精品解析：上海市宝山区上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高一下学期3月教学评估测试数学试卷

上海师范大学附属中学宝山分校3月教学评估测试高一年级数学试卷 考试说明：满分：150 分；考试时间：120 分钟； 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1. 已知某扇形的周长是 ，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是______. 【答案】2 【解析】 【分析】由扇形的周长和面积，可求出扇形的半径及弧长，进而可求出该扇形的圆心角. 【详解】设扇形的半径为，所对弧长为，则有，解得，故. 故答案为：2. 【点睛】本题考查扇形面积公式、弧长公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角基本关系式，结合正余弦的齐次式法即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 3. 已知，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用两角和差公式分析求解. 【详解】因为， 由题意可得，即， 且，可知. 故答案为：. 4. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式对所求进行化简，把条件代入求值即可. 【详解】 又，所以原式 故答案为： 5. 定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，的最小正周期是，且当时，，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用函数的周期性和奇偶性即可得解. 【详解】因为既是偶函数，又是周期函数，其最小正周期是， 又当时，， 所以. 故答案为：. 6. 若函数的图像关于直线对称，则实数 =_____. 【答案】 【解析】 【分析】由的图象关于直线对称，可得，从而可求得 ． 【详解】解：的图象关于直线对称， ，即， ． 故答案为 【点睛】本题考查正弦函数的对称性，关键在于对的理解与应用，属于中档题． 7. 在中， ， ，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的性质可得，分类讨论，结合题意列式求解即可. 【详解】由三角形可得，解得， 若该三角形为钝角三角形，注意到 ， 则角为钝角或角为钝角，可得或， 即或，解得或， 故边的取值范围是. 故答案为：. 8. 已知，则角_____． 【答案】或或或 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，结合题意，直接求解即可. 【详解】因为，则， 又，故或或或， 解得：或或或. 故答案为：或或或. 9. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意得出，然后利用诱导公式可计算出的值. 【详解】，. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题时要明确各角之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 10. 在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据利用正弦定理，结合三角形有1个解的条件即可求解. 【详解】根据题意，，， 由正弦定理得：，则， 三角形只有一个解，则或， 则或，即或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 11. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦函数的二倍角公式，将被开方数化为完全平方数，结合的范围即可得解. 【详解】因为，所以， 所以 . 故答案为：. 12. 已知函数，若对任意的 ，，当 时，恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为对任意的，当 时，恒成立，不妨设，将问题转化为在单调递减，再结合利用正弦函数的性质求出的取值范围． 【详解】， 由， 得， 所以， 所以， 因为对任意的，当 时，恒成立， 所以对任意的， 当 时，恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在单调递减， 所以，其中 ，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 二、选择题（本大题共 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分） 13. 下列说法正确的是（ ） A. 角和角是终边相同的角 B. 第三象限角的集合为 C. 终边在y轴上角的集合为 D. 第二象限角大于第一象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的定义判断． 【详解】，因此的解与角的终边相同，A错； 第三象限角的集合为，B错； 终边在y轴上角，终边可能在 轴正半轴，， 终边在 轴负半轴，，其中 ，终合为，C正确； 是第二象限角，是第一象限角，但，D错． 故选：C． 14. 如果是第一象限角，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据的象限确定的象限，即可排除B、D，再确定的象限，即可排除A. 【详解】因为是第一象限角，则， ， 所以， ， 所以是第一或第三象限角，则或，，故排除B、D； 又， ， 所以的终边在第一、第二象限或在 轴的非负半轴上，则， 当的终边在 轴的非负半轴上时， 无意义，故排除A. 故选：C 15. 在中，角 ，，所对的边分别为 ，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 故选：A. 16. 定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（　　） A. 1 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题 【详解】由已知可得， 即. 因为，所以， 则 ， 当且仅当时等号成立,故， 故选：D. 三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+18+18=78 分） 17. （1）已知 是关于 的方程 的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）解方程 ，求出，利用同角三角函数关系式能求出结果． （2）由且，得，从而，再由，能求出结果． 【详解】（1）解方程 ，得，， 是关于 的方程 的一个实根，且是第一象限角，则， （2），且， ，则，而， 则，故， 18. 