【专项练】与三角形中位线有关的证明与应用-鲁教版五四制八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 与三角形中位线有关的证明与应用 1．如图，点 A， B为定点，定直线 l AB∥ ， P是 l上一动点，点M ，N 分别为 PA， PB的 中点，对于下列各值：①线段MN的长；② PAB的周长；③ APB 的大小；④直线MN， AB之间的距离．其中会随点 P的移动而不改变的是（ ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 2．如图，在四边形 ABCD中，点 M是 AD上动点，点 N是CD上一定点，点 E、F分别是 BM 、 NM 的中点，当点 M从点 A向点 D移动时，下列结论一定正确的是（ ） A．线段 EF的长度逐渐减小 B．线段 EF的长度逐渐增大 C．线段 EF的长度不改变 D．线段 EF的长度不能确定 3．如图，A、 B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、 B间的距离；先在 AB外选 一地点C，然后测出 AC，BC的中点M 、N ，并测量出MN的长为10m，由此他就知道了 A、 B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（ ） A． 20mAB  B． ∥MN AB C． 1 2 CM AC D． 1 2 MN CB 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4．图 1是一张等腰直角三角形纸片，直角边的长度为 2cm，用剪刀沿一直角边和斜边的中点 连线（图中虚线）剪开后，拼成如图 2的四边形，则该四边形的周长为（ ） A．6cm B．4cm C．（4+2 2）cm D．（4+ 2）cm 5．如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC、BD交于点O，DE平分 ADC 交 AB于点E， 交 AC于点 F ， 60BCD  ， 1 2 AD AB ，连接OE．下列结论：① ； ②DB平分 CDE ；③ AO DE ；④OE AD∥ ．其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，△ABC的周长是 2，以它的三边中点为顶点组成第 1个三角形 1 1 1A BC△ ，再以 1 1 1A BC△ 的三边中点为顶点，组成第 2个三角形 2 2 2A B C△ ，…，则第 n个三角形的周长为（ ） A． 1 1 2n B． 1 2n C． 2 2 2n D． 1 1 2n 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 7．如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC、BD交于点 O，AE平分∠BAD交 BC于点 B，且 60ADC  ， 1 2 AB BC ，连接 OE，下列结论：① 90CAD  ；② 1 2ABCD S AB AC □ ； ③OB AB ；④ 1 4 OE BC ，成立的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点 F，D为 AB的中点，连接 DF延长交 AC于点 E．若 AB＝20，BC＝32，则线段 EF的长为 ； 9．如图，BD是△ABC的内角平分线，CE是 ABCV 的外角平分线，过A分别作 AF BD 、 AG CE ，垂足分别为F 、G，连接 FG，若 6AB  ， 5AC  ， 4BC  ，则 FG的长度 为 ． 10．如图，在 ABCD中， 8cmAD  ，点E，F 分别从点A，B同时出发，沿 AD，BC方 向以相同的速度运动（分别运动到点D，C即停止）， AF 与 BE相交于点G，CE与DF相 交于点H ．则在此运动过程中，线段GH的长始终等于 cm． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 11．如图，等腰△ABC中，AB AC ，AQ PQ ，PR PS ，PR AB 于点 R，PS AC 于点 S，则下列结论： ① AP BC；②QP // AB；③ BPR QPS≌△ △ ；④ AQ CQ 中一定正确的有 ．（填 写所有正确序号） 12．如图，DE是△ABC的中位线，将△ABC沿线段 DE折叠，使点 A落在点 F处，若∠B= ， ∠BDF= ，那么 与 的数量关系为 ． 13．如图，图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到第 2个图形（图②），再连 接图②中间小三角形三边的中点得到第 3个图形（图③），…，依此规律进行下去，则第  1n n  个图形中有 个平行四边形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 14．【综合与实践】 任务 如图 1，测出水池 A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量 工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这 两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 O处，对其 视线可及的 P， Q两点，可测得 POQ 的大小． 小明的测量及求解过程 测量 过程 （1）如图 2， 水池外选点 C， 用皮尺测得 m, mAC a BC b  ； （2）分别在 AC BC， 上用皮尺测得 , 2 2 a bCM m CN m  ，测得 mMN c ． 求解 过程 由测量可知： ∵ m, mAC a BC b  ， , 2 2 a bCM m CN m  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴点 M是 AC的中点， 点 N是 BC的中点， ∴MN是△ABC的______ ∵ mMN c ， ∴ AB ______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池 A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求 水池 A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度 用字母 a，b，c，…表示，测量次数不超过 3次）． 