【专项练】二次根式非负性的应用-鲁教版五四制八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二次根式非负性的应用 1．要使式子 1 2x  有意义，则 x的取值应满足（ ） A． 2x  B． 2x  C． 2x  D． 2x  2．若代数式 1 6 x 有意义．则 x的取值范围是（ ） A． 6x   B． 6x   C． 6x   D． 6x  3．    228 8k k   成立的条件是（ ） A． 8k   B． 8k   C． 8k   D． 8k   4．若 x是整数，且 3 5x x   有意义，则 3 5x x   的值是（ ） A．0或 5 B．1或 3 C．0或 1 D．3或 5 5．已知 3 3 5x x y     ，则 5xy的值为（ ） A．5 3 B．5 2 C．5 D．6 6．若 9  n是整数，则满足条件的自然数 n个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7． 5 3 x   是二次根式，则 x的取值范围是 ． 8．若 2023 2024m m m    ，则 22023m   ． 9．已知 2023 1 2024 1 4y x x     ，则 2 2x y 的值是 ． 10．已知 ,x y为实数， 2 24 4 1 2 x xy x       ，则 18xy  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 11．已知 52 5 3 2 y x x     ，则2xy的值为 ．． 12．定义：我们将  a b 与  a b 称为一对“对偶式”．因为       2 2a b a b a b a b      ，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通 过构造“对偶式”来解决．例如： 18 11 1x x    ，求 18 11x x   的值，可以这样解 答： 因为        2 218 11 18 11 18 11 18 11 7x x x x x x x x                ，所以 18 11 7x x    ． (1)代数式 10 2x x   中 x的取值范围是______； (2)已知： 20 4 8x x    ，求： ① 20 4x x   _____； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程： 20 4 8x x    ． 13．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数 :T m T n  ，（其中m为满足 不等式的最大整数， n为满足不等式的最小整数），则称无理数T 的“行知区间”为  ,m n ， 如1 2 2  ，所以 2的行知区间为  1,2 ． (1)无理数 17 的“行知区间”是________； (2)若 3 3 7    a b b ，求a的“行知区间”； (3)实数 x， y， n满足 2 3 3 4 2 41 41x y n x y n x y x y           ，求 n的算 术平方根的“行知区间”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 14．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：  21 3 1x x   解：隐含条件1 3 0x  ，解得： 1 3 x  ∴1 0x  ， ∴原式    1 3 1 1 3 1 2x x x x x          【启发应用】 （1）按照上面的解法，    223 2x x   隐含的条件是：x______． （2）按照上面的解法，试化简    223 2x x   ． 【类比迁移】 （3）已知 a，b，c为ΔABC的三边长． 化简：        2 2 2 2a b c a b c b a c c b a           ． 15．已知ΔABC三条边的长度分别是 1x  ， 2(5 )x ， 24 ( 4 )x  ，记ΔABC的周长为 ABCC ． (1)当 2x  时，ΔABC的周长 △ABCC __________（请直接写出答案）． (2)请用含 x的代数式表示ΔABC的周长 ABCC （结果要求化简），并求出 x的取值范围．如果 一个三角形的三边长分别为 a，b，c，三角形的面积为S，则 22 2 2 2 21 4 2 a b cS a b             ． 若 x为整数，当 ABCC 取得最大值时，请用秦九韶公式求出ΔABC的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二次根式非负性的应用 1．C 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得到 2 0x   ，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， 2 0x   ， 解得 2x  ． 故选：C． 2．B 【难度】0.85 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为 0； 二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式和分式有意义的条件可得6 0x  ，再求解即可． 【详解】解：由题意得：6 0x  ， 解得： 6x   ， 故选：B． 3．B 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得出8 0k  ， 解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：8 0k  ， 解得∶ 8k   ， 故选：B. 4．