【专项练】中点四边形-鲁教版五四制八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 中点四边形 1．如图，任意四边形 ABCD各边中点分别是 E、F、G、H．若对角线 AC、BD的长分别是10cm、 20cm，则四边形EFGH 的周长是（ ） A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 2．若四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结该四边形中点所得的四边形一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不对 3．如果顺次联结矩形各边中点，那么所围成的四边形一定是（ ） A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 4．如图，在四边形 ABCD中， AC BD ，点 E、F、G、H分别是边CD、DA、 AB、BC 的中点，四边形EFGH 是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 5．如图，在菱形 ABCD中， 4AB  ， 120A  ，顺次连接菱形 ABCD各边中点E、F 、 G、H ，则四边形EFGH 的周长为（ ） A． 4 2 3 B．6 2 3 C． 4 4 3 D．6 4 3 6．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．那么任意一个菱 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 形的中点四边形是（ ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．非特殊的平行四边形 7．已知四边形 ABCD中，E F G H、 、 、 分别是边 AB BC CD DA、 、 、 的中点．若四边形 EFGH 是矩形，则对角线 AC BD、 应满足条件 ． 8．如图，点 A，B，C 为平面内不在同一直线上的三点．点 D 为平面内一个动点．线段 AB， BC ， CD ，DA 的中点分别为 M，N，P，Q 在点 D 的运动过程中，有下列结论： ①存在无数个中点四边形 MNPQ是平行四边形； ②只有有限个中点四边形MNPQ 是菱形； ③存在无数个中点四边形 MNPQ 是矩形； ④存在两个中点四边形MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是 ． 9．如图，四边形 ABCD的两条对角线 AC、BD互相垂直，将四边形 ABCD各边中点依次相 连，得到四边形 1111 DCBA ，若四边形 1111 DCBA 的面积为 15，则四边形 ABCD的面积为 ． 10．如图，在菱形 ABCD中，边长为 1， 60A  ．顺次连接菱形 ABCD各边中点，可得四 边形 1111 DCBA ；顺次连接四边形 1111 DCBA 各边中点，可得四边形 2 2 2 2A B C D ，顺次连接四边 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 形 2 2 2 2A B C D 各边中点，可得四边形 3 3 3 3A B C D ；…；按此规律继续下去．四边形 2024 2024 2024 2024A B C D 的面积是 ． 11．如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点 得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是 1，则第 n个矩形的面积 是 ． 12．点 A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点 D为平面内一个动点（不与 A，B，C重 合）．线段． AB，BC，CD，DA的中点分别为 M，N，P，Q．在点 D的运动过程中，有 下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ 是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在一个中点四边形MNPQ是正方形．所 有正确结论的序号是 ． 13．如图，四边形 ABCD四条边上的中点分别为 E、F、G、H，顺次连接 EF、 FG、GH、 HE，得到四边形 EFGH （即四边形 ABCD的中点四边形）． (1)四边形EFGH 的形状是_____________； (2)当四边形 ABCD的对角线满足_____________条件时，四边形 EFGH 是矩形； (3)当四边形 ABCD的对角线满足_____________条件时，四边形 EFGH 是菱形； (4)当四边形 ABCD的对角线满足_____________条件时，四边形EFGH 是正方形，证明你的 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 结论． 14．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中 点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 (2)如图 1，以锐角 ABC 的两边 ,AB AC为边长，分别向外侧作正方形 ABDE和正方形 ACFG， 连结 , ,BE EG GC，求证：四边形BCGE是“中方四边形”； (3)如图 2，四边形 ABCD是“中方四边形”，若 2AC 的值为 32，则 AB CD 的最小值是 ________．