15．如图，在Rt ABC△ 中， 90A  ， AB AC ，点D，E分别在 AB， AC上，且 AD AE ．连接DE，CD，M ， N 分别为DE，CD的中点． (1)如图 1，请直写出MN与 BD的数量关系； (2)如图 2，将△ADE若旋转至如图位置时，（1）中结论是否依然成立？并说明理由； (3)若 2AD  ， 5AB  ，直接写出将△ADE绕点A在平面内旋转过程中MN的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 与三角形中位线有关的证明与应用 1．B 【难度】0.94 【知识点】与三角形中位线有关的证明 【分析】根据三角形中位线定理判断即可． 【详解】解：∵点M ，N 分别为 PA， PB的中点， ∴ 1 2 MN AB ，MN AB∥ ， ∴线段MN的长不变，直线MN， AB之间的距离不变，故①④符合题意， 而 PA、PB的长随点 P的运动而改变， APB 的大小随点 P的运动而改变，故②③不符合题 意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 2．C 【难度】0.85 【知识点】与三角形中位线有关的证明 【分析】连接BN ，可证 1 2 EF BN ，由此可解． 【详解】 解：连接BN ， N 是定点， BN 是定值， 点 E、F分别是 BM 、NM 的中点， 1 2 EF BN  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 EF 是定值． 故选：C． 3．D 【难度】0.85 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解 答实际问题的能力．根据三角形的中位线定理即可判断； 【详解】解： CM MA ，CN NB ， MN AB ， 1 2 MN AB ， 10mMN  ， 20mAB  ， 故 A、B、C正确，不符合题意， 故选：D． 4．C 【难度】0.85 【知识点】三角形中位线的实际应用、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】计算剪开前△ADE的各边的长度，即可求得拼成的四边形的周长． 【详解】如图所示： 由题意可得：在图 1中，BC＝AC＝2cm， ∵D、E分别是 AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AE＝DE＝ 12 BC＝1cm， ∵△ABC等腰直角三角形，且直角边的长度为 2cm， ∴由勾股定理得： 2 2 2 22 +2 2 2AB BC AC    （cm）， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∵D是 AB的中点， ∴AD＝BD＝ 1 2 2 AB  （cm）， ∵在图 2中，AC＝1cm， ∴四边形的周长为：AB+BD+DE+AE＝AC+BC+BD+DE+AE＝1+2+ 2 +1+ 2＝（4+2 2）cm． 故选：C． 【点睛】本题考查图形的割补，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理， 三角形中位线定理的应用是关键． 5．C 【难度】0.85 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性 质 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定以及性质，三角形中位线的判定以 及性质． 证得△ADE 是等边三角形，由等边三角形的性质得出 1 2 AD AE AB  ，求得 90ADB  ， 即 AD BD ，即可得到 ABCDS AD BD  ；依据 60CDE  ， 30BDE  ，可得 CDB BDE  ，进而得出DB平分 CDE ；依据Rt AOD中， AO AD ，即可得到 AO DE ；由三角形的中位线定理可得出OE AD∥ ，则可得出结论． 【详解】解：∵四边形 ABCD是平行四边形， 60BCD   ∴ 60BAD BCD   ， 120ADC  ， ∵DE平分 ADC ， ∴ 1 60 2 ADE ADC BAD       ， ∴ 60DEA  ， △ADE 是等边三角形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 1 2 AD AE AB   ， E 是 AB的中点， DE BE  ， 1 30 2 BDE AED    ， 90ADB  ，即 AD BD ， ABCDS AD BD   ，故①符合题意； 60CDE   ， 30BDE  ， CDB BDE   ， DB 平分 CDE ，故②符合题意； Rt AOD △ 中， AO AD ， AO DE  ，故③不符合题意； O 是BD的中点，E是 AB的中点， OE 是 ABD△ 的中位线， OE AD ∥ ， 故④符合题意， 所以正确的有：①②④． 故选：C． 6．A 【难度】0.65 【知识点】三角形中位线的实际应用、图形类规律探索 【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，即可得到答案． 【详解】解：△ABC 的周长是 2，以它的三边中点为顶点组成第 1个三角形 1 1 1A BC△ ，  1 1 1 2 AB BC ， 1 1 1 2 AC AC ， 1 1 1 2 BC AB ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5  1 1 1A BC△ 的周长为  1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 A B AC BC BC AC AB        ，  2 2 2A B C△ 的周长为 2 1 12 2 2   ， … 以此类推，第 n个三角形的周长为 1 1 12 2 2n n   ， 故选：A． 