在中，角A、B、C所对的边做改为a、b、c，，且． （1）求的面积； （2）若 ，求a的值： 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式求出 ，再利用同角的平方关系求得 ，带入面积公式即可； （2）结合余弦定理即可直接求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，故， 又因为，所以； （2）由（1）中知， 结合余弦定理得 ， 所以. 19. 在中，内角所对的边分别为 ，且. （1）求C； （2）若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD＝2，求b＋4a的最小值. 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把已知条件化为，再用余弦定理求得角； （2）由△BCD和△ACD的面积之和等于△ABC的面积求出，利用基本不等式求出故的最小值. 【小问1详解】 设外接圆的半径为R，由正弦定理得： ， 则可化为， 整理得. 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 由 和的面积之和等于的面积，得， 可得，即. 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为18. 20. 已知 ． （1）设 ，若对任意的，不等式 成立，求的取值范围； （2）画出函数 的大致图象，并写出满足 的 的集合． 【答案】（1） （2）函数图象见解析； 【解析】 【分析】（1）求函数在上的最值，解不等式问题转化为且，由此可得结果. （2）利用辅助角公式化简函数解析式即可画出函数图象.利用反三角函数可表示 的集合. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，故. ∵，∴， ∴， ∵对任意的，不等式 成立， ∴，且， 由得，，， ∴，即的取值范围是. 【小问2详解】 由题意得， ， 令， ∵时，，时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∵，，， ∴在上的大致图象为： 由得，，故， ∵，∴， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又∵， ∴或， ∴或， ∴满足的 的集合为. 21. 若函数满足且（ ），则称函数为“函数”． （1）试判断 是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时， ，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于 的方程 （ 为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】（1） 不是“函数”， 理由如下： ， ，， 则， 故 不是“函数”； （2），单调递增区间为，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故 不是“函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时， ，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【小问1详解】 不是“函数”，理由略； 【小问2详解】 函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，， ， 当时，， ， 综上：， 中， 当 时，， ，此时单调递增区间为， ， 中， 当 时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； 【小问3详解】 由（2）知：函数在上图象为： 当时， 有3个解，其和为 ， 当或1时， 有4个解，由对称性可知：其和为 ， 当时， 有6个解，由对称性可知：其和为 ， 当 时， 有8个解，其和为 ， 所以. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海师范大学附属中学宝山分校3月教学评估测试高一年级数学试卷 考试说明：满分：150 分；考试时间：120 分钟； 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1. 已知某扇形的周长是 ，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是______. 2. 已知，则_______． 3. 已知，且，则___________. 4. 若，则______． 5. 定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，的最小正周期是，且当时，，则的值为_______． 6. 若函数的图像关于直线对称，则实数 =_____. 7. 在中， ， ，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是______. 8. 已知，则角_____． 9. 已知，则________. 10. 在中， ，，要使被唯一确定，那么的取值范围是_________. 11. 已知，则_______． 12. 已知函数，若对任意的 ，，当 时，恒成立，则实数的取值范围是______． 二、选择题（本大题共 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分） 13. 下列说法正确的是（ ） A. 角和角是终边相同的角 B. 第三象限角的集合为 C. 终边在y轴上角的集合为 D. 第二象限角大于第一象限角 14. 如果 是第一象限角，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 15. 在中，角，，所对的边分别为 ，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 16. 定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（　　） A. 1 B. 4 C. 8 D. 9 三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+18+18=78 分） 17. （1）已知 是关于的方程 的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 18. 在中，角A、B、C所对的边做改为a、b、c，，且． （1）求的面积； （2）若 ，求a的值： 19. 在中，内角所对的边分别为 ，且. （1）求C； （2）若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD＝2，求b＋4a的最小值. 20. 已知 ． （1）设 ，若对任意的，不等式 成立，求的取值范围； （2）画出函数 的大致图象，并写出满足 的的集合． 21. 若函数满足且（ ），则称函数为“函数”． （1）试判断 是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时， ，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程 （ 为常数）有解，记该方程所有解的和为 ，求 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $