【专项练】直角三角形斜边中线性质的应用-鲁教版五四制八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 直角三角形斜边中线性质的应用 1．A 【难度】0.94 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求 解即可． 【详解】解：∵MO， NO恰好互相垂直， ∴ 90MON  ， ∵ P为MN的中点， ∴ 1 0.5km 2 OP MN  ， 故选：A． 2．B 【难度】0.85 【知识点】在网格中判断直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线．先根据勾股定理的逆定理 得到 90BAC  ，然后利用直角三角形的斜边上的中线等于写变得一半解题即可． 【详解】解：依题意， 2 22 6 2 10AB    ， 2 21 3 10AC    ， 2 21 7 5 2BC    ， ∴ 2 2 2AB AC BC  ， ∴ 90BAC  ， 又∵ AD为 ABC 的中线， ∴ 1 5 2 2 2 AD BC  ， 故答案为：B． 3．D 【难度】0.85 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、等边对等角、斜边的中 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 线等于斜边的一半 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得 35C  ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半可得 1 2 DE CE AC  ，由等边对等角可得 35EDC C    ，再利用三角形外角的 性质即可得出答案． 【详解】解：∵ 90BAC  ， 55B  ， ∴ 90 55 35C       ， ∵ AD BC ，点 E为 AC中点， ∴ 1 2 DE CE AC  ， ∴ 35EDC C    ， ∴ 35 35 70AED EDC C       ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半，等边对等角，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题 的关键． 4．D 【难度】0.85 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 1 2 OP AB ，从而得出答案． 【详解】解：∵ AO BO ，点 P是 AB的中点， ∴ 90AOB  ，OP是斜边 AB的中线， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴ 1 1 55 2 2 2 OP AB    米， ∴在滑动的过程中OP的长度不变． 故选 D． 5．B 【难度】0.85 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、三线合一、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连 接 AF ，可得 AF BD ，再利用等角的余角相等，证明 EAF EFA   ，从而得 EA EF ， 即可解答． 【详解】解：连接 AF ， AB AD ，F 是BD的中点， AF BD  ， 90AFD  ， 90EAF C   ， 90AFE EFC   ， EF EC ， EFC C  ， EAF AFE   ， EA EF  ， 1 4 2 EF EA EC AC     ， 故选：B． 6．B 【难度】0.85 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半，可以计算出CD的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点 A B、 对应的刻度为1 7、， ∴  7 1 6 cmAB    ， ∵ 90ACB  ，点D为边 AB的中点， ∴  1 3 cm 2 CD AB  ， 故选：B． 7．3 【难度】0.65 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据三角形中位线的性质可得 1 6 2 DE BC  ，根据直角三角形斜边中线的性质可得 1 1 6 3 2 2 DF AB    ，由此可解 6 3 3EF EF DF     ． 【详解】解：因为：点D E、 分别是边请 AB、 AC的中点， 所以：DE为 ABC 中位线， 所以： 1 6 2 DE BC  ， 因为： 90AFB  ， 所以：D为直角三角形斜边中线， 所以： 1 1 6 3 2 2 DF AB    ， 由此可解 6 3 3EF EF DF     ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握：三 角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半；直角三角形斜边中线等于斜边的一半． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 8．36 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、 斜边的中线等于斜边的一半 【分析】连接DE，如图所示，证得DG是线段CE的垂直平分线，得到DE DC ，则有 DEG DCG   ，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到BE DE ，从而 B EDB  ，结合三角形外角性质有 2BDE DCG   ，最后根据三角形内角和定理得到 3 126 180    ，解方程求出 18  ，从而得到 B 的度数． 