C 【难度】0.85 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【知识点】二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和解不等式组，先根据 x为整数和二次根式有意义求 出 x的值，再分别代入求解即可． 【详解】解：∵ 3 5x x   有意义， ∴ 3 0 5 0 x x      ， 解得：3 5x  ， ∵x是整数， ∴ 3x  或 4或 5， 原式 0 或 1， 故选：C． 5．A 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，一元一次不等式组解法，理解 二次根式有意义的条件是解答关键． 根据二次根式有意义的条件求出 3x  ，进而求出 y的值，代入 5xy中进行计算求解． 【详解】解：根据二次根式的意义得， 3 0 3 0 x x      ， 3x  ， 当 3x  时， 3 0x   ，3 0x  ， 5y  ， ∴ 5 5 3 5 5 3xy     ， 故选：A． 6．D 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【分析】本题主要考查了对二次根式的定义的应用，掌握被开方数大于等于 0是解题的关键．根 据二次根式的意义求出 9n  ，在此范围内要使 9  n是整数，n只能是 0或 5或 8或 9，求 出即可． 【详解】∵要使 9  n有意义，必须9 0n  ，即 9n  ， 9 n 是整数， n 只能是 0或 5或 8，9 ∴满足条件的 n共有 4个值． 故选：D． 7． 3x  【难度】0.65 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条 件，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得3 0x  ，即得 3x  ． 【详解】∵ 5 3 x   是二次根式， ∴ 5 0 3 x    ． ∵5 0 ，3 0x  ， ∴3 0x  ． ∴ 3x  ． 故答案为： 3x  ． 8．2024 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、求一个数的算术平方根 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【分析】本题考查二次根式有意义，先根据 2024m 得到 2024m  ，再化简绝对值计算即 可． 【详解】解： 2024m ， ∴ 2024m  ， ∵ 2023 2024m m m    ， ∴ 2023 2024m m m    ， ∴ 2024 2023m  ， ∴ 22024 2023m   ， ∴ 22023 2024m  ， 故答案为：2024． 9． 4 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，求解代数式的值，熟 练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得 1x  ，从而求得 4y  ，进而解决此题． 【详解】解： 2023 1 2024 1 4y x x     ， ∴ 1 0 1 0 x x      ， ∴ 1x  ， ∴ 2023 1 1 2024 1 1 4 4y       ， ∴ 2 2 2 21 4 16 4x y     ， 故答案为： 4． 10．3 【难度】0.65 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件和算术平方根，解题关键是熟练运用二次根 式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用算术平方根的意义求解． 根据二次根式和分式有意义的条件得出 x，y的值，代入求值即可． 【详解】解：由题意得： 2 4 0x   且 24 0x  ， 即 2 4x  且 2 4x  ， 所以 2 4x  ， 又∵ 2 0x   ，即 2x  ∴ 12 4 x y   ， ， 故 118 18 ( 2) ( ) 9 3 4 xy        ， 故答案为：3． 11．15 【难度】0.65 【知识点】求不等式组的解集、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，根据被开方数大于等于 零列出不等式，求出 x，y的值，即可求解． 【详解】解：由题意得： 2 5 0 5 0 2 x x       ， 解 2 5 0x   得： 5 2 x  ， 解 5 0 2 x  得： 5 2 x  ， 5 2 x  ， 5 5 52 5 3 3 2 2 2 y        ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 52 2 3 15 2 xy     故答案为：15． 12．(1)2 10x  ； (2)①2；② 5x   ． 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识 点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可； （2）①运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可；②根据（1）构成方程组求解，然 后再检验即可． 【详解】（1）解： 10 0 2 0 x x      ，解得： 2 10x  ， ∴x的取值范围为2 10x  ． 故答案为： 2 10x  ． （2）解：①∵   20 4 20 4 20 4 16x x x x x x           ， ∴ 16 1620 4 2 820 4 x x x x          ． 