难度】0.85 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形 AECF形状的变化情况：这个四 边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点 E与点 B 重合时是矩形． 【详解】解：观察图形可知，四边形 AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形 →矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据 EF与 AC的位置关系即可求解． 2．B 【难度】0.85 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】根据平行四边形的性质得出 DP＝BQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过 t秒，以点 P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∵P在 AD上运动， ∴t≤15÷1＝15，即 t≤15， ∵以点 P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP＝BQ， 分为以下情况：①点 Q的运动路线是 C﹣B﹣C， 由题意得：4t﹣15＝15﹣t， 解得：t＝6； ②点 Q的运动路线是 C﹣B﹣C﹣B， 由题意得：15﹣（4t﹣30）＝15﹣t， 解得：t＝10； ③点 Q的运动路线是 C﹣B﹣C﹣B﹣C， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 由题意得：4t﹣45＝15﹣t， 解得：t＝12； 综上所述，t的值为 6或 10或 12， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行四边形中的动点问题，解题的关键是根据题意分 情况讨论． 3．B 【难度】0.85 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长、（特殊）平行四边形 的动点问题 【分析】由矩形的性质可得 PD=CQ，列出方程可求解． 【详解】解：∵四边形 PDCQ为矩形， ∴PD＝CQ， ∴6﹣2t＝t， ∴t＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，矩形的性质，找到正确的数量关系列出方程式解题 的关键． 4．D 【难度】0.85 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】根据 P的速度为每秒1cm，可得 AP t cm，从而得到 (10 )cmPD t  ，由四边形 ABCD为平行四边形可得出 PD BQ∥ ，结合平行四边形的判定定理可得出当 PD BQ 时以 P、D、Q、 B四点组成的四边形为平行四边形，当5 10t  时，分两种情况考虑，在每种 情况中由 PD BQ 即可列出关于 t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：四边形 ABCD为平行四边形， PD BQ ∥ ． 若要以 P、D、Q、 B四点组成的四边形为平行四边形，则PD BQ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 当 155 2 t ≤ 时， AP t cm， (10 )cmPD t  ， (4 20)cmCQ t  ， (30 4 )cmBQ t  ， 10 30 4t t    ， 解得： 20 3 t  ； 当 15 10 2 t  时， AP t cm， (10 )cmPD t  ， (4 30)cmBQ t  ， 10 4 30t t    ， 解得： 8t  ． 综上所述：当运动时间为 20 3 秒或 8秒时，以 P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 故选 D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清Q在 BC上往返 运动情况是解决此题的关键． 5．A 【难度】0.65 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、根据正方形的性质求线段长、证明四边形是菱形、 根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】设 ,P Q两点速度为每秒 1个单位长度，则 AP CQ t  ，0 6t  ，由题意可得四边 形 APCQ是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 【详解】解：设 ,P Q两点速度为每秒 1个单位长度，则 AP CQ t  ，0 6t  ， ∵四边形 ABCD是矩形， 4, 6AB AD  ， ∴ AD BC∥ ， 90A B    ， 6BQ t  ， ∴四边形 APCQ是平行四边形， 当 6t  时，点 P与点D重合，点Q与点Q重合，此时四边形 APCQ是矩形，故①正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 当四边形 APCQ是菱形时， AP AQ ， 则  22 2 24 6AQ AB BQ t AP t       ，解得： 13 3 t  ，符合题意， 即：当 13 3 t  时，四边形 APCQ是菱形，故②正确； 当四边形 APQB是矩形时， AP BQ ，则 6t t  ，解得 3t  ， 即：当 3t  时，四边形 APQB是矩形，故③正确； 当四边形 APQB是正方形时， AP BQ AB  ， 则 6AP t BQ t    ，解得 3t  ，但此时 3AP BQ AB   ，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟 练掌握相关图象的性质是解决问题的关键． 