【详解】解：连接DE，如图所示：  DG CE^ 于点G，且EG GC ，  DG是线段CE的垂直平分线， DE DC  ， DEG DCG  ， 在Rt ABD△ 中， 90ADB  ，CE是 AB边上的中线， BE DE  ， B EDB   ，  BDE 是 CDE的一个外角， 2BDE DCG   ， 设 DCG   ，则 2B   ， 在 BCE中， 126BEC  ，根据三角形内角和定理可得3 126 180    ， 解得 18  ， 2 36B    ， 故答案为：36． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【点睛】本题考查三角形中求角度问题，涉及垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边上中 线等于斜边的一半、外角性质及三角形内角和定理等知识，根据题意准确作出辅助线，并灵活 运用相关几何判定与性质是解决问题的关键． 9．3 【难度】0.65 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质， 熟练掌握相关性质是解答的关键．先根据等腰三角形的三线合一性质和直角三角形斜边上的中 线性质得到 2 6AB DE  ，再利用三角形的中位线性质求解即可． 【详解】解：∵ AB AC ，点 D是 BC的中点， ∴ AD BC ，即 90ADB  ， ∵点 E是 AB的中点， 3DE  ， ∴ 2 6AB DE  ， 又∵点 N是 AD的中点，点 M是 BD的中点， ∴MN是 ABD△ 的中位线， ∴ 1 3 2 MN AB  ， 故答案为：3． 10．120 /120度 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、斜边的中线等于斜边的一半、折叠问题 【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，涉及三角形的内角和定理的应用，解题的关键是 掌握折叠的性质． 由 90ACB  ， 40B  ，得 50A  ，根据D是斜边 AB的中点，得 50ACD A   ， 可得 180 80ADC ACD A     ，而将 ACD沿CD对折，使点A落在点 A处，有 60CDA ADC    ，即知 180 20BDE CDA ADC       ，从而可得答案． 【详解】解： 90ACB   ， 40B  ， 50A  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 D 是斜边 AB的中点， 1 2 CD AB AD   ， 50ACD A   ， 180 80ADC ACD A       ， 将 ACD 沿CD对折，使点A落在点 A处， 80CDA ADC    ， 180 20BDE CDA ADC       ， 180 180 20 40 120BED BDE B             ， 故答案为：120． 11． 5 【难度】0.65 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角 形 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，熟记三角形中位线 等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线求出 AC，根据勾股定理求出 AD，再根据三角形中位线定理求出 EF． 【详解】解：在Rt ABC△ 中， 90ABC  ，E是 AC的中点， 3BE  ， 则 2 2 3 6AC BE    ， 由勾股定理得： 2 2 2 26 4 2 5AD AC CD     ， ∵E是 AC的中点，F是CD的中点， ∴EF是 ADC△ 的中位线， ∴ 1 5 2 EF AD  ． 故答案为： 5 ． 12．8 【难度】0.65 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段 长 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟 练掌握矩形的判定与性质，求出CP的最小值是解题的关键． 连接 AC、CP、 AP，由勾股定理求出 10AC  ，再由直角三角形斜边上的中线性质得 1 2 2 AP EF  ，然后证明四边形PGCH是矩形，得GH CP ，当 A、P、C三点共线时，CP 最小 10 2 8AC AP     ，即可求解． 【详解】解：连接 AC、CP、 AP，如图所示： ∵四边形 ABCD是矩形， ∴ 6BC AD  ， 90BAD B CÐ = Ð = Ð = °， 2 5 2 28 6 10AC AB BC      ， ∵P是线段EF的中点， 4EF  ， ∴ 1 2 2 AP EF  ， ∵PG BC ，PH CD ， ∴ 90PGC PHC    ， ∴四边形PGCH是矩形， ∴GH CP ， 当 A、P、C三点共线时，CP最小 10 2 8AC AP     ， ∴GH的最小值是 8， 故答案为：8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 13．(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，准确识图，熟练 掌握直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． （1）根据 AM BM 得 MAB MBA   ，再根据 90ABC  得 MBC MCB   ，则 BM CM ，进而得 BM CM AM  ，由此可以得出结论； （2）连接DM ，根据直角三角形斜边中线的性质得 1 2 DN AM CM AC   ，即可得到答 案． 