（不需要解答过程） 15．综合与探究：如图 1，四边形 ABDC中，E、F 、G、H 分别是 AC、AB、BD、CD 的中点，顺次连接E、F 、G、H ． (1)猜想四边形EFGH 的形状是________（直接回答，不必说明理由）． (2)如图 2， P在四边形 ABDC内一点，使PC PA ， PD PB ， APC BPD   ，其他条 件不变，试探究四边形EFGH 的形状，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 (3)在（2）的条件下， 6PA  ， 2 3PB  ， 60APC BPD   ， 90CPD  ，求四边 形EFGH 的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 中点四边形 1．B 【难度】0.94 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、中点四边形 【分析】利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于 AC或BD的一半，进而求四 边形周长即可． 【详解】解：∵E，F，G，H，是四边形 ABCD各边中点， ∴ 1 2 HG AC ， 1 2 EF AC ， 1 2 GF HE BD  ． 又∵ 10cmAC  ， 20cmBD  ， ∴四边形EFGH 的周长是  1 30cm 2 HG EF GF HE AC AC BD BD AC BD          ． 故选：B． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条 边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的 数量关系又提供了一个重要的依据． 2．A 【难度】0.94 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、中点四边形 【分析】根据三角形的中位线定理首先可以证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行 四边形．再根据对角线互相垂直，即可证明平行四边形的一个角是直角，则有一个角是直角的 平行四边形是矩形． 【详解】解：如图，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、AD的中点， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴EH∥FG∥BD，EH＝FG 1 2  BD；EF∥HG∥AC，EF＝HG 1 2  AC， ∴四边形 EFGH是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴EH⊥EF，∠HEF＝90° ∴四边形 EFGH是矩形． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定等知识，熟练掌 握三角形的中位线定理是解题的关键． 3．A 【难度】0.94 【知识点】证明四边形是菱形、中点四边形 【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等可 证明四条边都相等，从而说明是一个菱形． 【详解】如图，联结对角线 AC、BD， 在△ABD中， ∵AH=HD，AE=EB ∴EH= 1 2 BD， 同理 FG= 1 2 BD，HG= 1 2 AC，EF= 1 2 AC， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 又∵在矩形 ABCD中，AC=BD， ∴EH=HG=GF=FE， ∴四边形 EFGH为菱形． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用 三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分． 4．C 【难度】0.85 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形、中点四边形 【分析】本题考查了菱形的判定以及三角形的中位线定理，顺次连接任意四边形四边中点所得 的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且 相等．所以是平行四边形，再根据 AC BD 即可证明结论． 【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是边CD、DA、 AB、 BC的中点， ∴HG AC∥ ， 1 2 HG AC ，EF AC∥ ， 1 2 EF AC ， 1 2 EH BD ， EF HG  且EF HG∥ ， 四边形EFGH 是平行四边形， ∵ AC BD ， ∴ EH EF ， ∴四边形EFGH 为菱形． 故选：C． 5．C 【难度】0.85 【知识点】等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线 段长、中点四边形 【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH 为平行四边形，再求对角线长度， 然后利用三角形中位线定理求出此平行四边形边长即可求出周长． 【详解】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 解：如图，连接 AC、 BD，相交于点O， 点E F G H、 、 、 分别是边 AB BC CD DA、 、 、 的中点， 1 2 EF AC  ， 1 2 GH AC ， EF GH  ，同理EH FG ， 四边形EFGH 是平行四边形， 四边形 ABCD是菱形， 4AB  ， 120A  ， 对角线 AC BD、 互相垂直， AD BC ∥ ， 180A ABC   ， 60ABC  ， 4AB BC  ， ABC 是等边三角形， 4AC  ， 在Rt AOB中， 4AB  ， 1 2 2 OA AC  ， 2 24 2 2 3OB    ， 4 3BD  ， 1 2 2 EF AC   ， 1 2 3 2 EH BD  ， 四边形EFGH 的周长为( )2 2 3 2 4 4 3+ ´ = + ． 故选：C． 【点睛】本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，菱形的 性质及平行四边形的判定与性质进行计算． 6．B 【难度】0.85 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明、中点四边 形 【分析】连接 AC、BD，根据中位线性质得出EF GH∥ ，EF GH ，证明四边形EFGH 为平行四边形，根据平行线的性质，证明 90FEM AME    ，得出四边形EFGH 为矩形． 【详解】解：连接 AC、 BD，如图所示： ∵四边形 ABCD为菱形，E、F 、G、H分别为 AB、 BC、CD、DA的中点， ∴EF AC∥ ， 1 2 EF AC ， 同理得： 1 2 GH AC ，GH AC∥ ， EH BD∥ ， ∴EF GH∥ ，EF GH ， ∴四边形EFGH 为平行四边形， ∵四边形 ABCD为菱形， ∴ AC BD ， ∴ 90AOB  ， ∵ EH BD∥ ， ∴ 90AME AOB    ， ∵EF AC∥ ， ∴ 90FEM AME    ， ∴四边形EFGH 为矩形，故 B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中点四边形，菱形的性质，矩形的判定，平行线的性质，三角形中位 线定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和矩形的判定方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 7． AC BD 【难度】0.65 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、中点四边形 【分析】此题考查了三角形的中位线定理，矩形的判定，中点四边形，关键是掌握三角形中位 线定理．根据三角形的中位线定理可证明四边形EFGH 是平行四边形，四边形HPOM 是平 行四边形，再根据对角线互相垂直证明矩形． 【详解】解：对角线 AC BD、 应满足条件 AC BD ． 理由：∵E、F、G、H分别是 AB BC CD DA、 、 、 边上的中点， ∴ , , ,EF AC FG BD GH AC EH BD∥ ∥ ∥ ∥ ， ∴ EF HG∥ ，FG EH∥ ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，四边形HPOM 是平行四边形； ∴ AOP EHG  ， ∵ AC BD ， ∴ 90AOP ∠ ， ∴ 90EHG  ， ∴平行四边形EFGH 是矩形， 故答案为： AC BD ． 8．①③④ 【难度】0.65 【知识点】中点四边形 【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是 正方形，由此即可判断． 【详解】当 AC与 BD不平行时，中点四边形 MNPQ 是平行四边形，故存在无数个中点四 边形 MNPQ 是平行四边形，故①正确； 当 AC与 BD相等且平行时，中点四边形 MNPQ 是菱形，故存在无数个中点四边形 MNPQ 是菱形，故②错误； 当 AC与 BD互相垂直（B、D不重合）时，中点四边形MNPQ是矩形，故存在无数个中点四 边形MNPQ 是矩形，故③正确； 如图所示，当 AC与BD相等且互相垂直时，中点四边形MNPQ 是正方形，故存在两个中点 四边形 MNPQ 是正方形，故④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定 等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．30 【难度】0.65 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、中点四边形 【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形 1111 DCBA 是矩形，从而根据矩形的面积和三角 形的每件公式进行计算．此题主要考查中点四边形和三角形的面积，注意三角形中位线定理这 一知识点的灵活运用，此题难易程度适中，是一道典型的题目． 【详解】解： 1A ， 1B ， 1C ， 1D 是四边形 ABCD的中点四边形， 四边形 ABCD的对角线 AC、BD互相垂直， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 四边形 1111 DCBA 为矩形， 设 AC x ，BD y ， 1 1A D 是 ABD△ 的中位线， 1 1 1 1 2 2 A D BD x   ， 同理可得 1 1 1 2 A B y ， 四边形 1111 DCBA 的面积为 1 1 1 1 1 15 4 A D A B xy   ． 60xy  ， 四边形 ABCD的面积 1 30 2 xy  ， 故答案为：30． 10． 2025 3 2 / 2025 1 3 2 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、利用菱形的性质求面积、中点四边形 【分析】本题考查了菱形以及中点四边形的性质，找到中点四边形的面积与原四边形的面积之 间的关系是解题的关键．根据菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，依次求出四边形 的面积，得出规律，即可解答． 【详解】解：菱形 ABCD， =60A ， ADB ， CDB△ 为等边三角形， 1BD  ， 等边 ADB的高为 3 2 ， 1 3 32 2 1 2 2 2ABD DCB ABDABCD S S S S        △ △ △菱形 ， 顺次连接菱形 ABCD各边中点，可得四边形 1111 DCBA ， 四边形 1111 DCBA 为矩形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 1 1 1 1 1 3 3 2 2 4A B C D S   长方形 , 同理可得 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 8 2A B C D S     四边形 ， 3 3 3 3 4 3 3 3 2 2 2 2 16 2A B C D S      四边形 ， …… 2024 2024 2024 2024 2025 3 2A B C D S  四边形 ． 故答案为： 2025 3 2 ． 11． 11 4 n       【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、根据矩形的性质求面积、证明四边形是菱形、中点四边形 【分析】由中点四边形的含义可得矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，而中 点四边形的面积是原四边形的面积的一半，可得原矩形的面积为 1，矩形的中点四边形（菱形） 的面积为 11 2  再得到菱形的中点四边形（矩形）的面积为： 11 4  从而总结归纳出规律，可 得答案．本题考查了中点四边形的性质，是一道找规律的题目． 【详解】已知第一个矩形的面积是 1， 第二个矩形的面积为 11 4  第三个矩形的面积是 211 ( ) 4  则第 n个矩形的面积是 1 11 ( ) 4 n 故答案为： 11 4 n       ． 12．①②③ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【难度】0.65 【知识点】与三角形中位线有关的证明、中点四边形 【分析】连接 AC、 BD，根据三角形中位线定理得到 ,PQ MN PQ MN∥ ， ,QM PN QM PN∥ ，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：连接 AC、 BD， ∵ AB， BC，CD，DA的中点分别为 M，N，P，Q， ∴ 1, 2 PQ AC PQ AC∥ ， 1, 2 MN AC MN AC∥ ， 1, 2 MQ AC MQ AC∥ ， 1, 2 PN AC PN AC∥ ， ∴ ,PQ MN PQ MN∥ ， ,QM PN QM PN∥ ， ①当 AC与 BD不平行时， ∵ ,PQ MN PQ MN∥ ， ∴中点四边形MNPQ是平行四边形， 故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形； ②当 AC BD 且 AC与BD不平行时， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∵ 1 2 PQ MN AC  ， 1 2 QM PN BD  ， AC BD ， ∴PQ MN QM PN   ， ∴中点四边形MNPQ是菱形；故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形； ③当 AC BD （B，D不重合）时， ∵PQ MN AC∥ ∥ ，QM PN BD∥ ∥ ， AC BD ， ∴ PQ PN ， ∴中点四边形MNPQ是矩形； 故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形； ④当 AC BD ， AC BD 时， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∵PQ MN AC∥ ∥ ，QM PN BD∥ ∥ ， AC BD ， ∴ PQ PN ， ∵ 1 2 PQ MN AC  ， 1 2 QM PN BD  ， AC BD ， ∴PQ MN QM PN   ∴中点四边形MNPQ是正方形； 故存在两个中点四边形MNPQ是正方形． 综上：正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角 形中位线定理是解题的关键．