【专项练】二次根式的混合运算与化简求值-鲁教版五四制八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二次根式的混合运算与化简求值 1．下列运算正确的是（ ） A． 2 3 5  B．   3 2 3 2 1   C． 8 2 2  D． 4 2 3 2 1  2．下列计算正确的是（ ） A． 2( 2) 2  B． 1 110 10   C． 2( 3 2) 1  D． 2( 2 1) 3  3．估计  2 8 5 的值应在（ ） A．6和 7之间 B．7和 8之间 C．8和 9之间 D．9和 10之间 4．已知 2 1x   ，则代数式 2 2 1x x  的值为（ ） A．2 B．4 C．3 2 2 D．6 4 2 5．已知 10 17x   ， 2 5 7y   ，则 x与 y的大小关系为（ ） A． x y B． x y C． x y D．无法比较 6．对于任意的正数 m，n，定义运算※：     m n m n m n m n m n       ※ ，计算    5 3 12 20※ ※ 的结果为（ ） A．4 4 15 B． 2 5 2 3 C．4 D．32 7．数学课上，嘉嘉做了几道计算题：① 4 2  ，② 5 2 7  ，③ 5 8 2 10  ， ④ 39 3 3 3    ，⑤  22 2 6 4 2   ；请你当小老师检查一下，嘉嘉做对的题号 是 ．（填序号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 8．已知 4 5 1 的整数部分为 a，小数部分为 b，则 2 2a b 的值为 ． 9．计算：    2023 20255 2 5 2   ． 10．计算：    2022 20232 5 2 5   ． 11．观察以下各式： 1 2 1 2 1    ， 1 3 2 3 2    ， 1 4 3 4 3    利用以上规律计算：  1 1 1 1 2024 1 2 1 3 2 4 3 2024 2023              ． 12．化简计算： (1)   12 6 18 3 3   (2) 148 3 18 24 2     (3)   2 0 12 |1 2 3 | 12 2            (4)   32 16 2 1 2 1 8     13．已知 1 1 , 2 3 2 3 x y    ． (1)化简 x，y； (2)求代数式 2 25x xy y  的值； (3)若 x的小数部分为 a，求  21a  的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 14．石家庄市 2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间， 提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲 地块 ABCD，长 AB为8 2米，宽 BC为5 2米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方 形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为  13 1 米，宽为  13 1 米． (1)求长方形空闲地块 ABCD的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为 25元/平方米的地砖， 要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 15．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理 化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如： ( 7 6)( 7 6) 17 6 7 6 7 6        ，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小， 也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 7 6 和 6 5 的大小可以先将 它们分子有理化如下： 17 6 7 6    ， 16 5 6 5    ，因为 7 6 6 5 ＞ ， 所以 7 6 6 5 ＜ ．再例如：求 2 2y x x    的最大值．做法如下：解：由 x+2≥0， x﹣2≥0可知 x≥2，而 42 2 2 2 y x x x x         ，当 x＝2时，分母 2 2x x   有最小值 2，所以 y的最大值是 2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________ 1 3 2   ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 (2)比较3 2 4 和 2 3 10 的大小； (3)式子 1 1y x x x     的最小值是__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二次根式的混合运算与化简求值 1．C 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，合并同类二次根式，二次根式的性质，合并同类二次根 式法则逐项判定即可． 【详解】解∶A． 2与 3不可以合并，故原计算错误，不符合题意； B．   3 2 3 2 3 4 1      ，故原计算错误，不符合题意； C． 8 2 2 2 2 2    ，故原计算正确，符合题意； D．4 2 3 2 2  ，故原计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．A 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握各知识点是解答本题的 关键．根据二次根式的性质可判断 A，B；根据完全平方公式可判断 C，D． 【详解】解：A． 2 22 2 2  ( ) ，正确； B． 1 1 110 10 10 10    ，故不正确； C． 2( 3 2) 3 2 6 2 5 2 6      ，故不正确； D． 2( 2 1) 2 2 2 1 3 2 2      ，故不正确； 故选 A． 3．B 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 是解题的关键．先计算出原式等于 4 10 ，可得3 10 4  ，即可求解． 【详解】解：  2 8 5 4 10   ， 9 10 16  ，即3 10 4  ，  7 4 10 8   ，   2 8 5 的值应在 7和 8之间， 故选：B． 4．A 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的 关键． 先把 2 2 1x x  化成 21x （ ），再把 2 1x   代入计算即可． 【详解】解： 2 22 1 1x x x   （ ）， 当 2 1x   时，原式    2 22 1 1 2 2     ． 故选：A． 5．C 【难度】0.85 【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方 法和二次根式的运算法则．将 x 、 y 分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵ 10 17x   ， 2 5 7y   ， ∴ 2 27 2 170x   、 2 27 4 35 20 2 140y     ， ∵ 170 140 ， ∴ x y ． 故选 C 6．C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【难度】0.85 【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运 算列出算式，然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：    5 3 12 20※ ※    5 3 12 20       5 3 2 3 2 5    2 15 10 6 2 15    4 ， 故选：C． 7．③⑤ 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式混合运算的法则进行计算即可，熟知 二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：① 4 2 ，故①不符合题意； ② 5 与 2不是同类二次根式，不能合并，故②不符合题意； ③ 5 8 40 2 10   ，故③符合题意； ④ 3 39 3 9 9 3 3 3       ，故④不符合题意； ⑤  22 2 4 4 2 2 6 4 2      ，故⑤符合题意； ∴正确的有2个，分别是③⑤， 故答案为：③⑤． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 8．18 4 5 / 4 5 18  【难度】0.65 【知识点】无理数整数部分的有关计算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查的是估算无理数的大小及代数式求值，先化简 4 5 1 再估算出它的取值范 围，进而可得出 a 、b 的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵ 4 5 1      4 5 1 = 5 1 5 1    = 5 1 ， ∴3< 5 1<4 ， ∴ 4 5 1 的整数部分 3a  ，小数部分 5 1 3 5 2b      ， ∴  22 22 3 5 2 9 5 4 5 4 18 4 5a b          ， 故答案为：18 4 5 ． 9．9 4 5 【难度】0.65 【知识点】积的乘方的逆用、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方 公式进行运算 【分析】本题考查了积的乘方、平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，先根据积 的乘方进行变形，再根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再求出答案即可，熟练掌握运 算法则是解此题的关键． 【详解】解：    2023 20255 2 5 2       2023 2023 25 2 5 2 5 2           2 3 2025 2 5 2 5 2       1 5 4 5 4    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 9 4 5  ， 故答案为：9 4 5 ． 10． 2 5 【难度】0.65 【知识点】积的乘方的逆用、二次根式的混合运算、同底数幂乘法的逆用、运用平方差公式进 行运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，将原式转化为      2022 20222 5 2 5 2 5    ， 根据积的乘方的逆运算得     20222 5 2 5 2 5      ，再利用平方差公式得    20221 2 5   ，即可得解．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：    2022 20232 5 2 5       2022 20222 5 2 5 2 5         20222 5 2 5 2 5          20221 2 5    2 5  ． 故答案为： 2 5 ． 11．2023 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的混合运算，由题意得出规律 1 1 1 n n    ， 再利用此规律结合二次根式的混合运算法则计算即可得出答案，得出规律是解此题的关键． 【详解】解： 1 2 1 2 1     ， 1 3 2 3 2    ， 1 4 3 4 3    ，…， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 1 1 1 n n     ，  1 1 1 1 2024 1 2 1 3 2 4 3 2024 2023                 2 1 3 2 4 3 2024 2023 2024 1             2024 1 2024 1   2024 1  2023 ， 故答案为： 2023． 12．(1)6 7 3 (2)1 2 6 (3) 2 (4)3 2 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先最简二次根式，再先计算二次根式的乘除，合并同类项即可； （2）先计算二次根式的乘除，再化简为最简二次根式，合并同类项即可． （3）根据二次根式的混合运算顺序计算即可． （4）先最简二次根式以及平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解∶   12 6 18 3 3    = 2 6 3 2 3   =6 6 3 3  =6 7 3 ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 （2） 148 3 18 24 2     = 16 9 24  =4 3 2 6  =1 2 6 ； （3）   2 0 12 1 2 3 12 2             =1 (2 3 1) 2 3 4    =1 2 3 1 2 3 4    = 2 ； （4）   32 16 2 1 2 1 8      4 2 2 1    3 2  ． 13．(1) 2 3x   ， 2 3y   (2)9 (3)2 3 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的混合运算、利用二次根 式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合 运算法则． （1）分母有理化即可； （2） 2 2 25 ( ) 3x xy y x y xy     ，整体代入求解； （3） 3 1a = - ，代入式子化简即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【详解】（1）解： 2 3 2 3 (2 3)(2 3) x      ， 2 3 2 3 (2 3)(2 3) y      ； （2）解： 2 25x xy y  2( ) 3x y xy   2(2 3) 3  12 3  9 ； （3）解：由题意 3 1a = - ，  2 2( 1) ( 3 2) 2 3a      ． 14．(1)26 2米 (2)1400元 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的应用 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是 解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解：  2 8 2 5 2 26 2   （米）， ∴长方形 ABCD的周长为26 2米． （2）解：通道的面积为：    8 2 5 2 2 13 1 13 1 80 2 12 56          （平方米）， 购买地砖的花费为：56 25 1400  （元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费 1400元． 15．(1) 3 2 (2)3 2 4 2 3 10   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 (3) 2 1 【难度】0.4 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到 23 2 4 3 2 4    ， 22 3 10 2 3 10    ，然后比较3 2 4 和 2 3 10 的大小即可得到3 2 4 与2 3 10 的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到0 1x  ，而 11 1 y x x x      ，利用当 1x  时， 1 1 x x  有最小值 2 1 ， 1 x 有最小值 0得到 y 的最小值． 【详解】（1）解： ( 3 2)( 3 2) 13 2 3 2 3 2        ， 故答案为： 3 2 ． （2）   3 2 4 3 2 4 23 2 4 3 2 4 3 2 4        ，   2 3 10 2 3 10 22 3 10 2 3 10 2 3 10        ， 而 3 2 2 3 ，4 10 ， 3 2 4 2 3 10    ， 3 2 4 2 3 10    ； （3）由1 0x  ，1 0x  ， 0x  得0 1x  ， 1 1 = 11 1 y x x x x x x        ， 当 1x  时， 1 x x  有最大值，则 1 1 x x  有最小值 2 1 ，此时 1 x 有最小值 0， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 所以 y 的最小值为 2 1 ．