【专项练】分母有理化的应用-鲁教版五四制八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 分母有理化的应用 1．D 【难度】0.85 【知识点】二次根式的除法、分母有理化 【分析】根据倒数的定义以及分母有理化即可求解． 【详解】解：∵ 6 倒数是 1 6 66  ． 故选 D． 【点睛】本题考查了倒数的定义以及分母有理化，掌握倒数的定义以及分母有理化是解题的关 键． 2．B 【难度】0.85 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理数化，先把 1 2 3 b   分母有理数化即可得出答案. 【详解】解：      2 31 2 3 2 3 4 32 3 2 3 2 3 b           。 ∵ 2 3a   ， ∴ a b ， 故选：B. 3．C 【难度】0.85 【知识点】分母有理化、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了分母有理化、运用平方差公式进行计算，根据甲的做法是将分母有理化， 乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简，判断即可得解，熟练掌握以上知识点并 灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：甲的做法是将分母有理化，运用分数的基本性质，分子、分母都乘以不为 0的同 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 一个数；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简；均正确， 故选：C． 4．D 【难度】0.85 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是 解题的关键．依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：当 2 1x   时，“□”中添上“−”， 则    2 1 2 1 0    ，其运算的结果为有理数， ∴A选项不符合题意； 当 2 1x   时，“□”中添上“−”， 则    2 1 2 1 2    ，其运算的结果为有理数， ∴B选项不符合题意； 当 1 2x   时，“□”中添上“+”， 则    2 1 1 2 2    ，其运算的结果为有理数， ∴C选项不符合题意， 当 2 2x  时，“□”中添上“+”， 则  2 1 2 2 3 2 1    ，其运算的结果为无理数， 当 2 2x  时，“□”中添上“−”， 则  2 1 2 2 2 1     ，其运算的结果为无理数， 当 2 2x  时，“□”中添上“×”， 则  2 1 2 2 4 2 2   ，其运算的结果为无理数， 当 2 2x  时，“□”中添上“÷”， 则   2 22 1 2 2 4   ，其运算的结果为无理数， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴D选项符合题意； 故选：D． 5．A 【难度】0.85 【知识点】分母有理化 【分析】根据有理化因式的特点：单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是 与它配成平方差公式的那个多项式．然后根据题意就可以求出其解． 【详解】由题意，得 a x b y 的有理化因式是： a x b y ， 故选：A． 【点睛】本题考查有理化因式，单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与 它配成平方差公式的那个多项式． 6．D 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 根据条件所给的例子，将二次根式分母有理化即可． 【详解】解：    1 1 1 1 11 1 1 n n n n n n n nn n n n n n                 ． 故选：D． 7．C 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、平方差公式分解因式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的 方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断 即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以  m n ，式子的值不变，故该选项正确，不符 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 合题意； B、将分子因式分解为   m n m n  ，与分母约分后得到  m n ，故该选项正 确，不符合题意； C、因为  m n 有可能为 0，所以分子分母同时乘以  m n 错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为   m n m n  ，与分母约分后得到  m n ，故该选项正 确，不符合题意； 故选：C ． 8．D 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值、运用平方差公式进行运算、分母有理化、运用完全平方 公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，先化简 a b、 ，再利用因式分解和完全平方公式把 3 3 19a b ab  转化为  2 2 19ab a b ab     ，把化简后 a b、 的值代入计算得到 3 3 19a b ab  的值，即可求出 3 3 19a b ab  的值，掌握二次根式的化简和完全平方公式的 应用是解题的关键． 【详解】解：      2 5 35 3 4 15 5 3 5 3 5 3 a         ，      2 5 35 3 4 15 5 3 5 3 5 3 b         ， ∴  3 3 2 219 19a b ab ab a b       2 2 19ab a b ab     ，        24 15 4 15 4 15 4 15 2 4 15 4 15 19             ，  1 64 2 1 19     ， 62 19  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 81 ， ∴ 3 3 19 81 9a b ab    ， 故选：D． 9．B 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、通过对完全平方公 式变形求值 【分析】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化，解决二次根式的化简、 比较大小和运算的问题，熟练掌握知识点是解题的关键． ①估计无理数的整数部分，求出小数部分 2 1a   ，进而分母有理化进行化简； ②通过分母有理化，比较两个二次根式的倒数大小，即可解答； ③先分子分母同时乘以 ( 3 2 1)  ，减少分母的根式个数后再次有理化分母即可； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值； ⑤ a与 b可以利用分母有理化化简，可得出 1ab  ，然后观察方程特点，求得 m的值． 