三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 13．(1)平行四边形 (2)互相垂直 (3)相等 (4)垂直且相等 【难度】0.65 【知识点】与三角形中位线有关的证明、中点四边形 【分析】（1）连接BD，利用三角形的中位线定理，即可得出四边形EFGH 是平行四边形； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得到当对角线垂直的时候，四边形EFGH 是 矩形； （3）根据邻边相等的平行四边形是菱形，得到当对角线相等的时候，四边形EFGH 是菱形； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 （4）根据有一个角是直角的菱形是正方形，得到当对角线相等且垂直时，四边形EFGH 是正 方形． 【详解】（1）解：连接BD， ∵四边形 ABCD四条边上的中点分别为 E、F、G、H，顺次连接 EF、 FG、GH、HE， ∴ ,EH FG分别是 ,ABD CBD的中位线， ∴ 1 1, , , 2 2 EH BD EH BD FG BD FG BD ∥ ∥ ， ∴ ,EH FG EH FG∥ ， ∴四边形EFGH 的形状是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）解：连接 AC，当 AC BD 时： 由（1）知四边形EFGH 的形状是平行四边形， 同理可得：EF AC∥ ， ∵ ,EH BD AC BD∥ ， ∴ EH EF ， ∴ 90HEF  ， ∴四边形EFGH 为矩形； 即：当四边形 ABCD的对角线满足互相垂直时，四边形EFGH 为矩形； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 故答案为：互相垂直； （3）解：当 AC BD 时： 由（1）知四边形EFGH 的形状是平行四边形， 同理可得： 1 2 EF AC ， ∵ 1 1 2 2 EH BD AC  ， ∴ EF EH ， ∴平行四边形EFGH 为菱形； 即：当四边形 ABCD的对角线满足相等时，四边形EFGH 为菱形； 故答案为：相等 （4）当 AC BD ，且 AC BD 时， 由（3）知当 AC BD 时，四边形EFGH 为菱形， 由（2）知当 AC BD 时， 90HEF  ， ∴当 AC BD ，且 AC BD 时，菱形 EFGH 为正方形； 即当四边形 ABCD的对角线满足垂直且相等时，四边形EFGH 为正方形； 故答案为：垂直且相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 【点睛】本题主要考查了中点四边形的有关问题，熟练掌握好三角形的中位线定理和平行四边 形，矩形，菱形，正方形的转化关系及判定方法是解题的关键． 14．(1)D (2)见解析 (3)8 【难度】0.4 【知识点】与三角形中位线有关的证明、中点四边形、四边形其他综合问题 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）如图，取四边形BCGE各边中点分别为 P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连 接CE交 AB于 P，连接BG交CE于 K，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL是平行 四边形，再证得 EAC BAG△ ≌△ ，推出四边形MNRL是菱形，再由 90LMN  ，可得菱 形MNRL是正方形，即可证得结论； （3）如图，分别作 , , ,AD BC AB CD的中点 E，F，M，N，并顺次连接EN NF FM ME、 、 、 ， 连接BD交 AC于 O，连接OM ON、 ，可得四边形ENFM 是正方形，再根据等腰直角三角 形性质可得 2 2 MN AC ，根据题意得：当点 O在MN上（即 M、O、N共线）时，OM ON 最小，最小值为MN的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由 如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故选：D； （2）证明：如图，取四边形BCGE各边中点分别为 P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL， 连接CE交 AB于 P，连接BG交CE于 K， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ∵四边形BCGE各边中点分别为 M、N、R、L， ∴MN NR RL LM、 、 、 分别是 BCG CEG BGE CEB、 、 、 的中位线， ∴ 1 1 1 1, , , , , , 2 2 2 2 MN BG MN BG RL BG RL BG RN CE RN CE ML CE ML CE   ∥ ∥ ， ∥ ∥ ， ∴ , , ,MN RL MN RL RN ML CE RN ML ∥ ∥ ∥ ， ∴四边形MNRL是平行四边形， ∵四边形 ABDE和四边形 ACFG都是正方形， ∴ , , 90AE AB AG AC EAB GAC      ， 又∵∠BAC BAC  ， ∴ EAB BAC GAC BAC     ， 即 EAC BAG  ， 在 EAC和 BAG△ 中， ∵ ,,AE AB EAC BAG AC AG    ， ∴  SASEAC BAG≌ ， ∴ ,CE BG AEC ABG    ， 又∵ 1 1, 2 2 RL BG RN CE  ， ∴RL RN ， ∴四边形MNRL是菱形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ∵ 90EAB  ， ∴ 90AEP APE   ． 又∵ ,AEC ABG APE BPK      ， ∴ 90ABG BPK   ， ∴ 90BKP  ， 又∵ ,MN BG ML CE∥ ∥ ， ∴ 90LMN  ， ∴菱形MNRL是正方形， 即原四边形BCGE是“中方四边形”； （3）解：如图，分别作 , , ,AD BC AB CD的中点 E，F，M，N，并顺次连接EN NF FM ME、 、 、 ， 连接BD交 AC于 O，连接OM ON、 ， ∵四边形 ABCD是“中方四边形”，M，N分别是 ,AB CD的中点， ∴四边形ENFM 是正方形， ∴ , 90FM FN MFN   ， ∴ 2 2 22 2MN FM FN FM FM    ， ∵M，F分别是 ,AB BC的中点， ∴ 1 2 FM AC ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 ∴ 2 2 MN AC ， ∵ 2AC 的值为 32， ∴ 4MN  ， 根据题意得：当点 O在MN上（即 M、O、N共线）时，OM ON 最小，最小值为MN的长， ∴  2 2OM ON MN  ， 由（2）知： AC BD ， 又∵M，N分别是 ,AB CD的中点， ∴ 2 , 2AB OM CD ON  ， ∴  2 OM ON AB CD   ， ∴ 2AB CD MN  ， ∵ 4MN  ， ∴ AB CD 的最小值为 8． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质， 三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中 方四边形”的定义并运用是本题的关键． 15．(1)平行四边形 (2)菱形，见解析 (3) 21 3 2 【难度】0.4 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形、中点 四边形 【分析】(1)连接 AD，利用三角形中位线定理，证明 EH=FG，且 EH∥FG即可得证． (2)连接 AD，BC，证明  SAS△ △APD CPB ，得到 AD=CB，结合三角形中位线定理，得 到四边形 EFGH的四边相等，即可得到菱形 EFGH． (3)连接 AD，BC，交点为 M，设 BC与 EH的交点为 Q，AD与 EF的交点为 O，证明 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19  SAS△ △APD CPB ，判定四边形 EOMQ是平行四边形，证明∠HEF=60°，连接PG，过 点H 作HN EF ，垂足为 N ，求得 EH，HN的长度即可． 【详解】（1）平行四边形．理由如下： 如图 1，连接 AD， ∵E、F 、G、H 分别是 AC、 AB、BD、CD的中点， ∴EH∥AD，EH= 1 2 AD，FG∥AD，FG= 1 2 AD， ∴EH=FG，且 EH∥FG， ∴四边形 EFGH是平行四边形， 故答案为：平行四边形． （2）菱形.理由：如图 2，连接 AD， BC . ∵ APC BPD   ， ∴    APC CPD BPD CPD， 即 APD CPB   . 又∵PA PC ， PD PB ， ∴  SAS△ △APD CPB ， ∴ AD CB . ∵E、F 、G、H 分别是 AC、 AB、BD、CD的中点， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 ∴EF、 FG 、GH、EH 分别是 ABC 、 ABD△ 、 BCD△ 、 ACD的中位线， ∴ 1 2 EF BC ， 1 2 FG AD ， 1 2 GH BC ， 1 2 EH AD ， ∴EF FG GH EH   ， ∴四边形EFGH 是菱形. （3）连接 AD，BC，交点为 M，设 BC与 EH的交点为 Q，AD与 EF的交点为 O， ∵ PD PB ， 60  DPB ， ∴ DPB是等边三角形. ∵G是DB中点， ∴PG平分 DPB ， 30  DPG ， ∴ 60 90 30 180      APG ，点A、 P、G共线. 在Rt DPGV 中，    2 22 2 2 3 3 3    PG PD DG ， 在Rt AGD中，    222 2 6 3 3 2 21     AD AG DG ， ∴ 1 21 2   EF EH AD . ∵ APD CPB ， ∴ PAD PCB   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 ∴ 60    CMA CPA . ∵ //EH AD， //EF CB， ∴四边形 EOMQ是平行四边形， ∴ 60HEF   . 在Rt△EHN中， 1 21 2 2  EN EH ， 2 2 3 7 2   HN EH EN ， ∴菱形EFGH 的面积 3 7 21 321 2 2     EF HN . 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质， 菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，灵活运用三角形 中位线定理是解题的关键．