6．D 【难度】0.65 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】对于选项 A、B，分别计算当 3st  与 4st  时相应线段的长度结合平行四边形的判定 方法判断即可；对于 C、D选项，作 ,CE AD MF AD  ，垂足分别为 E、F，如图，证明  Rt Rt HLDCE PMF ，得出 2cmPF DE  ，进而得出关于 t的方程，解方程判定即 可. 【详解】解：当 3st  时， 3cmPD  ， 8 3 5PA    cm， 3cmBM  ， ∴ AP BM ， ∴四边形 ABMP不为矩形，故选项 A结论错误； 当 4st  时， 4cmPD  ， 4cmBM  ， 6 4 2CM    cm， ∴DP CM ， ∴四边形CDPM不为平行四边形，故选项 B结论错误； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 当CD PM 时，作 ,CE AD MF AD  ，垂足分别为 E、F，如图， ∵ 90A B    ， ∴ AD BC∥ ， ∴四边形 ,ABCE ABMF 都是矩形， ∴ , 6cmCE FM AB BC AE    ， ∴当CD PM 时，  Rt Rt HLDCE PMF ， 8 6 2cmDE    ， ∴ 2cmPF DE  ， ∵  8 2 8PF BM AP t t t       ， ∴ 2 8 2t   ， 解得： 5t  或 3t  ，故选项 C错误、选项 D正确； 故选：D. 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全 等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键. 7．A 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】根据矩形的性质，可得四边形 AECF形状的变化情况，由此可得结论． 【详解】解：连接 AC， ∵四边形 ABCD是矩形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴ AO CO ，CD AB∥ ， ∴ OAE OCF   ， ∵∠ AOE COF ， ∴ ASAAOE COF△ ≌△ （ ）， ∴OE OF ， ∴四边形 AECF是平行四边形， 当EF AC 时，四边形 AECF是菱形， 当点E和点 B重合时，四边形 AECF是矩形，而且 AB BC ，故不可能是正方形， 可知四边形 AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形， 故选：A． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，根 据 EF与 AC的关系即可求解． 8． 3 4 或 3 2 【难度】0.65 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是 解题的关键．分 F在 M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵ 9cmBM  ， 12cmBC  ， ∴ 3cmCM  ， ∵ AD BC∥ ， ∴当以 A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， AE MF ， 当 F在 M的右侧时，  3 3 cmMF CM CF t    ， 又 cmAE t ， ∴ 3 3t t  ， ∴ 3 t 4  ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 当 F在 M的左侧时，  3 3 cmMF CM CF t    ， 又 cmAE t ， ∴ 3 3t t  ， ∴ 3 2 t  ； 综上， 当以 A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 3 4 或 3 2 ， 故答案为： 3 4 或 3 2 ． 9．1或 3 2 或 7 2 【难度】0.65 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、利用平行四边形的性质求解、几何问题(一元一 次方程的应用) 【分析】设 t秒后，点M 、N 、 P、Q为顶点的四边形为平行四边形．分三种情形分别构建 方程即可． 【详解】解：设 t秒后，点M 、N 、 P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 由题意PN MQ∥ ，当 PN MQ 时，点M 、N 、 P、Q为顶点的四边形为平行四边形， 则有： 2 4 3t t   或 2 3 4t t   或 2 12 3t t   ， 解得 1t  或 3 2 或 7 2 ． 故答案为：1或 3 2 或 7 2 ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，一元一次方程等知识，解题的关键是学会用分类 讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 10． 