【详解】解：①∵a是 3的小数部分， ∴ 3 1a   ， ∴       3 3 1 3 3 13 3 3 3 3 2 23 1 3 1 3 1a           ，故①错误； ②∵ 1 ( 2024 2023)( 2024 2023) 2024 2023 2024 2023 ( 2024 2023)        ， 1 ( 2023 2022)( 2023 2022) 2023 2022 2023 2022 ( 2023 2022)        ， 又∵ 2024 2023 2023 2022   ， ∴ 1 1 2024 2023 2023 2022    ， ∴ 2024 2023 2023 2022   ，故②正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ③ 1 3 2 1  ( 3 2 1) ( 3 2 1)( 3 2 1)        2 3 2 1 3 ( 2 1)      3 2 1 2 2     2( 3 2 1) 2 2 2      2 2 6 4    ，故③正确； ④∵ 2 (2 3) 2 1 (2 1) 2 3k k k k     2[(2 3) 2 1 (2 1) 2 3] [(2 3) 2 1 (2 1) 2 3][(2 3) 2 1 (2 1) 2 3] k k k k k k k k k k k k                 2 2 2[(2 3) 2 1 (2 1) 2 3] (2 3) (2 1) (2 1) (2 3) k k k k k k k k            2[(2 3) 2 1 (2 1) 2 3] (2 3)(2 1)[(2 3) (2 1)] k k k k k k k k            (2 3) 2 1 (2 1) 2 3 (2 3)(2 1) k k k k k k         2 1 2 3 2 1 2 3 k k k k       ∴ 2 2 2 2 3 3 5 3 3 5 7 5 5 7 99 97 97 99                        2 3 3 2 5 3 3 5 2 7 5 5 7 3 3 3 3 5 3 3 5 5 3 3 5 7 5 5 7 7 5 5 7             原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7      2 99 97 97 99 99 97 97 99 99 97 97 99       3 3 5 5 7 97 991 3 3 5 5 7 97 99                                         3 3 5 5 7 97 991 3 3 5 5 7 97 99                 111 33   ，故④正确； ⑤∵         21 11 1 1 1 1 m m m mm ma m m m m m m m m                 ， ∴ 0a  ， ∵ 1b a  ， ∴ 1ab  ，  21 1 1 m mb m m m m         ， ∴ 0b  ， ∴ 0a b  ， ∵ 2 21926 2024a ab b   ， ∴ 2 21926 2024a b   ， 2 2 98a b  ， 2 2 2 98 2a b ab ab    ，  2 98 2a b   ，  2 100a b  ， ∵ 0a b  ， ∴ 10a b  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 即    2 21 1 10m m m m      ， 4 2 10m  ， 解得 2m  ，故⑤错误． 综上所述：②③④正确， 故选：B． 10． 2 x x  ， 2 1 ． 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值和分母有理化，先计算括号中的异分母分式减法，同时将 除法写成乘法，再计算乘法，然后算同分母分式加法原酸，最后将 2 2x   代入计算，掌握 分式的混合运算法则,分母有理化是解题的关键． 【详解】解：原式    2 2 1 2 1 2 2 1 2 x x x x x x x                21 2 1 2 2 1 2 x x x x x x          1 1 2 2 x x x      2 x x   ， 当 2 2x   时， 原式 2 2 2 2 2     2 2 2   2 1  ． 11．(1)3 7 ； 2 1 (2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 (3) 2021 1 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的应用，平方差公式，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关 键． （1）按照题干中的步骤进行有理化因式，分母有理化即可求解． （2）将 1 6 2 和 1 3 7 分母有理化，即可比较大小． （3）将原式分母有理化，化简就可求解． 【详解】（1）解：∵     223 7 3 7 3 7 2     ， ∴3 7 的有理化因式是3 7 ， ∵    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1        ， ∴ 1 2 1 分母有理化得 2 1 ， 故答案为：3 7 ， 2 1 ； （2）解：∵    1 6 2 6 2 26 2 6 2 6 2        ，    1 3 7 3 7 23 7 3 7 3 7        ， 又 2 6 2 2 3 7   ， ∴ 7 1 36 2 1    ， 故答案为：． （3）解：将分母有理化，可得 原式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10                          4 5 1 4 3 5 4 13 3 4 2017 2013 4 2021 2017 5 1 5 1 3 5 3 5 13 3 13 3 2017 2013 2017 2013 2021 2017 2021 2017                        5 1 3 5 13 3 2017 2013 2021 2017           2021 1  ． 12．(1)2 (2)11 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、运用完全平方公式进行运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查分母有理化、代数式求值，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照例题方法，先分母有理化求得 m值，进而利用完全平方公式求得 2 6 2m m  ，然 后代值求解即可； （2）仿照例题方法求解即可． 【详解】（1）解：∵      2 11 3 11 3 11 3 11 3 m       ，即 3 11m  ，   23 11m  ，即 2 6 9 11m m   ，  2 6 2m m  ，  2 6m m 的值为 2； （2）解：∵      1 17 41 17 4 17 4 17 4 17 4 n          ，即 4 17n   ，   24 17n   ，即 2 8 16 17n n   ，  2 8 1n n  ，   2 22 16 9 2 8 9 2 1 9 11n n n n         ， 即 22 16 9n n  的值为 11． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 13．(1) 2 n (2)   2023 (3) 2023 1S   【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了数学中的阅读能力，以及对规律的总结，还有二次根式的化简，关键是理 解新定义和有关二次根式的化简运算． （1）观察各式，根据已知内容归纳总结即可； （2）根据已有规律 2nOA n ，即可求解； （3）代入值化简，进行分母有理化，整理后即可得到答案． 【详解】（1）解：由各式可知 2nOA n ， 2n nS  ， 故答案为： 2 n ； （2）∵ 2nOA n ， ∴ 2 2023 2023OA  ，则 2023 2023OA  ， 故答案为： 2023； （3） 1 2 2 3 3 4 2022 2023 1 1 1 12S s s s s s s s s          1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2022 2023 2 2 2 2 2 2 2 2         …+ 2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 2022 2023          …          2 1 3 2 2023 20222 2 1 2 1 3 2 3 2 2023 2022 2023 2022                原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12  2 2 1 3 2 2023 2022       2 2023 1  ， ∴ 2023 1S   ． 14．(1)① 3 1 ；② 15 5 (2) 15 2 (3)1 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化： （1）①仿照题意求解即可；②根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据例题把 4 15 ，变成2 60，然后根据阅读材料进行化简； （3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式． 【详解】（1）解：①∵3 1 4  ，3 1 3  ，即  2 23 1 4  ， 3 1 3  ， ∴  24 2 3 3 1 3 1     ； ② 3 3 15 15 15 515    ； （2）解：解： 19 4 15 19 2 60   ∵15 4 19  ，15 4 60  ， ∴    2 215 4 19  ， 15 4 60  ， ∴  219 4 15 19 2 60 15 4 15 4 15 2         ． 故答案为： 15 2 ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 （3）解： 1 1 1 3 2 2 5 2 6 7 2 12           2 22 1 1 1 1 2 2 33 4       1 1 1 2 1 3 2 2 3                2 1 3 2 2 3 2 1 2 1 3 2 3 2 2 3 2 3             2 1 3 2 2 3      1 ． 15．(1)1；10 (2)1 (3)8 【难度】0.4 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、分母有理化、运用完全平方公式 进行运算 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解 题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简 ,a b，从而求出a b  4 2, 1m ab  ，然后根据已知可得  22 1951 2023a b ab   ，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 3 2 3 2 3 2 3 2      原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 2 2( 3 2) ( 3 2) ( 3 2)( 3 2) ( 3 2)( 3 2)            2 23 2 3 2        23 2 3 2      1. 3 2 3 2 3 2 3 2      2 2( 3 2) ( 3 2) ( 3 2)( 3 2) ( 3 2)( 3 2)            2 23 2 3 2    10. （2）   2 2( 1 ) 1 , ( 1 )( 1 ) m ma m m m m m m              2 2( 1 ) 1 ( 1 )( 1 ) m mb m m m m m m           ， 2 2( 1 ) ( 1 ) 4 2,a b m m m m m          2 2 2( 1 ) ( 1 ) [( 1 )( 1 )] ( 1 )ab m m m m m m m m m m             1, 2 22 1955 2 2023,a ab b    22 1951 2023,a b ab     2 36,a b   6,a b   4 2 6,m   1m  ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 （3） ∴  22 215 19 4x x    ， ∴ 2 2 2 215 2 15 19 19 4x x x x        ， ∴ 2 215 19 15x x    ， ∴  22 215 19x x    22 2 2 215 19 4 15 19x x x x        4 4 15   64 ， ∵ 2 215 0, 19 0x x    ， ∴ 2 215 19 8x x    ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 分母有理化的应用 1． 6 倒数是（ ） A． 6 B． 6 C． 6 6  D． 6 6 2．如果 2 3a   ， 1 2 3 b   ，那么a、b的关系是（ ） A． 1ab   B． a b C． 0a b  D． 1ab  3．化简 3 5 2 时，甲的解法是：原式      3 5 2 5 2 5 2 5 2       ，乙的解法是： 原式   5 2 5 2 5 2 5 2       ，以下判断正确的是（ ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 4．若 x为实数，在“ ( 2 1) □x”的“□中添上一种运算符号（在“，，×，÷”中选 择）后，其运算的结果为有理数，则 x不可能是（ ） A． 2 1 B． 2 1 C．1 2 D． 2 2 5．下列式子中，是 a x b y 的有理化因式的是（ ） A． a x b y B． a x b y C．b x a y D． x y 6．观察下列等式： ①    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1        ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ②    1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2        ； ③    1 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3        ； … 化简： 1 1n n    （ ）（n为正整数）． A． 1n n  B． 1n  C． n D． 1n n  7．把式子分母有理化过程中，错误的是（ ） A． ( )( ) ( )( ) m n m n m n m n m n m n m n          B． ( )( )m n m n m n m n m n m n         C． ( )( ) ( )( ) m n m n m n m n m n m n m n          D． ( )( )m n m n m n m n m n m n         8．已知 5 3 5 3 5 3 5 3 a b     ， ，则二次根式 3 3 19a b ab  的值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．例如：       2 1 2 12 1 2 2 3 2 1 2 1 2 1         ．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母 中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①若 a是 3的小数部分，则 3 a 的值为3 3 6 ； ②比较大小： 2024 2023 2023 2022   ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ③变形： 1 2 2 6 43 2 1      ； ④计算 2 2 2 2 111 333 3 5 3 3 5 7 5 5 7 99 97 97 99            ； ⑤已知 1 1 m ma m m      ， 1 1 m mb m m      ，且 2 21926 2024a ab b   ，则所有可能的整 数 m的和为 1 ． 以上结论正确的是（ ） A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 10．先化简，再求值： 2 1 1 1 2 4 2 2 x x x x x x          ，其中 2 2x   ． 11．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其 意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：        2 23 2 3 2 3 2 1      ；       2 25 2 5 2 5 2 3      ，它 们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于 是，二次根式除法可以这样解：如         2 3 2 32 3 7 4 3 2 3 2 3 2 3           ； 1 1 3 3 33 3 3     ，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号 中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： (1)3 7 的有理化因式是______， 1 2 1 分母有理化得______； (2)比较大小： 1 6 2 ______ 1 3 7 （用“ ”“ ”或“ ”填空）； (3)计算： 4 4 4 4 4 5 1 3 5 13 3 2017 2013 2021 2017           ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 12．在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知 1 10 3 a   ，求 22 12 3a a  的 值．经过讨论，他们是这样解答的：       1 10 31 10 3 10 3 10 3 10 3 a          ，即 3 10a   ，   23 =10a  ，即 2 6 9 10a a   ．  2 6 1a a    2 22 12 3 2 6 3 2 1 3 5a a a a         ． 请你根据他们的分析过程，解决下列问题： (1)若 2 11 3 m   ，求 2 6m m 的值； (2)若 1 17 4 n   ，求 22 16 9n n  的值． 13．细心观察图形，认真分析各式，解答问题：  222 1 1 2OA    ， 1 12S  （ 1S 是 1 2Rt A A O△ 的面积），  223 2 1 3OA    ， 2 22S  （ 2S 是 2 3Rt A AO△ 的面积），   22 4 3 1 4OA    ， 3 3 2 S  （ 3S 是 3 4Rt A A O△ 的面积），    (1)用含 n（n 为正整数）的式子表示 nS ，则 nS  ________； (2)推算出 2023OA  ； (3)若 1 2 2 3 3 4 2022 2023 1 1 1 12S s s s s s s s s          ，求S的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 14．先阅读下列解答过程： 材料一：形如 2m n 的式子的化简，只要我们找到两个正数 ,a b，使 ,a b m ab n   ， 即    2 2+a b m= ， a b n  ，那么便有 22 ( ) ( )m n a b a b a b      ． 例如：化简 7 4 3 ． 解：首先把 7 4 3 化为 7 2 12 ，这里 7m  ， 12n  ， 由于 4 3 7  ， 4 3 12  ，即    2 24 + 3 7= ， 4 3 12  ， 所以  27+4 3 7+2 12 4+ 3 2+ 3= = = ． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因 式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： 1 1 3 3 33 3 3     ，     8 6 28 8 3 3 2 6 2 2 46 2 6 2 6 2         请根据材枓解答下列问题： (1)填空：① 4 2 3 ______； ② 3 15  ______． (2)化简： 19 4 15 （诸写出计算过程）； (3)化简： 1 1 1 3 2 2 5 2 6 7 2 12      ． 15．阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的 计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 2 3a b ab   ， ，求 2 2a b 我们可以把 a b 和ab 看成是一个整体，令 x a b y ab  ， ，则  22 2 22 2 4 6 10a b a b ab x y         这样， 我们不用求出 a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： 3 2 3 2 3 2 3 2____ ____ 3 2 3 2 3 2 3 2             ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 (2)m是正整数， 1 1, , 1 1 m m m ma b m m m m           且 2 22 1955 2 2023a ab b   ，求 m． (3)已知 2 215 19 2x x    ，求 2 215 19x x   的值．