【详解】（1）证明：∵ AM BM ， ∴ MAB MBA   ， ∵ 90ABC  ， ∴ 90MAB MCB   ， 90MBC MBA   ， ∴ MBC MCB   ， ∴ BM CM AM  ， 即 M是 AC的中点 ， （2）证明：∵ 90ADC  ，M是 AC的中点， ∴ 1 2 DM AC AM  ， ∴BM DM ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 14．(1) 1 2 AD BC ； (2)2 3 1 2 3 1AP    ； (3)51100元． 【难度】0.4 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定和性质、旋转模型(全等三角形的 辅助线问题)、最短路径问题 【分析】（1）根据直角三角形中线定理求解即可； （2）等边三角形“三线合一”得到 BD AD BC、 ，用勾股定理求解 AD，则 AD DP AP AD DP    ，可求线段 AP长度的取值范围； （3）将 ABP顺时针旋转60得到 AEF△ ，可证得 AFP AEB、 都是等边三角形，则 AP BP PQ FP EF PQ EQ      ，点Q在以CD为直径的圆上， 100 3mr DQ  ， 求解EH 、HO，得到OE长度，此时 min( )AP BP PQ OE OQ    ，则最小费用可求． 【详解】（1）解：在Rt ABC△ 中， 90BAC  ，D为 BC中点， 1 2 AD BC  ． （2）连接 AD，如图： D 为 BC中点， 1 2, 2 BD CD BC AD BC     ， 在Rt ABD△ 中， 2 2 2 3AD AB BD   ， 1DP  ， AD DP AP AD DP     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 即 2 3 1 2 3 1AP    ． （3）将 ABP顺时针旋转60得到 AEF△ ， 则 60 , , ,FAP EAB AF AP AE AB BP EF        ， AFP AEB 、 都是等边三角形， AP FP  ， AP BP PQ FP EF PQ EQ       ． 90DQC   ， 点Q在以CD为直径的圆上，则 1 100 3m 2 r OQ AB   ， 取CD中点O，连接OE，OQ，交 AB于H ，则H 为 AB中点， ∴ = 3 300mEH AH  ， ∵ 1= , , 90 2 AH DO AB AH DO HAD   ， ∴四边形 ADOH 为矩形， = 600mHO AD  ， 900mOE EH HO    ， min( ) 900 100 3(m)AP BP PQ OE OQ       ， 该风景区铺设赏花小路的最少费用为：70 (900 100 3) 51100   元． 【点睛】本题考查线段最短问题、三角形中线定理、等边三角形的判定和性质、旋转的性质、 勾股定理等，掌握知识点、做出正确图形是解题关键． 15．(1)证明见解析 (2)①作图见解析；②证明见解析 (3) ABE 的值为10或50或70或110 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 【难度】0.4 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、 全等的性质和 SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据直角三角形的性质及等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）①根据等边三角形的定义，按照题目要求求解即可得到结论；②连接EM ，根据直角三 角形的性质得到CM AM BM  ，根据等边三角形的性质得到 60AMC ACM   ， CA CM ，得到 ACD MCE  ，根据等边三角形的性质得到 60A CME    ，根据 线段垂直平分线的性质得到结论； （3）分四种情形：如图3 1 中，当BE BF 时，设 EBC ECB x   ，如图3 2 中，当 FE FB 时，设 EBC ECB FEB m     ，如图3 3 中，当BE BF 时，设 EBC ECB n   ，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）证明： 90ACB   ，M 为 AB中点， 1 2 CM AM AB   ， 60A   ， CAM 是等边三角形； （2）①解：如图所示： 等边 CDE即为所求； ②证明：连接EM ，如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 AM BM ， 90ACB  ， CM AM BM   ， 60A   ， ACM 是等边三角形， 60AMC ACM   ，CA CM ， CDE 是等边三角形， 60ACM DCE   ，CD CE ， ACD MCE  ， 在 ACD和 MCE△ 中， CA CM ACD MCE CD CE       ， (SAS)ACD MCE ≌△ △ ， 60A CME   ， 60CME BME   ， MC MB ， ME 垂直平分线段 BC， EC EB  ； （3）解：如图3 1 中，当BE BF 时，设 EBC ECB x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 则 160 (180 ) 2 BFE x x      ， 20x  ， 30 20 50ABE ABC CBE       ； 如图3 2 中，当 FE FB 时，设 EBC ECB FEB m     ， 则 60 180 2EFB m m     ， 40m  ， 30 40 70ABE ABC EBC       ； 如图3 3 中，当BE BF 时，设 EBC ECB n   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 则有 1 60 (180 2 ) 2 BEF n n       ， 80n  ， 30 80 110ABE ABC EBC       ； 如图3 4 中，当 FE FB 时，设 ABE z  ，则 30EBF FEB ECB z      ， 60 2CFE FEB FBE z     ， 120CEF  ， 30 60 2 60z z     ，解得 10z  ， 综上所述， ABE 的值为10或50或70或110． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形性质、等边三角形的判定和性质、尺规作 图作相等线段、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的性 质及角的和差倍分关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴 题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 直角三角形斜边中线性质的应用 1．某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径MO，NO恰好互相垂直，小径MN 的中点 P与点O被湖隔开，若测得小径MN的长为1km，则 P，O两点距离为（ ） A．0.5km B．0.75km C．1km D．2km 2．如图，在5 7 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C都在格点上，AD为 ABC 的中线，则 AD的长为（ ） A． 5 2 4 B． 5 2 2 C． 5 10 4 D． 5 10 2 3．如图，在 ABC 中， 90BAC  ，AD BC ，点 E为 AC中点，连接DE，若 55B  ， 则 AED 的度数为（ ） A．55 B．60 C．65 D．70 4．如图，一根长 5米的梯子 AB斜靠在与地面OC垂直的墙上，P为 AB的中点，当梯子的一 端 A沿墙面 AO向下移动，另一端 B沿OC向右移动时，OP的长（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 5．如图，△ ABC中， 8AC  ，点D，E分别在 BC，AC上，F 是BD的中点．若 AB AD ， EF EC ，则EF的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．一技术人员用刻度尺（单位，cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知 90ACB  ， 点D为边 AB的中点，点 A B、 对应的刻度为1 7、，则CD （ ） A．3.5cm B．3cm C． 4.5cm D．6cm 7．如图，在 ABC 中， 6 12AB BC ， ，点D E、 分别是边 AB、AC的中点，点 F是线段DE 上的一点，连接 AF BF， ，若 90AFB  ，则线段EF的长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 8．如图，在 ABC 中，AD是 BC边上的高线，CE是 AB边上的中线， 于点 G，且 EG GC ．若 126BEC  ，则 B 的度数是 ． 9．房屋的屋梁设计成如图所示的形状，已知 AB AC ，点 D、E、M、N分别是 BC AB BD AD、 、 、 的中点， 3DE  ，则MN  10．如图，在Rt ABC中， 90ACB  ， 40B  ，点D是 AB的中点，将 ACD沿CD 对折，点A落在点 A处， A D 与 BC相交于点E，则 BED 的度数为 ． 11．如图， 在四边形 ABCD中， 90ABC D   ，E 是对角线 AC的中点，F是CD的 中点． 若 3BE  ， 4CD  ， 则EF的长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 12．如图，在矩形 ABCD中，E，F分别是边 AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG BC ， PH CD ，G，H为垂足，连接GH．若 8AB  ， 6AD  ， 4EF  ，则GH的最小值是 ． 13．如图， 90ABC  ，M是 AC上一点，连结 BM ， AM BM ． (1)求证：M是 AC中点； (2)在 AC的另一侧取点 D，使得 90ADC  ，连结MD，求证：BM DM ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 14．综合与实践： (1)如图1，已知在Rt ABC△ 中， 90BAC  ，点D为 BC边的中点，连接 AD，则 AD与 BC 的数量关系是____________； (2)如图2，在边长为 4的等边 ABC 中，点D为 BC边的中点，如果在平面内有一点 P，且点 P到点D的距离为1，则线段 AP长度的取值范围是____________； (3)如图3是某公园“牡丹风景区”的设计示意图，已知四边形 ABCD为矩形， 200 3m, 600mAB AD  ．为提升游客游览的体验感，现计划在该区域内铺设三条赏花小 路 , ,AP BP PQ，要求 90DQCÐ = °．若小路铺设费用为70元 /m，求该风景区铺设赏花小路 的最少费用（小路宽度不计， 3取1.7）． 15．如图 1，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ， 60A  ，M 为 AB中点，D为射线 AB上 一动点． (1)连接CM ，求证： CAM 是等边三角形． (2)当点D在线段 AM 上（如图 1所示的位置）， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ①尺规作图：连接CD，在CD右侧作等边 CDE，直线DE与直线CB交于点F ．（不写作 法，保留作图痕迹） ②连接 BE，在①的条件下，求证：CE BE ． (3)点D在射线 AB运动的过程中，当 BEF△ 为等腰三角形时，请求出 ABE 的度数．