【专项练】特殊平行四边形的折叠问题-鲁教版五四制八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 特殊平行四边形的折叠问题 1．如图：将边长为 6的正方形纸片 ABCD折叠，使点 D落在 AB边中点 E处，点 C落在点 Q 处，折痕为 FH，则线段 AF的长是（ ） A．2 B． 9 4 C．3 D． 9 5 2．如图，四边形 ABCD是边长为 9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点 B落在CD边上的 B处，点 A的对应点为 A，且 3BC  ，则 BN的长是（ ） A．1.5 B．3 C．4 D．5 3．如图，在正方形 ABCD中， 10AB  ，E是 BC的中点，将 ABE 沿 AE对折至 AFE ， 延长EF交DC于点G，则DG的长是（ ） A．4 B． 10 3 C．3 D． 8 3 4．如图，将正方形 ABCD沿 BE对折，使点 A落在对角线BD上的 A处，连接 A C ，则 BA C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 的大小为（ ） A．45 B．60 C．67.5 D．70 5．如图，将正方形纸片 ABCD折叠，使边 ,AB CB均落在对角线BD上，得折痕 ,BE BF，则 EBF 的度数是（ ） A．15 B．40 C． 45 D．60 6．如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（ ） A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形 7．如图，正方形 ABCD边长为 6，点 E为CD边的中点，连接 BE，将 BCE沿 BE翻折得到 BFE△ ，延长 BF交 AD于点 G，则 AG长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 8．如图正方形 ABCD中， 12AB  ，点 E在CD上，且 3CD DE ，将 ADEV 沿 AE对折至 AFE△ ，延长EF交 BC于点 G，连接 AG CF、 ，则BG  ． 9．如图，将边长为12cm的正方形 ABCD折叠，使得 A点落在边CD上的 E点，然后压平得 折痕 FG，若GF 的长为13cm，则线段CE的长为 ． 10．如图，已知E是正方形 ABCD的边 AD中点，将正方形 ABCD沿 BE翻折，使点A落在F 处，延长EF交CD于G，若正方形 ABCD边长为 6，则CG的长是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 11．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再沿 AE折叠，使点 B落在MN上的点H 处．下 列结论：①DH DA ；② 135BHD  ；②NE BE ；④ 2EB HN ．其中正确结论 是 ．（填序号） 12．综合与实践课，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：对折正方形纸片 ABCD，使 AD与 BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在 AD上选一点 P，沿BP折叠，使点 A落在矩形内部点 M处，把纸片展平，连接PM ， 并延长PM 交CD于点 Q，连接 BQ， BM ． 根据以上操作 （1） PBQ  °； （2）若正方形纸片 ABCD的边长为8cm，当 2cmFQ  时， AP  cm． 13．【问题情境】已知在四边形 ABCD中，M 为边 AD上一点（不与点 A，D重合），连接 BM ， 将 ABM 沿 BM 折叠得到 NBM ，点 A的对应点为点 N． 【问题初探】（1）如图（1），若四边形 ABCD是正方形，点 N 落在对角线BD上，连接 AN 并延长交CD于点G，写出与 DGA 相等的角： （写出一个即可）： 【拓展变式】（2）如图（2），若四边形 ABCD是矩形，点 N 恰好落在 AB的垂直平分线 EF 上，EF与 BM 交于点G．求证： GMN 是等边三角形； 【问题解决】（3）如图（3），若四边形 ABCD是平行四边形， 2 4BC AB  ， 60ABC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 点 N落在线段 BC上， P为 AB的中点，连接DP，PN ，DN，求 PND△ 的面积． 14．按照国际标准，A系列纸为矩形纸．如图①，将 0A 纸沿长边对开便成了两张 1A 纸，将 1A 纸沿长边对开便成了两张 2A 纸；……，将 4A 纸沿长边对开便成了两张 5A 纸……．将一张 4A 纸按如图②所示的方式进行折叠：第一步：将 AB边折叠到 AD边上，折痕为 AE，点 B落在 点 B处．第二步：再将 AE折叠到 AD边上，折痕为 AP，此时 AE与 AD恰好重合，点 C落 在点C处． (1)求 4A 纸的长宽之比； (2)利用图②，求证： DCP△ 是等腰直角三角形； (3)按照国际标准， 5A 纸的长宽之比是 _______．（填空） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 15．在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操作： (1)如图 1，矩形 ABCD中， 10AB  ， 8AD  ，点 P是边 AD上的一个动点，将 BAP△ 沿BP 进行翻折到 BQP，当 Q点折叠到CD上时，求CQ和 AP的长； (2)如图 2，矩形 ABCD中， 10AB  ， 8AD  ，若点 P、O分别为是边 AD CD、 的中点，点 H是边 BC上的一个动点，连接PH，将四边形 ABHP沿 PH折叠，得到四边形 PFEH ，连 接OE，求OE长度的最小值．（直接写出结果） (3)如图 3，当矩形 ABCD变成正方形，且正方形的边长为 10，在 P点移动的过程中， ①当 时，求 AP的长； ②当 CDQ为等腰三角形时，请在备用图中探究并直接写出线段 AP的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 特殊平行四边形的折叠问题 1．B 【难度】0.94 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】设 EF=FD=x，在 RT△AEF中利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图： ∵四边形 ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=6， ∵AE=EB=3，EF=FD，设 EF=DF=x．则 AF=6-x， 在 RT△AEF中，∵AE2+AF2=EF2， ∴32+（6-x）2=x2， ∴x= 15 4 ， ∴AF=6- 15 4 = 9 4 ， 故选 B． 【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理，解题的关键是设未知数利用勾股定理 列出方程解决问题． 2．D 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，找出翻折变换中对应相等的线段和角 是解题的关键，注意勾股定理和方程思想的准确运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 根据翻折变换的性质得到 B N BN  ，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：由题意得， B N BN  ， 9CN BC BN BN    ， ∵在正方形 ABCD中， 90C  ， 由勾股定理得， 2 2 2B N B C CN   ， 即 2 2 23 (9 )B N B N    ， 解得， 5B N  ， ∴ ' 5BN B N  ． 故选：D 3．B 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和 HL综合（HL）、勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】本题主要考查勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质．利 用翻折变换对应边关系得出 AB AF ，BE EF ， 90B AFE   ，利用HL定理得出 Rt RtADG AFG≌ ，由全等三角形的性质得出DG FG ，设DG FG x  ，则 10GC x  ， 利用勾股定理得出 2 2 2GE CG CE  ，进而求出DG即可． 【详解】解：如图，连接 AG， 在正方形 ABCD中， AD AB BC CD   ， 90D B BCD      ， 将 ABE沿 AE对折至 AFE△ ， AB AF  ，BE EF ， 90B AFE   ， AD AF  ， 90D AFG    ，  Rt Rt HLADG AFG ≌ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 DG FG  ， 设DG FG x  ，则 10GC x  ， E 为CB的中点， 5CE BE EF    ， 5EG x   ， 在Rt CEG△ 中， 由勾股定理，得 2 2 2CE CG GE  ， 2 2 25 (10 ) (5 )x x     ， 解得 10 3 x  ， 10 3 DG  ． 故选：B． 4．C 【难度】0.85 【知识点】等边对等角、正方形折叠问题 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质；由正方形性质得 45A BC  ，BA BC ，由折叠性质得 BA BA BC  ，则由等腰三角形的性质及三角形 内角和即可求解． 【详解】解：在正方形 ABCD中， ∵ BD是正方形 ABCD的对角线 ∴ 45A BC  ，BA BC ， 由折叠性质得 BA BA ， ∴BA BC  ， ∴ 1 (180 ) 67.5 2 BA C A BC      ， 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 5．C 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、正方形折叠问题、折叠问题 【分析】根据四边形 ABCD是正方形，BD是对角线，可求出 ,ABD CBD  的度数，根据折 叠可知 ,BE BF是角平分线，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形 ABCD是正方形，BD是对角线， ∴ 45ABD CBD   ， ∵ AB沿 BE折叠后落在BD上，CB沿 BF折叠后落在BD上， ∴ BE是 ABD 的角平分线， BF是 CBD 的角平分线， ∴ 1 1 45 22.5 2 2 ABE EBD ABD        ， 1 1 45 22.5 2 2 DBF FBC CBD         ∴ 22.5 22.5 45EBF EBD DBF         ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查正方形的折叠，掌握正方形的性质，折叠的性质，角平分线的性质是解 题的关键． 