【专项练】补充条件判定平行四边形-鲁教版五四制八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 补充条件判定平行四边形 1．如图，在四边形 ABCD中，AD BC∥ ，添加下列条件后仍不能．．判定四边形 ABCD是平行 四边形的是（ ） A． AD BC B． AB DC∥ C． A C   D． AB DC 2．如图所示，在四边形 ABCD中，AD BC∥ ，要使四边形 ABCD成为平行四边形还需要条 件（ ） A． AB DC B． 1 2   C． AD BC D． 180D BCD    3．如图，已知 AB CD∥ ，添加下列条件可以使四边形 ABCD成为平行四边形的是（ ） A． 1 2   B． AD BC C． AB CD D． AD AB 4．在四边形 ABCD中，对角线 AC BD， 相交于点 O，AB CD∥ ．添加下列条件，不能判定 四边形 ABCD是平行四边形的是( ) A． AB CD ； B． AO CO ；C． AD BC ；D． ABC ADC   5．如果四边形有一组对边相等，那么还需要添加（ ）条件，就能使它成为平行四边形． A．另一组对边相等 B．一组对角相等 C．另一组对边平行 D．以上都成立 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6．在四边形 ABCD中，AB DC∥ ，当满足下列哪个条件时，可以得出四边形 ABCD是平行 四边形（ ） A． 180A C  ＋ ＝ B． 180B D  ＋ ＝ C． 180A B  ＋ ＝ D． 180A D  ＋ ＝ 7．如图，平行四边形 ABCD中，E，F 是对角线 BD上的两点，如果添加一个条件使四边形 AECF 是平行四边形，则添加的条件不能是（ ） A． AE CF B． BE FD C． BF DE D． 1 2   8．如图，在平行四边形 ABCD中，点 E，F 是对角线 BD所在直线上的两个不同的点．下列 条件中，不能．．得出四边形 AECF 是平行四边形的是（ ） A． BE DF B．CE AF C． CE AF∥ D． ECB FAD   9．如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD相交于点 O，E、F 是对角线 AC 上的点．下列条 件中，不能判定四边形 BEDF 是平行四边形的是（ ） A． DE BF B． AF CE C． ABE CDF   D． DF BE∥ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 10．如图，E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 BD 上的两点，请你添加一个适当的条件： ， 使四边形 AECF 是平行四边形． 11．如图，平行四边形 ABCD中，E，F 是对角线 AC 上的两点，有如下四个条件：① DE BF ； ② AE FC ；③ 1 2   ；④ AF EC ，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形 BEDF 是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 12．已知四边形 ABCD，∠DAB=∠DCB，对角线 AC ，BD交于点O．分别添加下列条件之 一：① / /AB CD ；② AB CD ；③OA OC ；④∠ABC=∠ADC，能使四边形 ABCD成为 平行四边形，则正确的选项有 ．（填写序号） 13．如图，在平行四边形 ABCD中，点 E ， F 是对角线 BD上两个不同点．连接 AE ， AF ， CE，CF ，添加一个条件使得四边形 AFCE是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ① AE BD ，CF BD ， E 、 F 为垂足；② BE DF ；③ AE CF ；④ AE CF∥ ．符 合条件的选项有：_____________． (2)选择其中一个条件，写出证明过程： 我选择________， 证明过程如下： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 14．小云学习了平行四边形的判定后，想利用平行四边形的判定方法探究下列问题． (1)利用平行四边形的判定方法作平行四边形，作法是：如图 1，在 ABC 中，分别以点 A，C 为圆心， ,BC AB为半径画弧，两弧交于点 D，连接 ,AD CD ，四边形 ABCD就是平行四边形．小 云判定四边形 ABCD平行四边形的依据是___________； (2)探究：“四边形 ABCD中，若 AB CD ，对角线 AC 与 BD交于点 O，且 AO CO ，四边 形 ABCD是平行四边形吗？” ①在图 2中作出符合条件的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； ②结合所作图形，符合条件的四边形 ABCD________（填写“是”、“不是”或“不一定是”） 平行四边形． (3)探究：“四边形 ABCD中，若 AB CD ，对角线 AC 与 BD交于点 O，且 AO CO ， 45AOB  ，当 AB 与 AO 满足什么条件时，四边形 ABCD一定是平行四边形？”直接写出 AB 与 AO 满足的条件是： ____________． 15．我们曾借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究． 