【点睛】本题考查了找规律-图形的变化类，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线 等于第三边的一半是解题的关键． 7．A 【难度】0.65 【知识点】三角形中位线的实际应用、利用平行四边形的性质证明、等边三角形的判定和性质 【分析】由▱ ABCD中，∠ADC＝60°，易得 ABE是等边三角形，又由 AB＝ 12 BC，证得①∠CAD ＝30°；继而证得 AC⊥AB，得②S▱ ABCD＝AB⋅ AC；可得 OE是三角形的中位线，证得④OE ＝ 1 4 BC 【详解】解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝60° ∴ ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝BE， ∵AB＝ 12 BC， ∴AE＝ 12 BC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠CAD＝30°，故①错误； ∵AC⊥AB， ∴S▱ ABCD＝AB⋅ AC，故②错误； ∵AB＝ 12 BC，OB＝ 1 2 BD， ∵BD＞BC， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴AB≠OB，故③错误； ∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD / /BC， ∴∠EAC＝∠ACE＝30°， ∴AE＝CE， ∴BE＝CE， ∵OA＝OC， ∴OE＝ 12 AB＝ 1 4 BC，故④正确； 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注 意证得 ABE是等边三角形，OE是 ABC的中位线是关键． 8．6 【难度】0.65 【知识点】三角形中位线的实际应用、全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA或者 AAS） 【分析】延长 AF交 BC于 G，证明△ABF≌△GBF，根据全等三角形的性质得到 BG＝AB＝20， AF＝FG，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长 AF交 BC于 G， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠GBF， 在△ABF和△GBF中， ∵ ABF GBF BF BF AFB GFB        ， ∴△ABF≌△GBF（SAS）， ∴BG＝AB＝20，AF＝FG， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∴GC＝BC−BG＝12， ∵D为 AB的中点， ∴DF是 ABG的中位线， ∴DE∥BC， ∴EF是 ACG的中位线， ∴EF＝ 12 CG＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平 行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 9． 3 2 【难度】0.65 【知识点】三角形中位线的实际应用、全等三角形综合问题、三角形的角平分线、垂线的定义 理解 【分析】延长 AF交 BC延长线于 H，延长 AG交 BC延长线于 I，由 BD平分∠ABC，AF⊥BF， 可得∠CBF=∠ABF，∠HFB=∠AFB=90°，可证△HBF≌△ABF（ASA），可得 BH=BA=6，HF=AF， 由 CE平分∠ACI，AG⊥CE，可得∠ICG=∠ACG，∠IGC=∠AGC=90°，可证△ICG≌△ACG （ASA），可得 CI=CA=5，IG=AG,可证 FG为△AHI的中位线即可． 【详解】解：延长 AF交 BC延长线于 H，延长 AG交 BC延长线于 I， ∵BD平分∠ABC，AF⊥BF， ∴∠CBF=∠ABF，∠HFB=∠AFB=90°， 在△HBF和△ABF中， HBF ABF BF BF HFB AFB        ， ∴△HBF≌△ABF（ASA）， ∴BH=BA=6，HF=AF， ∵CE平分∠ACI，AG⊥CE， ∴∠ICG=∠ACG，∠IGC=∠AGC=90°， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 在△ICG和△ACG中， ICG ACG CG CG IGC AGC         ， ∴△ICG≌△ACG（ASA）， ∴CI=CA=5，IG=AG， ∴IH=BC+CI-BH=4+5-6=3， ∵HF=AF，IG=AG， ∴FG为△AHI的中位线， ∴FG= 1 1 33 2 2 2 HI    ． 故答案为 3 2 ． 【点睛】本题考查角平分线定义，垂线定义，三角形全等判定与性质，三角形中位线性质，线 段和差，本题难度不大，训练画图构思能力，通过辅助线画出准确图形是解题关键． 10． 4 【难度】0.65 【知识点】三角形中位线的实际应用、平行四边形性质和判定的应用 【分析】由平行四边形的性质得出 AD BC ， //AD BC，得出四边形 ABFE 和四边形 EFCD 都是平行四边形，则 AG GF ，DH FH ，由三角形中位线定理可得出答案． 【详解】解：四边形 ABCD是平行四边形， AD BC  ， AD BC∥ ， 点E，F 分别从点 A， B同时出发，沿 AD， BC方向以相同的速度运动， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 AE BF  ， DE CF  ， 四边形 ABFE 和四边形 EFCD都是平行四边形， AG GF  ，DH FH ， 1 2 GH AD  ， 8cmAD  ， 4cmGH  ． 故答案为： 4． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形 ABFE 和四 边形 EFCD是平行四边形是解题的关键． 11．