6．C 【难度】0.85 【知识点】正方形折叠问题 【分析】根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有 4条边，并且这 4条边 还相等，从而可以进行从题后的答案中选择． 【详解】解：由题意知，对折实际上就是对称，对折 2次的话，剪下应有 4条边，并且这 4条 边还相等， 且每个角等于 90度， 其只有正方形满足这一条件． 故选 C． 【点睛】此题考查了利用对称设计图案以及菱形的判定，关键是根据对折实际上就是轴对称性 质的运用进行解答．也可动手折纸求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 7． 9 2 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和 HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】此题考查了正方形翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识； 先判定  Rt Rt HLDEG FEG≌ ，即可得出DG FG ，设DG为 x，则FG x ， 6BG x  ， 6AG x  ，由勾股定理得： 2 2 2BG AB AG  ，解方程得出 x的值，即可得到 AG的长． 【详解】解：如图，连接EG， 由折叠可得， 90C BFE   ， EF CE ，BC BF ， 90EFG D   ， E 是CD的中点， DE CE  ， EF DE  ， 又 GE GE ，  Rt Rt HLDEG FEG ≌ ， DG FG  ， 设DG为 x，则FG x ， 6BG x  ， 6AG x  ， 由勾股定理得： 2 2 2BG AB AG  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 即 2 2 2(6 ) 6 (6 )x x    ， 解得 3 2 x  ． 3 2 DG  ， 3 96 2 2 AG    ． 故答案为： 9 2 ． 8．6 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和 HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、根据正 方形的性质证明 【分析】由折叠的性质可得 ADE AFE△ ≌△ ，即可得到 DE EF，利用翻折变换对应边关 系得出 AB AF ， 90B AFG   ，利用HL定理得出 ABG AFG△ ≌△ ，得到BG GF ， 从而得到EG EF FG BG DE    ，由 12AB  ， 3CD DE ，得到 4, 8DE CE  ，设 BG x ，则 12CG x  ， 4GE x  ，利用勾股定理得出 2 2 2GE CG CE  ，即可求出BG． 【详解】解：在正方形 ABCD中， 12AD AB BC CD    ， 90D B BCD      ， 由折叠的性质可得 ADE AFE△ ≌△ ， AD AF  ， DE EF ， 90D AFE    ， AB AF  ， 90B AFG   ， 又 AG AG ，  HLABG AFG ≌ ， BG FG  ， 3 12CD DE AB   ，  4, 8DE CE  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 设BG x ，则 12CG x  ， 4GE x  ， 2 2 2GE CG CE  ，    2 2 24 12 8x x     ， 6x  ， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，三角形全等的判定与性质， 正方形的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题的关键． 9．7cm /7厘米 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA或者 AAS）、勾股定理与折叠问题、正方 形折叠问题 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，过 B点作 BK GF∥ 交 AD于K点，再根据折叠的性质可知FG AE ，可证Rt RtABK DAE≌ ，再由 勾股定理可求出 AK的长，由正方形的性质即可求解．解题的关键是根据题意作出辅助线，构 造出直角三角形． 【详解】解：过 B点作 BK GF∥ 交 AD于K点，交GF 于 J 点，由折叠的性质可知FG AE ， KF BG∥ ， BK AE  ，四边形 BGFK 为平行四边形， 13BK FG   ，在Rt ABK△ 中， 2 2 5AK BK AB   ， 90ABK BAE     ， 90DAE BAE   ， ABK DAE   ， 在Rt ABK△ 与Rt DAE中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 KAB ADE AB DA ABK DAE        Rt RtABK DAE ≌ ， 5AK DE   ，  12 5 7 cmCE CD DE      ． 故答案为：7cm． 10．2 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】由翻折的性质、正方形的性质、证明 BCG BFG△ ≌△ ，设CG x 可得FG x ， 3EG EF FG x    ， 6DG x  ，在Rt EDG△ 中，由勾股定理即可求解． 