【知识回顾】 如图，四边形 ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个边、角、对角线的数量关系： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ① AB CD ； ② AD BC ； ③ AB CD∥ ； ④ AD BC∥ ； ⑤ BAD BCD  ； ⑥ ABC ADC   ； ⑦OA OC ； ⑧OB OD ． 我们曾任意选择2个作为条件来探索四边形是否为平行四边形． (1)请选择上面8个条件中的2个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及3条判定定理外可 以判定四边形为平行四边形的方法：___________．（请用文字语言表述） 【数学思考】 若将①②组合可以得到新的数量关系⑨： AB AD CD CB   ；⑦⑧组合可以得到新的数量 关系⑩：OA OD OB OC   ．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ (2)若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形． 如图，在四边形 ABCD中， AD BC∥ ， AB AD CD CB   ． 求证：四边形 ABCD是平行四边形． (3)请在①~⑥中选择一个条件和⑩也可判定四边形是平行四边形，并证明． 如图，在四边形 ABCD中， AC 、 BD相交于点O，___________________， OA OD OB OC   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 求证：四边形 ABCD是平行四边形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 补充条件判定平行四边形 1．D 【难度】0.85 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定 方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．∵ AD BC∥ ， AD BC ， ∴四边形 ABCD是平行四边形，故选项不符合题意； B．∵ AD BC∥ ， AB DC∥ ， ∴四边形 ABCD是平行四边形，故选项不符合题意； C．∵ AD BC∥ ， ∴ 180A ABC   ， ∵ A C   ， ∴ 180ABC C   ， ∴ AB CD∥ ， ∴四边形 ABCD是平行四边形，故选项不符合题意； D．∵ AD BC∥ ， AB DC ， ∴四边形 ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意； 故选：D． 2．C 【难度】0.85 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题主要考查对平行四边形判定的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的 关键；根据平行四边形的判定逐一判断即可． 【详解】A、 AD BC∥ ， AB DC 不能判定四边形 ABCD是平行四边形，还可能是等腰梯 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 形，故本选项不符合题意； B、 1 2   ，推出 AD BC∥ ，不能判定四边形 ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； C、 AD BC∥ ， AD BC ，能判定四边形 ABCD是平行四边形，故本选项符合题意； D、 180D BCD   ，推出 AD BC∥ ，不能判定四边形 ABCD是平行四边形，故本选项 不符合题意； 故选：C． 3．C 【难度】0.85 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．由平行四边形 的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由 1 2   可得 AB CD∥ ，结合题意，不能证明四边形 ABCD成为平行四 边形，不符合题意； B．由 AD BC ，结合题意，不能证明四边形 ABCD成为平行四边形，不符合题意； C．AB CD ，结合题意，可由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证明四边形 ABCD 为平行四边形，符合题意； D． AD AB ，结合题意，不能证明四边形 ABCD成为平行四边形，不符合题意． 故选 C． 4．C 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA或者 AAS）、判断能否构成平行四边形、 添一个条件成为平行四边形 【分析】根据平行四边形的判断方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A．由题意可得： AB CD ， AB CD∥ ，则四边形 ABCD是平行四边形，不 符合题意； B．由 AB CD∥ 可以得到 BAO DCO   又∵ AO CO ， AOB COD  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴  ASAAOB COD≌ ∴OB OD ∴四边形 ABCD是平行四边形，不符合题意； C．