①②④ 【难度】0.65 【知识点】三角形中位线的实际应用、三线合一、全等三角形综合问题 【分析】根据已知条件证得△PBR≌△PCS求得 PB=PC，由等腰三角形三线合一的特征可得 AP⊥BC，∠BAP=∠CAP；由∠PAR=∠APQ，可得结论②；由 QP是△CAB的中位线，可得结 论④；结论③仅一边一角对应相等，无法判定全等； 【详解】解：△PBR和△PCS中，AB=AC，则∠B=∠C，∠PRB=∠PSC=90°，PR=PS， ∴△PBR≌△PCS， ∴PB=PC， △ABC是等腰三角形， ∴AP⊥BC，结论①正确， ∴∠BAP=∠CAP， ∵QA=QP，则∠PAQ=∠APQ， ∴∠PAR=∠APQ， ∴QP∥AB，结论②正确， P为 BC中点，则 QP是△CAB的中位线， ∴AQ=CQ，结论④正确， △BPR和△QPS中仅有一边一角对应相等，不满足全等的判定条件，结论③判断错误， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的 中位线；掌握全等三角形的判定和等腰三角形的性质是解题关键． 12． 2 180    【难度】0.65 【知识点】三角形中位线的实际应用、三角形折叠中的角度问题 【分析】根据三角形中位线定理得到 DE∥BC，根据平行线的性质得到∠ADE=∠B=α，根据折 叠的性质、平角的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=α， 由折叠的性质可知，∠FDE=∠ADE=α， ∵∠FDE+∠ADE+∠BDF=180°， ∴2α+β=180°， 故答案为：2α+β=180°． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、翻转变换的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半是解题的关键． 13．3 3n 【难度】0.65 【知识点】三角形中位线的实际应用、利用平行四边形的性质求解、图形类规律探索 【分析】分别数出图①、图②、图③中的平行四边形的个数，可以发现：第几个图形中平行四 边形的个数就是 3与 n-1的乘积．如图③中平行四边形的个数为 6=3×（3-1）．按照这个规律 即可求出第 n各图形中有多少平行四边形． 【详解】解：分别数出图①、图②、图③中的平行四边形的个数， 图①中平行四边形的个数为 0=3×（1-1）； 图②中平行四边形的个数为 3=3×（2-1）； 图③中平行四边形的个数为 6=3×（3-1）； … 可以发现，第几个图形中平行四边形的个数就是 3与 n-1的乘积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 按照这个规律，第 n个图形中共有平行四边形的个数为 3n-3． 故答案为；3n-3． 【点睛】本题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根 据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律． 14．(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， m 2 cAB  【难度】0.65 【知识点】含 30度角的直角三角形、三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含 30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点 A处测出 90BAP  ，在射线 AP上找一点 G，用测角仪测出 30AGB  ， 然后用皮尺测量出 mBG c ，利用含 30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵ m, mAC a BC b  ， , 2 2 a bCM m CN m  ， ∴点 M是 AC的中点， 点 N是 BC的中点， ∴MN是△ABC 的中位线， ∵ mMN c ， ∴ 2 mAB c ． （2）解：由（1）可知小明测出水池 A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ’ 90 , 30 , mBAP AGB BG c       ， 1 m 2 2 cAB BG   ． 15．(1) 1 2 MN BD (2) 1 2 MN BD ，见解析 (3) 7 2 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、三角形中位线的实际应用 【分析】（1）由 AB AC ， AD AE ，可得BD CE ，根据中位线的判定和性质可得 1 2 MN CE ，故 1 2 MN BD ； （2）根据全等三角形的判定和性质可得BD CE ，根据中位线的判定和性质可得 1 2 MN CE ， 故 1 2 MN BD ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 （3）将△ADE 绕点A在平面内旋转过程中，同（2）可证 1 2 MN CE ， 1 2 MN BD ，由 2AD  ， 5AB  ，可知当D，A， B共线，且D在BA的延长线上时，BD最大，BD的最大值即为 7AD AB  ， 即可求得MN的最大值是 7 2 ． 【详解】（1）解： 1 2 MN BD ；理由如下： ∵ AB AC ， AD AE ， ∴ AB AD AC AE   。 即BD CE ， ∵M ，N 分别为DE，CD的中点， ∴MN是 CDE的中位线， ∴ 1 2 MN CE ， 故 1 2 MN BD ． （2）解： 1 2 MN BD ，理由如下： ∵ 90BAC DAE    ， ∴ BAD DAC EAC DAC     ， ∴ BAD CAE  ， 又∵ AB AC ， AD AE ， ∴ ABD ACE≌△ △ ∴BD CE ∵M ，N 分别为DE，CD的中点， ∴MN是 CDE的中位线， ∴ 1 2 MN CE ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 故 1 2 MN BD ． （3）解：如图： 将△ADE 绕点A在平面内旋转过程中，同（2）可证 1 2 MN CE ， 1 2 MN BD ∴当BD最大时，MN最大， ∵ 2AD  ， 5AB  ， ∴当D，A，B共线，且D在BA的延长线上时，BD最大，BD的最大值即为 7AD AB  ， 如图： 此时 1 7 2 2 MN BD  ， ∴MN的最大值是 7 2 ． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握以上判定和性质是 解题的关键．