【详解】解： E是正方形 ABCD的边 AD中点，正方形 ABCD边长为 6， 3, 6AE DE AB BC     ， 由折叠可得， 3AE EF  ， 90A EFB GFB     ， AB BF ,BC BF BG BG  ， BCG BFG△ ≌△ ， CG FG  ， 设CG x ，则FG x ， 3EG EF FG x    ， 6DG x  ， 在Rt EDG△ 中， 2 2 2DEE GG D= + ，    2 223 3 6x x     ， 解得 2x  ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了翻折的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的证明，掌握翻折变 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 换的性质是解题的关键． 11．①②④ 【难度】0.65 【知识点】含 30度角的直角三角形、根据等边对等角证明、正方形折叠问题 【分析】①根据正方形性质得出 AB BC CD AD   ， 90ADC ABC BAD BCD       ，根据折叠得出MN垂直平分 AD， HA AB ，即 可证明DH DA HA  判定①正确； ②证明 ADH为等边三角形，得出 60ADH AHD DAH      ，根据等腰三角形得出  1 180 30 75 2 AHB ABH      ，求出 60 75 135BHD     ，即可判断②正确； ③根据折叠得出， BE HE ，根据直角三角形性质得出HE NE ，即可判断③错误； ④先求出 30HEN EHB EBH     ，根据直角三角形性质得出 2EH HN ，即可判断 ④正确． 【详解】解：①∵四边形 ABCD为正方形， ∴ AB BC CD AD   ， 90ADC ABC BAD BCD       ， 根据折叠可知，MN垂直平分 AD， HA AB ， ∴HA HD ， ∴DH DA HA  ，故①正确； ②∵DH DA HA  ， ∴ ADH为等边三角形， ∴ 60ADH AHD DAH      ， ∴ 90 60 30BAH     ， ∵ AH AB ， ∴  1 180 30 75 2 AHB ABH      ， ∴ 60 75 135BHD     ，故②正确； ③根据折叠可知， BE HE ， ∵ 90HBE  ， ∴ HNE△ 为直角三角形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∴HE NE ， ∴ BE NE ，故③错误； ④∵ 90 75 15EBH     ， 又∵EH EB ， ∴ 15EHB EBH    ， ∴ 30HEN EHB EBH     ， ∵ 90HNE  ， ∴ 2EH HN ， ∴ 2EB HN ，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，折叠性质， 解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 12． 45 /45度 24 5 或 8 7 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活 运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由折叠的性质，全等三角形的判定和性质可求解； （2）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵四边形 ABCD是正方形，∴ 90A C ABC     ， AB AC ，由 折叠的性质知 = = 90A BMP  ， ABP MBP   ， AB BM ，∴BC BM ， 90C BMQ    ，∵BQ BQ ，∴  Rt Rt HLBQM BQC≌ ，∴ MBQ CBQ   ， ∴ 1 45 2 PBQ PBM MBQ ABC       ， 故答案为： 45； （3）由折叠的性质可得 4cmDF CF  ， AP PM ， Rt RtBQM BQC ≌△ △ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 CQ MQ  ， 当点Q在线段CF上时， 2cmFQ  ， 2cmMQ CQ   ， 6cmDQ  ， 2 2 2PQ PD DQ  ， 2 2( 2) (8 ) 36AP AP     ， 24 5 AP  ； 当点Q在线段DF上时， 2cmFQ  ， 6cmMQ CQ   ， 2cmDQ  ， 2 2 2PQ PD DQ  ， 2 2( 6) (8 ) 4AP AP     ， 8 7 AP  ， 综上所述： AP的长为 24 cm 5 或 8 cm 7 ． 故答案为： 24 5 或 8 7 ． 13．（1） DGA BAG  ；（2）见解析；（3） 3 3 2PND S △ 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、正方形折叠问 题 【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形的特征即可求解； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 （2）根据EF垂直平分线段 AB，结合折叠的性质可得 1 2 BE BN ，如图所示，取BN 中点 H，连接 EH ，则 1 2 EH BH BE BN   ，证明 BEH△ 是等边三角形，得到 60ABN  ， 进而推出 60MNG NMG  ∠ ∠ ，即可证明 GMN 为等边三角形； （3）连接 AN，延长 PN 至点G，使得PN GN ，连接CG，由折叠的性质得 AB BN ， 易证 ABN为等边三角形，推出NP AB ，在Rt BPN△ 中，求出 1 1 2 BP BN  ， 3 3PN BP  ，易证 BNP CNG△ ≌△ ，推出D，C，G三点共线，即可得到 3DG CD CG   ，即可求解． 【详解】解：（1）四边形 ABCD是正方形，点 N 落在对角线BD上， 90ADG DAB   ， 90DGA DAG DAG BAG      ， DGA BAG  ， 故答案为： BAG （答案不唯一）； （2） EF 垂直平分线段 AB， 1 2 BE AE AB   ，EF BC∥ ， 90BEF  ， 由折叠的性质可知 AB BN ， ABM MBN   ， 90BNM A   ， 1 2 BE BN  ， 如图所示，取BN 中点 H，连接EH ， ∴ 1 2 EH BH BE BN   ， ∴ BEH△ 是等边三角形， ∴ 60ABN  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∴ 30MBN ABM  ∠ ∠ ， ∴ 60MNG NMG  ∠ ∠ GMN 为等边三角形； （3）连接 AN， 由折叠的性质得 AB BN ， 60ABC   ， ABN△ 为等边三角形， 2 4BC AB  ， 2BN AB   ， P 为 AB的中点， NP AB  ， 延长PN 至点G，使得 PN GN ，连接CG， 在Rt BPN△ 中， 60ABC  ， 1 1 2 BP BN   ， 3 3PN BP  ， 四边形 ABCD是平行四边形， 2 4BC AB  ， AB BN ， BN CN  ，  PN GN ， PNB GNC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14  BNP CNG△ ≌△ ， 90BPN CGN     ， CG BP ∥ ， D ，C，G三点共线， PN DG  ， 1CG BP  ， 3DG CD CG    ， 1 1 3 33 3 2 2 2PND S DG PN      △ ． 【点睛】本题考查了四边形综合问题，涉及正方形，矩形，平行四边形的性质，全等三角形的 判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的特征，折叠的性质，熟练掌握正方形， 矩形，平行四边形的性质是解题的关键． 14．(1) 2 :1 (2)见解析 (3) 2 :1 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、正方形折叠问 题 【分析】（1）根据折叠的性质可知四边形 ABEB为正方形， AD AE ，再结合勾股定理即 可求出 2AD AE AB  ，即 4A 纸的长宽之比为 2 :1； （2）由折叠可知 90PCE PC D    ， AEC ADC  ．根据正方形的性质可求出 45AEB  ，从而可求出 135ADC AEC    ，进而可求出 45C DP  ，即可证 DCP△ 是等腰直角三角形； （3）由将 4A 纸沿长边对开便成了两张 5A 纸，得出 4A 的宽为 5A 纸的长， 5A 纸的宽为 4A 长 的一半，再结合 4A 纸的长宽之比为 2 :1，即得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形 ABEB为正方形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∴ 2 2 2AE AB BE AB   ． 第二次折叠，得出 2AD AE AB  ， ∴ 2 2AD AB AB AB   ，即 4A 纸的长宽之比为 2 :1； （2）证明：由第二次折叠可知 90PCE PC D    ， AEC ADC  ． 由（1）可知四边形 ABEB为正方形， ∴ 45AEB  ， ∴ 135AEC  ， ∴ 135ADC   ． ∵ 90ADP  ， ∴ 45C DP  ， ∴ 45C DP C PD     ， ∴ DCP△ 是等腰直角三角形； （3）解：∵将 4A 纸沿长边对开便成了两张 5A 纸， ∴ 4A 的宽为 5A 纸的长， 5A 纸的宽为 4A 长的一半． ∵ 4A 纸的长宽之比为 2 :1， ∴ 5A 纸的长宽之比为 21: 2 :1 2  ． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角 形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的性质是解题关键． 15．(1) 5AP  ， 6CQ  (2)OE长度的最小值是2 29 41 ； (3)① 10 3 AP  ；②线段 AP的长为10 3 3 或 20 10 3 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 【难度】0.4 【知识点】二次根式的混合运算、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】（1）设 AP x ，则 8DP x  ，由折叠的性质可得 10BQ AB  ，PQ AP x  ， 由勾股定理可得 2 2CQ BQ BC  ， 2 2 2DQ PD PQ  ，即可求解； （2）连接OP、PE，根据矩形和折叠性质，结合勾股定理求得 41OP  ， 2 29PE  ， 再根据三角形的三边关系求解即可； （3）①过Q作GH BC 交 BC于G，交 AD于H ，取CQ的中点M ，连接 BM ，可证 BCM CDQ≌ ，从而可得CM DQ ，BM CQ ，设DQ x ，则有CM x ，设 BG y ， 则 10CG y  ，设 AP m ，则 PQ m ，由勾股定理可得 2 2 2CQ DQ CD  ， 2 2 2GQ CQ CG  ， 2 2 2PH HQ PQ  ，即可求解； ②分三种情况讨论，当CQ DQ 时，Q在CD的垂直平分线上，过Q作EF BC 交 BC于F ， 交 AD于 E，由勾股定理可得 2 2BF BQ FQ  ，设 AP a ，则 PQ a ，再由 2 2 2PE EQ PQ  ，即可求解；当CQ CD 时，过Q作EF BC 交 BC于F ，交 AD于E， 同理可求解，当DC DQ 时，Q与A重合，不符合题意． 