由题意可得：AB CD∥ ， AD BC ，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形 ABCD是平行四边形，也可能是等腰梯形，符合题意； D．由 AB CD∥ 可以得到 180ABC BCD    又∵ ABC ADC   ∴ 180ADC BCD    ∴ AD BC∥ ∴四边形 ABCD是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 5．A 【难度】0.85 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定进行解答，得到答案． 【详解】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项 A符合题意； 四边形有一组对边相等，一组对角相等不能证明另一组对边也相等或平行，不能构成平行四边 形，故选项 B不符合题意； 四边形有一组对边相等，另一组对边平行不一定构成平行四边形，也可能构成等腰梯形，故选 项 C、D均不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 6．C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【难度】0.85 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行 四边形．根据平行四边形的判定逐一验证． 【详解】解： 180A C  ＋ ＝ 与 180B D  ＋ ＝ 以及 180A D  ＋ ＝ ，都不能判定 AD BC∥ 或者 AB DC ．故 A、B、D不符合题意． 若 180A B  ＋ ＝ ，则 AD BC∥ ，所以根据“有两组对边互相平行的四边形是平行四边形” 可以判定四边形 ABCD是平行四边形，故 C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定定理．掌握定理内容是解题关键． 7．A 【难度】0.85 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】证明  SASABE CDF△ △≌ ，得到 AE CF AEB CFD   ， ，推出 AE CF∥ ， 由此判断 B；由BF DE 得到 BE DF ，由此依据 B判断 C选项；添加 1 2   ，由此证 明  ASAABE CDF≌△ △ ，得到 AE CF AEB CFD   ， ，推出 AE CF∥ ，由此判断 D；由此得到 A选项符合题意． 【详解】解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AB CD ABD CDB   ， ； 又∵ BE DF ， ∴  SASABE CDF△ △≌ ， ∴ AE CF AEB CFD   ， ， ∴ AEF CFE   ； ∴ AE CF∥ ； ∴四边形 AECF是平行四边形，故 B正确，不符合题意； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AB CD ABD CDB   ， ； 又∵BF DE ， ∴ BF EF DE EF   ， ∴ BE DF ， ∴  SASABE CDF△ △≌ ， ∴ AE CF AEB CFD   ， ； ∴ AEF CFE   ； ∴ AE CF∥ ； ∴四边形 AECF是平行四边形，故 C正确，不符合题意； ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AB CD ABD CDB   ， ； 又∵ 1 2   ， ∴  ASAABE CDF≌△ △ ， ∴ AE CF AEB CFD   ， ； ∴ AEF CFE   ； ∴ AE CF∥ ； ∴四边形 AECF是平行四边形，故 D正确，不符合题意； 添加 AE CF 后，不能得出 CABE DF≌△△ ，进而得不出四边形 AECF是平行四边形，故 A不能； 故选：A． 【点睛】此题考查了添加条件证明平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 8．B 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA或者 AAS）、添一个条件成为平行四边形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择 平行四边形的判定定理证明四边形 AECF是平行四边形是解题的关键．设 AC交BD于点O， 则OC OA ，OB OD ，因为 BE DF ，所以OE OF ，则四边形 AECF是平行四边形， 可判断 A不符合题意；由CE AF ，OC OA ， COE AOF  不能证明 COE与 AOF 全等，则不能证明CE与 AF 平行，所以不能证明四边形 AECF是平行四边形，可判断 B符合 题意；由CE AF∥ ，得 OCE OAF   ，可证明 COE AOF△ ≌△ ，则CE AF ，所以四 边形 AECF是平行四边形，可判断 C不符合题意；由 OCB OAD  ， ECB FAD   ， 推导出 OCE OAF  ，可证明 COE AOF△ ≌△ ，得OE OF ，则四边形 AECF是平行 四边形，可判断 D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：设 AC交 BD于点O， 四边形 ABCD是平行四边形， OC OA  ，OB OD ， BE DF ， OB BE OD DF    ， OE OF  ， 四边形 AECF是平行四边形， 故 A不符合题意； 由CE AF ，OC OA ， COE AOF  不能证明 COE与 AOF 全等， 不能确定 OCE 与 OAF 是否相等， 不能证明CE与 AF 平行， 不能证明四边形 AECF是平行四边形， 故 B符合题意； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 CE AF∥ ， OCE OAF   ， 在 COE和 AOF 中， OCE OAF OC OA COE AOF         ， (ASA)COE AOF△ ≌△ ， CE AF  ， 四边形 AECF是平行四边形， 故 C不符合题意； CB AD∥ ， OCB OAD   ， ECB FAD   ， OCB ECB OAD FAD       ， OCE OAF   ， 在 COE和 AOF 中， OCE OAF OC OA COE AOF         ， (ASA)COE AOF△ ≌△ ， OE OF  ， 四边形 AECF是平行四边形， 故 D不符合题意， 故选：B． 9．A 【难度】0.65 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、添一个条件成为平行四边形 【分析】根据平行四边形的性质与全等三角形的性质逐一分析，结合平行四边形的判定方法可 得结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【详解】解：∵ ABCD， ∴ AB CD∥ ， AB CD ， AD BC∥ ， AD BC ，OA OC ，OB OD ， ∵ AF CE ， ∴ AE CF ，OE OF ， ∴四边形BEDF是平行四边形，故 B不符合题意； ∵ AB CD∥ ， AB CD ， ∴ BAE DCF   ，而 ABE CDF   ， ∴ ABE CDF△ ≌△ ， ∴ BE DF ， AEB CFD   ， ∴ BEF DFE   ， ∴DF BE∥ ， ∴四边形BEDF是平行四边形，故 C不符合题意； ∵DF BE∥ ， ∴ BEF DFE   ， ∴ AEB CFD   ，而 BAE DCF   ， AB CD ， ∴ ABE CDF△ ≌△ ， ∴ BE DF ， ∴四边形BEDF是平行四边形，故 D不符合题意； 当DE BF ，而 AD BC ，OD OB ， ∵ AD BC∥ ， ∴ DAE BCF  ，而 DOE BOF  ， 此时不能得到： ADE CBFV V≌ ，△ ≌△DOE BOF， ∴添加DE BF 不能判定四边形BEDF是平行四边形，故 A符合题意； 故选 A． 【点睛】本题考查的是添加条件判断平行四边形，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形 的判定方法是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 10． BE DF 或BF DE 或 BAE DCF   ． 【难度】0.65 【知识点】添一个条件成为平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】用反推法，假如四边形是平行四边形，会推出什么结果，这结果就是要添加的条件． 【详解】解：使四边形 AECF是平行四边形．就要使 AE CF ， AE CF ，就要使 AEB CFD△ △ ，而在平行四边形中已有 AB CD ， ABE CDF   ，再加一个 BE DF 或BF DE 可用SAS证 AEB CFD△ △ ，或 BAE DCF   用ASA证 AEB CFD△ △ ． 故答案为： BE DF 或BF DE 或 BAE DCF   ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，本题是开放题，答案不唯一，可以针对各种特 殊的平行四边形的判定方法，给出条件，本题主要是通过给出证明 AEB CFD△ △ 的条件来 得到 AE CF ， AE CF ，根据四边形中一组对边平行且相等就可证明为是平行四边形． 11．②（或③，或④） 【难度】0.65 【知识点】添一个条件成为平行四边形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． 若添加添加①，无法证明四边形BEDF是平行四边形．若添加条件②，连接BD，交 AC于点 O，根据平行四边形的性质得到 AO CO ，BO DO ，进而得到 EO FO ，根据对角线互相 平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得  ASAADE CBF≌ ，得到DE BF ， AED CFB  ，进而得到DE BF∥ ，根据一组对 边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边 形是平行四边形可得证． 【详解】解：若添加添加①，无法证明四边形 BEDF 是平行四边形． 若添加条件② AE FC ，可得四边形BEDF是平行四边形． 理由如下： 连接BD，交 AC于点 O 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AO CO ，BO DO ， ∵ AE FC ， ∴ AO AE CO CF   ，即 EO FO ， ∴四边形 BFDE是平行四边形． 若添加条件③ 1 2   ，可得四边形BEDF是平行四边形． 