故答案为：2． ②由题意可得： 20 4 8 20 4 2 x x x x           ，则 2 20 10x  ，解得： 5x   ， 经检验， 5x   是方程 20 4 8x x    的根． ∴方程 20 4 8x x    的解为 5 ． 13．(1)  4,5 (2)  3, 2  (3)  6,7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、无理数的大小估算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并 灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出 19 的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到 7b   ，进一步求出b的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到 2 3 ,3 4 2x y n x y n    ， 41x y  ，求出 , ,x y n的值，进而求出 n 的“行知区间”即可． 【详解】（1）解：∵ 16 19 25  ， ∴ 4 19 5  ， 即：无理数 19 的“行知区间”是  4,5 ； 故答案为：  4,5 ； （2）解：∵ 3 3 7    a b b ∴ 3 0,3 0b b    ， ∴ 3b  ， ∴ 7a   ， ∵ 4 7 9  ， ∴ 2 7 3  ， ∴ 3 7 2     ， ∴a的“行知区间”为  3, 2  ； （3）∵ 2 3 3 4 2 41 41x y n x y n x y x y           ， ∴ 41 0, 41 0x y x y      ， ∴ 41x y  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴ 2 3 3 4 2 0x y n x y n      ， ∴ 2 3 0,3 4 2 0x y n x y n      ， 联立： 41 2 3 0 3 4 2 0 x y x y n x y n           ，解得： 82 41 41 x y n       ， ∴ n的算术平方根为 41， ∵ 36 41 49  ， ∴6 41 7  ； ∴ n的算术平方根的“行知区间”为  6,7 ． 14．（1） 2x  ；（2）1；（3） 2 2 2a b c  【难度】0.65 【知识点】三角形三边关系的应用、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的意义： （1）根据二次根式有意义的条件判断出 x的范围； （2）根据（1）所求结合二次根式的性质化简可得答案； （3）由三角形三边间的关系得出 0a b c   、 0b a c   、 0c b a   ，再利用二次根 式的性质化简可得答案． 【详解】解：（1）∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于 0， ∴隐含条件 2 0x  ， 解得： 2x  ， （2）∵ 2x  ， 3 0x   ， ∴    223 2x x      = 3 2x x   3 2x x    1 ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 （2）由三角形三边之间的关系可得隐含条件： 0a b c   ，b c a  ，a c b  ，a b c  ， ∴ 0a b c   ， 0b a c   ， 0c b a   ， ∴        2 2 2 2a b c a b c b a c c b a                  = a b c a b c b a c c b a           a b c a b c b a c c b a            2 2 2a b c   ． 15．(1)5 3 (2) 5 1ABCC x   （ 1 4x   ）， 3 7 4 【难度】0.4 【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】（1）利用 2x  分别计算ΔABC三条边的长度，然后求和即可获得答案； （2）依据二次根式有意义的条件可得 x的取值范围，进而化简得到ΔABC的周长；由于 x为整 数，且要使 ABCC 取得最大值，所以 x的值可以从大到小依次验证，即可得出ΔABC的面积． 【详解】（1）解：当 2x  时， 1 2 1 3x     ， 2 2(5 ) (5 2) 3x    ， 24 ( 4 2) 4 2 2     ， ∴ 3 3 2 5 3ABCC      ． 故答案为：5 3 ； （2）根据题意，可得 1 0 4 0 x x      ，解得 1 4x   ， ∴ 5 0x  ∴ △ABCC 2 21 (5 ) 4 ( 4 )x x x      1 5 4 (4 )x x x       原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 5 1x   ； ∵ x为整数，且 ABCC 有最大值， ∴ 4x  或 3或 2或 1或 0或 1 ， 当 4x  时，三角形三边长分别为 4 1 5  ， 2(5 4) 1  ， 24 ( 4 4) 4   ， ∵ 5 1 4  ， ∴此时不满足三角形三边关系，故 4x  ， 当 3x  时，三角形三边长分别为 3 1 2  ， 2(5 3) 2  ， 24 ( 4 2) 2   ， 满足三角形三边关系， 可设 2a  ， 2b  ， 3c  ， ∴ ABCS 22 2 2 2 21 2 2 32 2 4 2               3 7 4  ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、三角形三边关系等知识，解题的关键是熟练掌 握二次根式的性质并根据三角形三边关系求解．