【详解】（1）解：四边形 ABCD是矩形， 10CD AB   ， 8BC AD  ， 90C D    ， 设 AP x ，则 8DP x  ， 由折叠得： 10BQ AB  ， PQ AP x  ， 在Rt BCQ△ 中： 2 2CQ BQ BC  2 210 8  6 ， DQ CD CQ   10 6 4   ， 在Rt PDQ△ 中： 2 2 2DQ PD PQ  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 即：  22 24 8 x x   ， 解得： 5x  ， 5AP  ； 故： 5AP  ， 6CQ  ； （2）解：连接OP、PE， ∵四边形 ABCD是矩形， 8AD  ， ∴ 8AD BC  ， 90BAC ADC   ， ∵点O、 P分别是边CD、 AD的中点， ∴ 1 4 2 AP PD AD   ， 1 5 2 OC OD CD   ， ∴ 2 2 2 24 5 41OP PD OD     ， 由折叠性质得 = = 4PF AP ， 10EF AB  ， 90F A   ， ∴ 2 2 2 24 10 2 29PE PF EF     ， ∵ 2 29 41OE PE OP    ， 当点 O、P、E共线时取等号，OE长度的最小值是 2 29 41 ； （3）解：①如图，过Q作GH BC 交 BC于G，交 AD于H ，取CQ的中点M ，连接 BM ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18  90PHQ DHQ    ， 四边形 ABCD是正方形， 90BCD ADC    ， BC CD ， 四边形CDHG是矩形， 90BCM DCQ   ， 10GH CD   ， 90CGQ  ， 由折叠得： BQ BA ， BC BQ  ， BM CQ  ， 90BMC CQD    ， 90CBM BCM   ， CBM DCQ   ， 在 BCM 和 CDQ中 CBM DCQ BMC CQD BC CD         ，  BCM CDQ≌ (AAS )， CM DQ  ， BM CQ ， 设DQ x ，则有CM x ， 2BM CQ x   ， 在Rt CQD△ 中： 2 2 2CQ DQ CD  即：  2 2 22 10x x  ， 解得： 2 5x  ， 2 5CM  ， 4 5BM CQ  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 设 BG y ，则 10CG y  ， 在Rt BGQ中： 2 2 2GQ BQ BG  2100 y  ， 在Rt CGQ中： 2 2 2GQ CQ CG   280 10 y    22100 80 10y y     解得： 6y  ， 6BG  ，CG 4 ， 4DH CG   ， 2100 6 8GQ    ， HQ GH GQ   10 8  2 ， 设 AP m ，则 PQ m ， PH AD AP DH   10 4m   6 m  ， 在Rt PHQ△ 中： 2 2 2PH HQ PQ  即：  2 2 26 2m m   ， 解得： 10 3 m  ； 故 AP的长为 10 3 ； ②当CQ DQ 时， Q 在CD的垂直平分线上， 如图，过Q作EF BC 交 BC于F ，交 AD于E， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20  90BFQ PEQ    ， 由（2）同理可证： 四边形CDEF是矩形，  DE CF ， 10EF CD  ， EF CD∥ ， 1 5 2 EQ FQ EF    ， 在Rt BFQ△ 中： 2 2BF BQ FQ  2 210 5  5 3 ， CF BC BF   10 5 3  ， 10 5 3DE   ， 设 AP a ，则 PQ a ，  PE AD AP DE    10 10 5 3a    5 3 a  ， 在Rt PEQ△ 中： 2 2 2PE EQ PQ  ， 即：  2 2 25 3 5a a   ， 解得： 10 3 3 a  ， 故 10 3 3 AP  ； 当CQ CD 时， 如图，如图，过Q作EF BC 交 BC于F ，交 AD于E， 10AQ BQ   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 1 5 2 BF AB   ， 5AE  ， 在Rt BFQ△ 中： 2 2FQ BQ BF  2 210 5  5 3 ， EQ EF FQ   10 5 3  ， 设 AP a ，则 PQ a ，  PE AE AP  5 a  ， 同理可得：    22 25 10 5 3a a    ， 解得： 20 10 3a   ， 故 20 10 3AP   ； 当DC DQ 时， Q与A重合，不符合题意； 综上所述：当 CDQ为等腰三角形时， AP的长为10 3 3 或 20 10 3 时． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性 质，勾股定理，等腰三角形的性质等，掌握相关的性质及判定方法，能根据折叠性质将已知条 件转化到直角三角形中用勾股定理求解的典型解法，根据等腰三角形的腰不同进行分类讨论是 解题的关键．