理由如下： ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AD CB ， AD BC∥ ， ∴ DAE BCF  ， ∵ 1 2   ， ∴  ASAADE CBF≌ ， ∴DE BF ， AED CFB  ， ∴180 180AED CFB    ，即 DEF EFD  ， ∴DE BF∥ ， ∴四边形BEDF是平行四边形． 若添加条件④ AF EC ，可得四边形BEDF是平行四边形． 理由如下： 连接BD，交 AC于点 O ∵四边形 ABCD是平行四边形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∴ AO CO ，BO DO ， ∵ AF EC ， ∴ AF AO CE CO   ，即FO EO ， ∴四边形 BFDE是平行四边形． 综上所述，添加的条件可以是②或③或④． 故答案为：②（或③，或④） 12．①④ 【难度】0.65 【分析】根据平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行 分析即可． 【详解】解：①由 AB∥CD，∠DAB=∠DCB可证明∠ABC=∠ADC，然后可根据两组对角分 别相等的四边形是平行四边形判定四边形 ABCD是平行四边形，故此选项正确； ②根据 AB=CD，∠DAB=∠DCB不能判定四边形 ABCD是平行四边形，故此选项不正确； ③∠DAB=∠DCB且 OA=OC不能判定四边形 ABCD是平行四边形，故此选项不正确； ④由∠DAB=∠DCB，∠ABC=∠ADC可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定四 边形 ABCD是平行四边形，故此选项正确． ∴正确的选项有①④； 故答案为：①④． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理． 13．(1)①②④ (2)①（答案不唯一），见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和 SAS综合（SAS）、全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA或者 AAS）、添一个条件成为平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定解答即可； （2）根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】（1）解：填①②④的任意一个都正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 故答案为：①②④； （2）解：选择① AE BD ，CF BD ，E、F 为垂足； 证明：∵ AE BD ，CF BD ， ∴ AE CF∥ ， 90AEB CFD    四边形 ABCD是平行四边形， AB CD  ， AB CD∥ ， ABE CDF  ， 在 ABE与 CDF 中， ABE CDF AEB CFD AB CD        ， (AAS)ABE CDF△ ≌△ ， AE CF∴ = ， 四边形 AECF是平行四边形． 选择② BE DF ， 证明：四边形 ABCD是平行四边形， AB CD  ， AB CD∥ ， ABE CDF  ， BE DF ， 在 ABE与 CDF 中， AB CD ABE CDF BE DF       ， (SAS)ABE CDF ≌△ △ ， AE CF∴ = ， AEB CFD   ， AEF CFE  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 AE CF ∥ ， 四边形 AECF是平行四边形． 选择④ AE CF∥ ， 证明：四边形 ABCD是平行四边形， AB CD  ， AB CD∥ ， ABE CDF  ， ∵ AE CF∥ ， ∴ AEB CFD   ， 在 ABE与 CDF 中， AEB CFD ABE CDF AB CD        ， (SAS)ABE CDF ≌△ △ ， AE CF∴ = ， 四边形 AECF是平行四边形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四 边形的性质和判定是解题的关键． 14．(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (2)①见解析②不一定是 (3) AB AO 【难度】0.65 【知识点】判断能否构成平行四边形、添一个条件成为平行四边形、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法即可求解； （2）根据题意作出符合条件的图形即可回答问题； （3）添加的条件只要能证明OB OC ，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）∵在 ABCV 中，分别以点 A，C为圆心， ,BC AB为半径画弧，两弧交于点 D， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∴ AB CD ， AD BC ， ∴四边形 ABCD是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）以点C为圆心，以线段 AB的长为半径画圆，连接BO并延长与圆弧的交点即符合条件 的点 1D 、 2D ，如图所示， 由作图可知，四边形 1ABCD 不是平行四边形，四边形 2ABCD 是平行四边形， ∴符合条件的四边形 ABCD不一定是平行四边形， 故答案为：不一定是 （3） AB与 AO满足的条件是： AB AO ． 