28 5 或 24 5 【难度】0.65 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】分两种情况：① PD CQ 时，则四边形CDPQ为平行四边形；② PD CQ 时，过 点 P作 PS CD交 BC于 S，PM BC 于 M，则四边形PDCS为平行四边形，四边形 ABMP 为矩形；分别计算即可． 【详解】解：由题意可知， 2 , 24 2 , 3 , 26 3AP t DP t CQ t BQ t      ， 若 PQ CD ，分两种情况： ① PD CQ 时， ∵PD CQ∥ ， ∴四边形CDPQ为平行四边形， ∴ PQ CD ， ∴ 24 2 3t t  ， 解得： 24 5 t  ， ② PD CQ 时， 过点P作 PS CD交 BC于S，PM BC 于M，则四边形PDCS为平行四边形，四边形 ABMP 为矩形； ∴ 24 2 cm 2 cmPS CD PD CS t BM AP t     ， （ ） ， ， ∴ 26 2 (24 2 ) 2PQ PS MS CM CS t t       ， （cm）， ∴ 2 4QS MS  （cm）， ∴3 4 24 2t t   ， 解得： 28 5 t  ， 综上所述，当 t的值为 28 5 或 24 5 时， PQ CD ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 故答案为： 28 5 或 24 5 【点睛】本题考查了直角梯形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三 角形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 11．②③ 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是菱形、 （特殊）平行四边形的动点问题 【分析】连接 , ,BM CM BE根据三角形内角和定理结合角平分线即可判断①；利用三角形等 底等高面积相等结合中线的性质即可判断②；根据三角形中位线的性质，易证四边形 BFED是 平行四边形，由 AB长度再变化，当 AB BC 时，即BD DE 即可得到四边形DBFE是菱形， 即可判断③；由四边形DBFE是平行四边形， ABC 的大小再变化，当 90ABC  时，四 边形DBFE是矩形，只有当BD DE 时，四边形DBFE是正方形即可判断④ 【详解】解：如图，连接 , ,BM CM BE，  ,CN BN 分别平分 ACB 和 ABC ， 1 1, 2 2 NBC ABC NCB ACB      ， 180 , 180A ABC ACB BNC NBC NCB          ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10  1180 180 2 BNC A     ，即 190 2 A BNC     ，故①错误；  D，F分别是 ,AB BC的中点， DE 是三角形 ABC 的中位线， 1, 2 DE BC DE BC ∥ ， MBC 与 BCE等底等高， MBC 与 BCE的面积相等， E是 AC的中点，  BCE的面积等于 ABC 的一半，  MBC△ 的面积是 ABC 面积的一半，故②正确；  1, 2 DE BC DE BC BF ∥ ， 四边形DBFE是平行四边形，  ABC 的大小不变， 若DBFE是菱形，则BD DE ， 1 1, 2 2 BD AB DE BC  ， 当 AB BC 时，则DBFE是菱形成立，故③正确； 同理，当 90ABC  时，四边形 BFED是矩形， 当且仅当BD DE 时，四边形DBFE是正方形，故④错误； 故正确的有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，中线的性质， 平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的 判定定理是解题的关键． 12． 75 8 【难度】0.65 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点 A到 BC的 距离为 h，根据动点函数图像求出 h， 过点 D作DE BC 交 BC的延长线与点 E，则 3DE  ， 利用勾股定理求出 BE，由菱形的性质得出 BC DC AD a   ，利用勾股定理求出 25 8 a  ， 最后计算菱形的面积即可． 【详解】解：设点 A到 BC的距离为 h， 由点 F的运动轨迹和速度可知 AD a ， 5BD  ，且 1 3 2 2 AD h a  ， 解得： 3h  ， 过点 D作DE BC 交 BC的延长线与点 E， 则 3DE  ， ∴ 2 2 4BE BD DE   ， ∵四边形 ABCD是菱形， ∴ BC DC AD a   ， ∴ 4CE a  ， 在Rt DCE中， 2 2 2DC CE DE  ， 即  22 24 3a a   ， 解得： 25 8 a  ， ∴ 25 753 8 8ABCD S BC DE     菱形 ， 故答案为： 75 8 13．(1)①2t，  12 t ；② 4t  ；③ 5t  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 (2)6或 10 3 【难度】0.65 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、根据矩形的性质与判定求线段长、利用平行四边 形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①先表示出 PA和QC的值，再根据 BP AB AP  求出 BP的值； ②根据平行四边形的对边相等得出四边形 PQCB为平行四边形，此时QC PB ，据此列出方 程，解方程求出 t的值； ③先根据DQ DC CQ  求出DQ的值，再根据矩形的对边相等得出当四边形 APQD为矩形， 此时 AP DQ ，据此列出方程，解方程求出 t的值； （2）先根据题意判断出 90PDQ  ∠ ，再分 90DQP  和 90DPQ  两种情况进行讨论： 当 90DQP  时，根据两直线平行，内错角相等得出 90DÐ = °，根据有三个角是直角的四 边形是矩形，矩形的对边相等得出 3DQ AP  ，求出 12cmDQ  的值，结合  15 2 cmDQ t  列出方程，解方程求出 t的值；当 90DPQ  时，过点Q作QM AB 交 于M ，根据两直线平行，内错角相等得出 90DÐ = °，根据有三个角是直角的四边形是矩形， 矩形的对边相等得出  15 2 cmDQ AM t   ， 4cmAD QM  ，求得  12 2 cmPM t  ， 根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出方程，解方程求出 t的值． 【详解】（1）解：①根据题意，得 cmPA t ， 2 cmQC t ， ∵ 12cmAB  ， 则  12 cmBP AB AP t    ， 故答案为：2t，  12 t ． ②如图： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 当四边形 PQCB为平行四边形， 此时QC PB ， 即 2 12 t t， 解得： 4t  ， 故当 4t  秒时，四边形 PQCB为平行四边形． ③∵ 15cmCD  ， 2 cmQC t ， ∴  15 2 cmDQ DC CQ t    ， 如图： 当四边形 APQD为矩形， 此时 AP DQ ， 即 15 2t t  ， 解得： 5t  ， 故当 5t  秒时，四边形 APQD为矩形． （2）解：∵ P点先运动3秒后停止运动，此时Q点从C点出发， 即当 0t  时， 3AP  ，点Q与点C重合，此时 90PDQ  ∠ ； 当 90DQP  时，如图： ∵ AB CD∥ ， 90A  ， ∴ 90DÐ = °， 故四边形 APQD为矩形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∴ 3cmDQ AP  ， ∴ 15 3 12cmCQ DC DQ     ， 即 2 12t  ， 解得： 6t  ； 当 90DPQ  时，如图：过点Q作QM AB 交于M ， ∵ AB CD∥ ， 90A  ， ∴ 90DÐ = °， 故四边形 AMQD为矩形， ∴  15 2 cmDQ AM t   ， 4cmAD QM  ， 故  15 2 3 12 2 cmPM AM AP t t       ， 在Rt ADP中， 2 2 2 2 24 3DP AD AP    ， 在Rt QMP中，  22 2 2 24 12 2QP QM MP t     ， 在Rt QDP△ 中， 2 2 2DQ PD PQ  ， 即    2 22 2 215 2 4 3 4 12 2t t      ， 解得： 10 3 t  ； 故 t为6或10 3 时， DPQ 为直角三角形． 【点睛】本题考查了四边形的动点问题，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理， 平行线的性质，解一元一次方程等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 14．(1)10 (2)10 8t 或8 10t  (3)①不存在，理由见解析；②存在， 5 3 t  (4) 12 或 2 【难度】0.4 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角 形 【分析】（1）由平行四边形的性质得 6AB CD  ，再由勾股定理求出CB的长即可； （2）当点Q在线段CB上时， 10 8QB BC CQ t    ；当点Q在线段CB延长线上时， 8 10QB CQ BC t    ； （3）①连接PC、AQ，若 PQ与 AC互相平分，则四边形 APCQ是平行四边形，得 AP CQ ， 则 2 8t t ，解得 0t  ，不符合题意舍去；②连接 PB、 AQ，若 PQ与 AB互相平分，则四边 形 APBQ是平行四边形，得 AP BQ ，则 2 8 10t t  ，解得 5 3 t  即可； （4）分两种情况，①当点 P关于直线 AQ对称的点恰好落在点A下方时，②当点 P关于直线 AQ对称的点恰好落在点A上方时，证 6BQ AB  ，求出CQ的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：四边形 ABCD是平行四边形， 6AB CD   ， 90BAC DCA    ， 2 2 2 26 8 10CB AB AC      ， 故答案为：10； （2）由题意得： 8CQ t ， 当点Q在线段CB上时， 10 8QB BC CQ t    ； 当点Q在线段CB延长线上时， 8 10QB CQ BC t    ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 综上所述，线段QB的长为10 8t 或8 10t  ； （3）①不存在，理由如下： 如图 1，连接PC、 AQ， 若 PQ与 AC互相平分，则四边形 APCQ是平行四边形， AP CQ  ， 2AP t ， 8CQ t ， 2 8t t  ， 解得： 0t  ，不符合题意舍去； ②存在，理由如下： 如图 2，连接 PB、 AQ， 若 PQ与 AB互相平分，则四边形 APBQ是平行四边形， AP= BQ ， 2 8 10t t   ， 解得： 5 3 t  ， 存在 t的值，使得 PQ与 AB互相平分， t的值为 5 3 ； （4）分两种情况： ①当点 P关于直线 AQ对称的点恰好落在点A下方时，如图 3， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 由对称的性质得： PAQ P AQ   ， 四边形 ABCD是平行四边形， AD BC ∥ ， PAQ AQB   ， P AQ AQB   ， 6BQ AB   ， 10 6 4CQ BC BQ      ， 即8 4t  ， 解得： 1 2 t  ； ②当点 P关于直线 AQ对称的点恰好落在点A上方时，如图 4， 由对称的性质得： PAF P AF   ， 四边形 ABCD是平行四边形， AD BC ∥ ， PAF BQA   ， P AF BAQ   ， BQA BAQ   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 6BQ AB   ， 10 6 16CQ BC BQ      ， 即8 16t  ， 解得： 2t  ； 综上所述， t的值为 12 或 2． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股 定理、轴对称的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质 和轴对称的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 15．(1) 12 5 (2) 1t  或 3 2 或 2 (3)当0 1t  时， 8S t ；当1 2t  时， 22 2 8S t t    ；当 122 5 t  时， 10 24S t   (4) t的值为 4 5 或 4 3 或 8 5 【难度】0.4 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、根据正方形的性质求线段长、全等三角形综合问 题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设 t秒后 P、Q相遇．列出方程即可解决问题； （2）根据 AB AQ ， AB BQ ，BQ AQ 分类讨论即可解决问题； （3）分三种情形①如图 2中，当0 1t  ，点Q在 AD上时．②如图 3中，当1 2t  ，点Q 在CD上时， ADQ ABP PQCABCDS S S S S   正方形 ．③如图 4中，当 122 5 t  ，点Q在 BC上 时．分别求解即可； （4）分四种情形求解①当 1DQ BP 时， 1CDQ ABP≌ ．②当 2DQ BP 时， 2ADQ ABP≌ ．③当 3CQ BP 时， 3BCQ ABP≌ ．④当 4BQ BP 时， 4ABQ ABP≌ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 此时 P与Q重合． 【详解】（1）设 t秒后 P、Q相遇． 由题意 (4 1) 12t  ， 12 5 t  秒，  12 5 秒后 P、Q相遇． 故答案为 12 5 ； （2）∵正方形 ABCD ∴ 4AB AD DC BC    ， 当 AB AQ 时，此时D与Q重合， 1 4 ADt   ； 当 AB BQ 时，此时C与Q重合， 2 4 AD DCt   ； 当BQ AQ 时，Q在 AB的垂直平分线上，即Q为CD中点，此时 1 32 4 2 AD DC t    ； 综上所述，当 1t  或 3 2 或 2时， ABQ是等腰三角形； （3）①如图 2中，当0 1t  ，点Q在 AD上时， 1 4 4 8 2 S t t    ． ②如图 3中，当1 2t  ，点Q在CD上时，       21 1 116 4 4 4 4 4 8 4 2 2 8 2 2 2ADQ ABP PQCABCD S S S S S t t t t t t                   正方形 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 ③如图 4中，当 122 5 t  ，点Q在 BC上时， 1 [4 (4 8)] 4 10 24 2 S t t t         ． 综上所述，    2 8 0 1 2 2 8 1 2 1210 24 2 5 t t S t t t t t                   ． （4）如图 5中， ①当 1DQ BP 时， 1CDQ ABP≌ ，此时4 4t t  ， 4 5 t  ； ②当 2DQ BP 时， 2ADQ ABP≌ ，此时4 4t t  ， 4 3 t  ； ③当 3CQ BP 时， 3BCQ ABP≌ ，此时8 4t t  ， 8 5 t  ； ④当 4BQ BP 时， 4ABQ ABP≌ ，此时 P与Q重合， 12 5 t  ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 综上所述，t为 4 5 或 4 3 或 8 5 或 12 5 时，当以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和 PAB全 等． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形 的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考压轴题