理由如下： ∵ AB AO ， 45AOB   ∴ 45AOB ABO    ， 又∵ AB CD ，OA OC ， ∴CD OC ， ∴ COD CDO∠ ∠ ∵ 45AOB COD    ， ∴ 45COD CDO    ， ∴ ABO CDO   在 AOB 和 COD 中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ABO CDO AOB COD OA OC         ， ∴ AOB ≌ COD  AAS ， ∴OB OC ， 又∵OA OC ∴四边形 ABCD是平行四边形． 故答案为： AB AO 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 15．(1)一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．（答案不唯一） (2)证明见解析； (3)选择①或③或④之一，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题、添一个条件成为平行四边形、 证明四边形是平行四边形 【分析】（1）利用两角分别相等的四边形是平行四边形可证明一组对角相等，且一组对边平 行的四边形是平行四边形； （2）延长DA、 BC并截取 AM AB ，CD CN ．先证四边形MBND是平行四边形．得 MB DN ， M N   ，再证 AMB CND△ ≌△ 得 AB CD ， AD BC ，从而即可证明结 论成立； （3）法1：① AB DC ，分别在OB、OD上截取OE OA 、OF OC ．延长 AE、CF， 过点 B、D作BG AE 、DH CF ，垂足为点G、H ．证明Rt RtBEG DFH≌ 得 BG HD ，再证Rt RtABG CDH≌ ，进而证明 AB DC即可，法2：③ AB DC，分 别在OB、OD上截取OE OA 、OF OC ，先证 AB DC得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ABE CDF   ． ABE CDF△ ≌△ 得 AB DC 即可，法3：④ AD BC∥ ，方法同③． 【详解】（1）解：一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形 ABCD中， AD BC∥ ， B D  ， 求证：四边形 ABCD是平行四边形， 证明：∵ AD BC∥ ， ∴ 180A B   ， 180C D   ， ∵ B D  ， ∴ A C  ， ∴四边形 ABCD是平行四边形， 故答案为：一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．（答案不唯一） （2）证明：延长DA、 BC并截取 AM AB ，CD CN ． AB AD CD CB   AM AD CN CB    ，即MD BN ． AD BC 四边形MBND是平行四边形． MB DN  ， M N   ． AM AB ，CD CN 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 M MBA   ， N NDC  ． MBA NDC   ． AMB CND△ ≌△ ． AB CD  ． AB AD CD CB   AD BC  ． 四边形 ABCD是平行四边形． （3）解：选择①或③或④之一 法1：① AB DC ， 分别在OB、OD上截取OE OA 、OF OC ．延长 AE、CF，过点 B、D作BG AE 、 DH CF ，垂足为点G、H ． OE OA ，OF OC ． OAE AEO   ， OFC OCF   ． AOE FOC  ， OAE AEO OFC OCF       ． BEG HFD   ． OA OD OB OC   ， OE OD OB OF    ，即ED BF ． ED EF BF EF    即 BE DF ． Rt RtBEG DFH △ ≌ △ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 BG HD  ． 又 AB DC ， Rt RtABG CDH △ ≌ △ ． BAE DCF  ． 又 OAE OCF  ， BAE OAE DCF OCF       ．即 BAO DCO   ． AB DC 又 AB DC 四边形 ABCD是平行四边形 法2：③ AB DC， 分别在OB、OD上截取OE OA 、OF OC ． OE OA ，OF OC ． OAE AEO   ， OFC OCF   ． AOE FOC  ， OAE AEO OFC OCF       ． AEB DFC   ． AB DC ∥ ， ABE CDF  ． OA OD OB OC   ， OE OD OB OF    ，即ED BF ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 ED EF BF EF    即 BE DF ． ABE CDF△ ≌△ ． AB DC  ． 又 AB DC ∥ ， 四边形 ABCD是平行四边形． 法3：④ AD BC∥ ，方法同③ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定以及平行线的性质，熟 练掌握平行四边形的判定是解题的关键．